表面效应对平面压缩波(P波)散射的影响

汝艳， 曹小杉

(西安理工大学 土木建筑工程学院，陕西 西安 710048)

表面效应对平面压缩波(P波)散射的影响

汝艳， 曹小杉

(西安理工大学 土木建筑工程学院，陕西 西安 710048)

研究了阵列纳米孔洞周围的弹性波散射和动应力集中问题。当孔洞的尺寸缩小到纳米尺度时,比表面积显著增加,表面效应对材料力学特性的影响变得非常重要。基于表面弹性理论和经典弹性理论，用位移势函数法、波函数展开法和弹性波的多重散射理论，求得了无限大空间中一组以正四边形方式排列的纳米圆柱孔洞附近由平面弹性压缩波(P波)诱发的应力场。分析了表面效应对孔洞周围动应力集中的影响。结果表明，纳米圆柱孔洞周围的动应力集中不仅和表面效应有关，还和孔洞之间的距离有关。

表面效应； 弹性波散射； 多重散射； 动应力集中因子

Mow和 Pao[1]详细的研究了在无限大弹性介质中不同形状的单个夹杂和孔洞周围的弹性波散射问题。近年来，随着复合材料的发展，越来越多的人对弹性波的多重散射问题更感兴趣。通过不同局部坐标系统之间的相互转换，人们研究了波在双夹杂附近的多重散射问题[2-3]，波在一列圆柱孔周围的反射和传播问题[4]，声波和电磁波在有随机排列的圆柱孔附近的多重散射问题[5]，Wang 和 Sudak[6]研究了波在一组有界面缺陷的圆柱孔周围的多重散射问题。

纳米材料的物理、光学和力学等特性都不同于宏观材料[7]，随着比表面积的增大，表面能对纳米材料的力学行为的影响很大[8-9]。Gurtin 和 Murdoch[10]、Gurtin等[11]以连续介质力学为基础建立了表面弹性理论的模型，此理论和原子仿真结果吻合的很好[12]。因此，以表面弹性理论为基础，分析并研究了很多纳米尺度的力学问题[13-16]。Wang等[13]得到了平面压缩波引起的单纳米圆柱孔洞周围的弹性解，Ru等[14]研究了无限大平面上P波和SV波在纳米圆柱夹杂附近的散射问题；Wang[15]和Zhang等[16]研究了一对和一列纳米夹杂周围平面压缩波的散射问题。这些研究都表明了表面效应对波的散射现象有很大影响，

本文研究了由平面弹性压缩波(P波)所诱发的以正四边形方式排列的一组纳米圆柱孔洞周围波的多重散射问题。

1 基本方程

本文将表面看成无厚度的不同于基体材料的二维膜，并且无滑移的与基体粘接，由于表面应力的存在，经典弹性理论已不再适用。

(1)

不考虑表面残余应力，表面应力和表面应变之间的关系为[11]:

(2)

其中μsur和λsur均为表面常数。

假设表面和基体材料理想粘接并且没有滑移，那么表面处的平衡方程为[16]:

(3)

(4)

在基体处，平衡方程与本构方程和经典弹性理论中的一致：

(5)

(6)

其中，ρ是基体材料的密度，t是时间，μ和ν分别为剪切模量和泊松比。σij和εij分别为基体处的应力和应变。应变张量和位移分量的关系如下所示:

(7)

2 由P波诱发的纳米孔洞周围弹性波的多重散射

如图1所示，在无限大弹性介质中(弹性常数和密度分别为λ，μ和ρ)，有N+1(N→∞)个半径为a的纳米圆柱孔洞以正四边形方式排列，这种排列方式的特点是孔洞的半径为a，排列在正方形顶点的孔洞和排列在这个正方形中心的孔洞间的距离为2b(图2)。以中间孔洞的中心为圆心建立全局坐标系(r0,θ0)，以第j个孔洞的中心为圆心建立局部坐标系(rj,θj)(j=1,2,…,N)。圆柱孔洞的轴线与坐标z轴平行。

假设一组简谐平面弹性P波沿着图1所示方向传播(沿x轴正向)。在局部坐标系(r0,θ0)下，入射P波可用Bessel函数表示成如下形式：

(8)

当入射波传播并碰撞到孔洞的表面时，将会有P波和SV波被反射出来，第j′个(此时，j′=0,1,2,...,N)孔洞表面反射出来的波可以用位移势函数表示为：

(9)

(10)

根据Graf Addition Theorem[2-3]，两个局部坐标系(rl,θl)和(rk,θk)之间的转换关系为：

(11)

这样就得到了在全局坐标系下，任意孔洞周围的全波表达式。

在基体处，经典弹性理论仍然适用。因此在圆柱坐标系下，各位移分量可以用两个势函数φ和ψ表示如下：

(12)

圆柱坐标系下，几何方程可以写为：

(13)

因此，本构方程可以写为：

(14)

在孔洞的表面，应变εθθ和应力的关系为：

(15)

(16)

通过(3)式和(4)式，我们得到了孔洞表面处的边界条件：

(17)

将式(15)代入式(16)再代入式(17)，边界条件可写成：

(18)

因为每个孔洞周围的弹性波散射现象都相同，为了方便研究，本文只讨论最中间孔洞周围的弹性波的散射。运用Graf addition theorem理论(式(11))，由式(10)，(12)～(14)，我们得到了在全局坐标系下中间孔洞周围的应力表达式。根据孔洞处的边界条件(式(18))，就能求出两组未知系数Anj′和Bnj′。这样，就得到了由P波诱发的一组以正四边形方式排列的纳米圆柱孔洞周围的应力场。

3 结果和讨论

为了检验表面效应对弹性波散射的影响,本文将讨论表面效应对P波诱发的纳米圆柱孔洞周围动应力集中的影响。

定义动应力集中因子(DSCFp)为：

(19)

考虑了表面效应的影响后，DSCFp不但和入射波的波数α有关，而且和泊松比ν、孔洞间的距离2b以及表面弹性参数s有关。当入射波以很低的频率入射α→0，并且保持σp为一个不变的常数，当s=0.0时，该问题就退化成远场双向加载的静态问题[1]：σx=σ0，σy=σ0ν/(1-ν)。由图3可知，当入射波以低频αa=10-3入射，并且s=0.0时，该问题的理论解与相应静态问题的数值解吻合的比较好。

1) 入射波以低频入射(αa=0.001)

在这种情况下，入射波的波长远远大于孔洞的半径(λ=2000πa)。当孔洞之间的距离保持不变b=1.2a，图4表示了对于不同的s，孔周动应力集中因子的分布。DSCFp的最大值出现在θ=0.3π和θ=0.7π，随着s值的增大，动应力集中因子几乎在整个区域内都是逐渐减小的。

当s=0.0时，对于不同的孔间距离，孔洞周围的动应力集中因子的分布如图5所示。孔间距离越大，孔洞间的相互影响越小。当孔间距离大于10a时，孔洞之间的相互影响就可以忽略，并且DSCFp的分布和无限大平面中一个纳米圆柱孔洞周围的DSCFp分布基本相同。还可以看出，随着孔洞之间距离的增大，动应力集中因子在区间0.25π<θ<0.4π和0.55π<θ<0.7π逐渐减小。

此时入射波的波长与孔洞半径相差不多(λ=4a)。图6显示了当孔洞间保持一定的距离，对不同的s值，孔洞周围的动应力集中因子的分布。从图中可以清楚的看出入射波和反射波之间的干涉现象，并且不考虑表面效应时干涉现象较明显(s=0.0)，随着s值的增大干涉现象越来越不明显(当s=2.0时，基本可以忽略)。

图7显示了对于不同的孔间距离和一个给定的表面弹性常数(s=0.0)，动应力集中因子沿着孔周的变化情况。干涉现象依然很明显。当孔间距离比较近时，孔间的相互影响很大；当孔和孔之间的距离一定大的时候(b>20a)，孔间的相互影响就可以忽略，并且DSCFp的分布和无限大平面中一个纳米圆柱孔洞周围的DSCFp的分布基本相同。

4 结 论

本文讨论了表面效应对P波诱发的阵列纳米圆柱孔洞周围弹性波多重弹射的影响。运用位移势函数法和波函数展开法，我们得到了孔洞周围的应力分布。当孔洞的尺寸缩小到纳米尺度，表面效应对孔周应力分布的影响将不能忽略。结果表明，表面效应不但减弱了孔周的动应力集中现象，而且还减弱了入射波和反射波之间的干涉现象。

动应力集中因子不仅受表面效应的影响，孔洞之间的距离对其影响也很大。不论入射波以低频还是以高频入射，当孔间距比较小的时候，孔洞间相互影响比较大。随着孔洞之间距离的增大(增大到某一值时)，孔洞间的相互影响就可以被忽略。

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[14]Ru Y, Wang G F, Wang T J. Diffractions of elastic waves and stress concentration near a cylindrical nano-inclusion incorporating surface effect[J].Journal of Vibration and Acoustics, 2009, 131(6): 061011.

[15]Wang G F. Multiple diffraction of plane compressional waves by two circular cylindrical holes with surface effects[J].Journal of Applied Physics, 2009, 105(1): 013507.

[16]Zhang Q F, Wang G F, Schiavone P. Diffraction of plane compressional waves by an array of nanosized cylindrical holes[J].Journal of Applied Mechanics, 2011, 78(2): 021003.

(责任编辑 杨小丽)

Surface effects on the scattering of plane elastic P-wave

RU Yan, CAO Xiaoshan

(Faculty of Civil Engineering and Architecture, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

In this paper, the multiple scattering of P-wave by nanosized cylindrical holes arranged as quadrangular shape is studied. When the radius of the holes shrinks to nanometers, surface effects play an important role in their mechanical performance. Based on the surface elasticity theory and classical elasticity theory, the displacement potential method, wave functions expansion method and multiple scattering methods are uses to obtain the scattering fields around the nanosized cylindrical holes induced by P-wave. The surface effects upon the dynamic stress concentration of hole surrounding is analyzed. The results indicate that the dynamic stress concentration around nanosized cylindrical holes is closely related not only to the surface effects but to the distance among the holes as well.

Surface effect; scattering of elastic waves; multiple scattering; dynamic stress concentration factor

1006-4710(2015)02-0176-04

2015-01-12

国家自然科学基金资助项目(11302166)。

汝艳，女，博士，讲师，研究方向为纳米材料及纳米构件的动力学行为。E-mail：ruyan@xaut.edu.cn。

O343

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