一类两时滞商业周期模型的稳定性和Hopf分支分析

李旭辉

(上海交通大学 安泰经济管理学院，上海 200030)

0 引言

随着微分方程被广泛地应用于生态、经济等领域，国内外学者已经建立了许多能够反映动力系统特性的微分方程模型[1-7]。通过研究相应模型的性质，确定所研究系统的演变规律。在文献[1-3]中，田立新等人利用微分方程模型研究了能源经济系统的动力学性质，并给出能源经济系统的相关结论。在田立新等人工作的基础上，吕堂红[5]考虑到能源“垄断效应”对能源价格震荡造成的影响，进一步研究了具有了两个时滞的能源价格模型的稳定性和Hopf分支问题。在文献[6]中，于晋臣等人研究了如下商业周期模型：

于和彭等[4]利用时滞τ作为分支参数讨论了平衡点的稳定性和Hopf分支存在的充分性条件。进而利用多时标法计算出了模型(1.2)中心流形上的标准形。

近年来，已经有不少国内外研究学者对具有多个时滞的动力系统的稳定性和Hopf分支问题进行了研究[5,8-10]。在文献[8]中，Bianca等人考虑了一类具有两个时滞的经济增长模型，研究了两个时滞对模型的影响。受以上工作启发，本文在系统式(2)的基础上考虑如下两时滞商业周期模型：

1 模型稳定性和Hopf分支存在性

显然，E*(0，0)是系统式(3)的平衡点。将系统式(3)在平衡点E*(0，0)处线性化，得到，

根据系统式(3)的各参数的经济学含义可知，μ＞0，a＞0.因此，根据赫尔维茨稳定性判据，平衡点E*(0，0)是局部渐近稳定的。

根据以上分析，以及文献[11]中的Hopf分支存在性定理，我们有下列结果。

定理 2.1.对于系统 式(3),当 τ1∈[0，τ10)时，平衡点E*(0，0)渐近稳定；当 τ1=τ10时，系统 (3)在平衡点 E*(0，0)处产生Hopf分支。

情形 3. τ1=0，τ2＞0.Eq.(5)变为

对比Eq.(7)和Eq.(9),可以得到关于 τ1=0，τ2＞0 时的下列结果

根据以上分析，以及文献[11]中的Hopf分支存在性定理，我们有下列结果。

定理 2.3 对于系统式(3),当 τ∈[0，τ0)时，平衡点E*(0，0)渐近稳定；当 τ=τ0时，系统式(3)在平衡点E*(0，0)处产生Hopf分支。

根据以上分析，以及文献[11]中的Hopf分支存在性定理，我们有下列结果。

2 Hopf分支方向和分支周期解的稳定性

经过以上分析，可以得到下列结果

定理 3.1 对于系统(3)，如果 μ2＞0(μ2＜0),则Hopf分支是超临界(次临界)的；如果 β2＜0(β2＞0),则分支周期解是稳定(不稳定)的；如果T2＞0(T2＜0),则周期解的周期是增大(减小)的。

3 数值模拟

下面对系统(3)进行数值模拟，来验证以上理论分析结果的正确性。考虑如下实例系统

首 先 ，当 τ1＞0，τ2=0 时 。 经 过 计 算 可 以 得 到ω10=0.5928，τ10=1.3350.因而，当 τ1∈[0，τ10)时，平衡点E*(0，0)是渐近稳定的。当 τ1＞τ10时，平衡点 E*(0，0)失稳，并在τ1=τ10处产生Hopf分支。数值模拟效果如图1～2所 示 。 类 似 地 ， τ1=0，τ2＞0 时 ，可 以 得 到ω20=0.5928，τ20=1.3350相应的波形图和相图如图3～4所示。

其次，当τ1=τ2=τ＞0时。经过以上相似的计算得到ω0=1.3350，τ0=0.6675.当 τ=0.525∈[0，τ0) 时 ，平 衡 点E*(0，0)渐近稳定。当 τ=0.75＞τ0时，平衡点 E*(0，0)失稳，并产生Hopf分支。数值模拟效果如图5～6所示。

图1 ：当 τ1=1.05∈[0，τ10)时 E*渐近稳定

图2 当 τ1=1.45＞τ10时，平衡点E*失稳并产生Hopf分支

图3 当 τ2=1.05∈[0，τ20)时 E*渐近稳定

图4 当τ2=1.45＞τ20时，平衡点E*失稳并产生Hopf分支

图5 当 τ=0.525∈[0，τ0)时 E*渐近稳定

图6 当τ=0.75＞τ0时，平衡点E*失稳并产生Hopf分支

图7 当

图8 当

4 结论

本文研究了一类两时滞商业周期模型。以两时滞的各种组合为分支参数，通过分析相应特征方程根的分布，研究了模型渐近稳定和局部Hopf分支的存在性。进而，利用中心流型定理和规范形理论确定了分支方向和分支周期解稳定性的计算公式。虽然利用中心流型和规范形理论研究Hopf分支的性质计算量大、过程繁琐，但是，最后所得到的决定Hopf分支性质的参数，均可以直接由模型的参数确定。便于根据模型参数的变化，研究Hopf分支性质的变化。

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