滤棒圆周估计及控制方法探讨

2015-02-18衷志刚李兴绪孙泉利

统计与决策 2015年13期

衷志刚,李兴绪,孙泉利

（1.云南财经大学a.统计与数学学院；b.经济研究院，昆明 650221）

0 引言

卷烟滤棒是一种柔软、易变形的物体，对其直径进行精确测量具有相当的难度。接触式测量由于受测力的影响，卷烟滤棒易变形、易磨损、测量精度不高。另一种测量方法采用CCD非接触技术获取图象[1]，但在边缘检测过程中采用传统的二值化方法，该方法对数据的处理较粗糙，同样具有精度较低的缺点。但是，随着科学技术的高速发展，图象处理技术[2]可以精准地算出滤棒的直径，为卷烟的质量控制提供技术帮助。目前，检验滤棒圆周的一般方法是离线测量法，此方法的缺点是时间长、速度慢和程序复杂，其滞后性使滤棒质量控制效果变差。区间假设检验方法是一种实用的统计方法,目前在实际产品质量控制的应用很稀少，然而，它可以有效应用于滤棒圆周检验方面，只要配备相应的设备就可以实现“在线控制”的目标。

1 滤棒圆周估计方法

1.1 数据描述

本文介绍的区间假设检验方法基于两组样本数据，这两组样本数据来自于曲靖红云红河烟厂的技术人员抽样所得，分别记为：Ⅰ样本数据和Ⅱ样本数据。

Ⅰ样本由77支烟组成，分别取自77条生产线。利用激光感应器对这77支卷烟滤棒从180个角度（顺序是1，2，3，……，180度）进行直径的测量，得到一张77行180列的数据。值得注意的是，由2-1-5机台生产的卷烟滤棒的直径为7.7088mm，超出标准值很多，属于异常值。由于它会使总体的方差估计值过大，降低假设检验的精度，应该把它从样本中删除。消除异常值之后，Ⅰ样本数据变为一张76行180列的数据表。

Ⅱ样本由20技烟组成，取自同一条生产线。利用上述测量方法得到一张20行180列的数据表。

1.2 滤棒圆周估计方法

得到Ⅰ样本数据后，用l=πd公式算出Ⅰ样本的滤棒圆周。由于生产的卷烟具有不规则性，为了尽量减小入射角差异带来的测量误差，降低样本方差，对数据进行预处理：取1～180度每间隔45度的四个值的平均值，例如：取1、46、91和136度的四个观测值，并对这四个观测值取平均值，得到一组平均值，依此类摔推，每支烟分别得到45组平均值数据，用k=1,2,……,45分别表示45组角度的平均值数据。经过处理后，Ⅰ样本数据变为76行45列的数据表。Ⅱ样本数据经过同样处理后，得到一张20行45列的数据表。

事实上，经过此方法总共得到4410个滤棒圆周估计值，减去对应的滤棒真实值得到4410个误差值，误差范围分布如表1所示：

表1 误差范围比例表（单位：mm）

如表1所示，81.22%的误差值在[-0.04，0.04]范围内波动，67.55%的误差值在[-0.03，0.03]内波动，这意味着总体误差值在很小的范围内波动，这样的结果还是令人满意的。因此，这种估计方法效果是比较优良的。

1.3 方法合理性分析

事实上，估计滤棒圆周可以取1～180度每间隔60度的3个值的平均值，也可取1～180度每间隔45度的4个值的平均值，还可以取1～180度每间隔30度的6个值的平均值。理论上，所取间隔的角度越小，所得滤棒圆周估计值越接近真实值。

基于Ⅰ样本数据，比较上述三种方法的优良程度。使用上述三种方法，通过计算，得到表2和表3。表2是滤棒圆周估计值表，表3是滤棒圆周误差表。由于相同编号的滤棒圆周均值是相同的，通过比较三种方法的相同编号的滤棒圆周的误差方差便可以得出结论。

表2 滤棒圆周估计值表

其中k为三种方法各组角度的序号，k=1，2，...，a ；序号表示滤棒的编号，从1到76；真实值为每只滤棒180个角度测量值的平均值，此表仅为方便读者理解。

表3 滤棒圆周误差表

其中k为三种方法各组角度的序号，k=1，2，...，a ；序号表示滤棒的编号，从1到76；方差为每一只滤棒a个估计值的方差此表，仅为方便读者理解。

通过计算，得到三种方法的误差方差表，画出散点图。

图1 方差散点图

其中横轴表示滤棒编号，竖轴表示方差大小；间隔30度、间隔45度和间隔60度分别表示上述三种方法。

从图1可以看出，方法1的误差方差在区间（0，0.008）波动；方法2的误差方差在区间（0，0.004）内波动，且多数在（0，0.002）内波动；方法3的误差方差在区间（0，0.001）内波动。整体上，对于相同编号的滤棒，方法1的误差方差明显比方法2的大，方法2的误差方差比方法3的大，由此可以得出结论：方法2明显优于方法1，方法3优于方法2。

采用方法1只需在卷烟生产线安装三台激光感应器，但是方法1的估计效果一般；采用方法2需要安装四台激光感应器，仅仅增加一台激光感应器便能使估计的效果提升一个层次，得到令人满意的结果；采用方法3需要在卷烟生产线上安装六台激光感应器，不仅估计的效果增加不大，而且安装成本大大提升。随着间隔角度越小，滤棒圆周估计效果越好，但是增加的成本也越来越多。因此，在条件有限的情况下，采用方法2既能控制成本，又能达到令人满意的结果。

2 方法介绍

2.1 构建原假设和备择假设

检验一支新生产出来的烟的圆周是否在[24-0.1，24+0.1]内，需要用数理统计方法中的区间假设检验方法。

随机从45组角度选取一组角度测量一支新生产出来的烟，经l=πd计算得到四个圆周观测值，观测值与实际值存在误差，用下述公式表示：

其中y*表示一组角度四个观测值的平均值，μ是滤棒圆周的实际值，ε*表示滤棒圆周观测值与实际值的误差。

做区间的假设检验，首先需要确定零假设和备择假设，具体如下：

确定零假设和备择假设之后，便可以构造统计量。

2.2 构造统计量

考虑双边假设检验问题：

我们得出检验的统计（当σ已知）：

我们得出区间假设检验的两个t统计量，从上述内容可以看出，t统计量的自由度非常大，由数理统计知识可知：当自由度足够大时，t分布非常接近正态分布。于是，我们可以近似的利用正态分布的统计量来进行检验。

其中C1、C2为正态分布的两个分位点，C1＝-1.96，C2＝1.96。

常用的统计软件，如SPSS、Eviews等，都不能直接进行“区间的假设检验”，需要用到数理统计理论及Matlab软件进行计算。计算一支烟的圆周是否在这个范围内，需要求出y*的估计值及y*的估计值的方差σ2。

2.3 估计样本方差

2.4 构建功效函数

统计上，第一类错误是指当原假设成立时，却落入了拒绝域，使原假设被错误地拒绝了；第二类错误是指当原假设不成立时，却落入了接受域，使原假设被错误地接受了。

功效函数[4]是指：在统计意义上，犯第一类错误的概率，当原假设为真时，样本观测值落入拒绝域是一个小概率事件。根据实际推断原理，在一次观测中，小概率事件是几乎不可能发生的，所以拒绝原假设的理由充足。在本文的假设检验中，原假设是受保护，即不能把合格品判为不合格品。因此，滤棒圆周的观测值在合理范围内，其功效函数值越小越好。下面是功效函数的推导过程：

在样本 X1，X2...，Xni.i.d～F(θ)，给出拒绝域W ，即当(X1，X2...，Xn)∈W 时，拒绝原假设。得到功效函数：

β(θ)=Pθ((X1，X2...，Xn)∈ W)

当θ满足H0，β(θ)表示犯第一类错误的概率；当θ不满足H0，β(θ)表示正确地拒绝H0的概率。

在本文的假设检验中，原假设和备择假设分别是：

H0:μ0∈[23.9，24.1] H1:μ0∉[23.9，24.1]

已知y*ki.i.d～N(μ0，σ2)，犯第一类错误的函数可以表示为：

其中C1=-1.96，C2=1.96，n=1，μ为滤棒圆周观测值

式（9）是以μ为变量的函数，当μ在一定范围内，可以用软件画出功效函数的图像，根据图像可以知道当卷烟滤棒圆周估计值偏离标准范围多少时，功效函数值会迅速变得很大。

3 结果分析

3.1 区间假设检验判断效果分析

本文的区间假设检验方法构建基于处理后的Ⅰ样本数据，从Ⅰ样本抽取四个“超标”样本数据，并与处理后的Ⅱ样本数据一起作为测试集，对该方法进行测试，检验该方法的判断效果。由于测试集中的所有烟支滤棒圆周的真实值均大于23.9，并且它们的TL统计量均大于-1.96，因此它们的圆周都被正确地判为大于23.9，在这里就不多加赘述。

其中k为45组角度的序号，k=1，2，...，45，表4抽取其中的9组角度进行说明（原因是数据过多）。

由表4可以看出，前面四支滤棒圆周均超过标准24.1mm，“2-1-5”的TU统计量值中有6个角度是大于1.96，即拒绝原假设，把它判为“不合格品”。其它三支滤棒的TU统计量值均小于1.96，事实上，其它36个角度的TU统计量值也小于1.96，即不拒绝原假设，把它们错误地判为“合格品”。Ⅱ样本的20支滤棒圆周的真实值均小于24.1mm，并且它们的TU统计量值都小于1.96，没有理由拒绝原假设，它们均被正确地判为“合格品”。在测试集中的24支滤棒圆周有21支被正确判断，有3支被误判。然而，前面四支烟比较特殊，真实的误判率将更小。因此，区间假设检验方法的判断效果是比较优良的。

3.2 功效函数图像

表4 测试样本TU统计量值表

根据式（9）在统计软件中画出如下功效函数曲线。

图2 功效函数曲线

功效函数曲线呈对称U型曲线，当μ＝24时，功效函数值最小，即 β(μ)＝0.000215。当 23.9≤μ≤24.1时，功效函数值范围为：0.000215≤β(μ)≤0.02499，当 μ＜23.9或μ＞24.1时，功效函数值以非常快的速度增长，直到增长到β(μ)=1停止。功效函数曲线的意义显而易见，它清晰地指出：当样本烟支滤棒圆周的观测值超过标准范围0.025，会导致功效函数值迅速地增大，功效函数值增大的越快越好，说明构建的区间假设检验判断效果是很好的。如图2，当μ=23.8或 μ=24.2时，β(μ)=0.741005，它的含义是：样本烟支滤棒圆周不合格，并且在23.7mm或24.2mm很小范围内波动时，它被正确地判为不合格的概率为74.1%；当样本烟支滤棒圆周合格时，并在[23.9，24.1]间波动时，它被错误地判断为不合格的概率几乎为零。样本烟支滤棒圆周能够在离23.9或24.1这么小的范围内判断精度达到这么高，说明构建的区间假设检验方法的判断效果比较优良。