一致性条件与荷兰赌论证

季爱民

1926年，拉姆齐首倡“概率即部分信念”的主观主义概率观。1937年，菲尼蒂建构了关于相信度的主观概率理论。之后，萨维奇等主观贝叶斯学者对主观概率理论进行了拓展，使概率具有了私人性质，成为个体相信度的一种测度。萨维奇认为：“私人的观点认为概率是测度一个特殊的个体对一特殊的命题的真实性的信心。例如，明天将下雨。这些观点要求被涉及的个体在某些方面是‘合理的’，但是他们并不否认两个理性的个体面对相同的证据，对相同的命题的真实性，他们将可能有着不同的信心程度。”[1]在萨维奇之后，“主观概率的方法开始逐渐在各个领域受到人们的尊重，‘主观贝叶斯主义’这个学术标签在决策领域越来越流行，它的发展和应用已经深深地深入到自然科学和社会科学之中。”[2]而主观主义概率论者建构主观概率理论的基础就在于一致性条件及其荷兰赌论证。

一、一致性条件

“主观概率论的阐发者拉姆齐和菲尼蒂将个体的部分信念定义为公平赌商，通过公平赌商必须满足概率演算公理，将部分信念与主观概率联系起来，给出的理由是荷兰赌论证。对于一个理性的个体而言，如果他不想遭遇一个荷兰赌，他的赌商只有符合一致性条件。”[3]这个部分信念或者赌商的约束条件在拉姆齐和菲尼蒂那里实质相同，只不过表述有异。拉姆齐称为一致性（Consistency），他认为“我们的每一个定义都伴随着一个一致性的公理（axiom of consistency）；只要这是错的，其相应的相信度这个概念也就成为无效的了。”[4]61菲尼蒂称为一贯性（Coherency），“正是这个一贯性条件构成了人们由以引出整个概率演算的唯一原则：因而这个演算看起来象一组规则，同一个人对于各种事件的概率的主观求值应该与这组规则相符合，如果其中没有根本的矛盾的话。”[4]86

从形式上看，赌商的变化范围和数学上的概率数值的变化范围重合，如果主观概率理论能和数学上的概率理论做到实质性的对应，那自然要考虑定义部分信念的赌商能不能满足概率公理，这就需要对赌商有一个约束性的一致性条件。这可堪称主观主义概率论者最成功的地方，由此主观概率的数学基础得以获得。因为在给事件进行概率分配时，每一个人都可以自由表达他的观点。正如菲尼蒂所言，观众在锦标赛中可以根据自己的主观态度来自由选择每一队获胜的概率，理论不能先验地拒斥他的判断。不过，这种对概率或者赌商的看似宽泛的选择，也有约束条件。如果概率的选择使得别人可以以必胜的方式与他打赌，那么“人们显然会说，这个人在概率求值中包含了一种不一贯性，一个内在矛盾；”[4]86相反，如果他的选择使得别人在和他打赌时没有办法通过选择赌商来必然取胜，那么“我们将说，这个人是首尾一贯的。”[4]86这就是说，每个个体为了做到首尾一贯，他的赌商要符合某一法则。

对于一致性约束条件，拉姆齐和菲尼蒂都独立地通过对打赌的分析得出并且给予了严格证明。拉姆齐提到：“这些就是概率律(laws of probability)，我们已经证明了对于任何一致的相信度集合，它们都必然成立。……如果任何人的思维活动违背了这些定律，……这可能会使得一个狡猾的打赌者专门找他打赌，并且在任何情况下他都总是会输。因而，我们发现对部分信念的精确说明揭示了概率律就是一致性律，是扩展到部分信念的形式逻辑，即一致性逻辑。”[4]62如果测定部分信念的赌商不满足概率律，那么打赌时肯定使得自己处于必输境地，而一个确定的、必定遭受损失的事实，对打赌的个体而言肯定不合理，这说明该个体的部分信念不满足一致性条件。所以，这些概率公理对于满足一致性的相信度集合都必然成立，对于任何一个理性的个体而言，概率律就是一致性律。菲尼蒂在《预见：其逻辑规律与主观根源》中认为：“采用了主观定义，就容易从一个非常自然的条件中严密地引出这些逻辑规则，这就是一贯性条件，它使我们不得不小心谨慎地计算概率，不管发生什么情况，决不让一个与我们打赌的对手通过对各种事件的赌注的审慎组合而具有取胜的把握。基本定理（全概率、复合概率）仅仅是这些基本条件的直接推论。”[4]141在文中，他给予了严密的论证。以全概率定理为例，他指出：“让我们看看如何根据这个观点证明全概率定理。……，设 E1，E2，…En为不相容事件，……，设 P1，P2，…Pn为一特定的人所求出的它们的概率；……，结果是，一贯性迫使我们加上这样一个条件：P1+P2…+Pn=1。”[4]86-87他指出这个一贯性条件和满足概率公理是充分必要条件的关系，因为，如果它被满足，所得的收益永远不可能为正，而不管赌注是什么。“这样，就有了下面这种形式的全概率公理：在不相容事件的一个完全类中，概率的总和必然等于1。”[4]87这也正如豪森所言：“因此，我们得到基本的定理：P1，……，Pn是一致的当且仅当它们是概率函数。”[5]162菲尼蒂除了证明一贯性和全概率公理外，还证明了条件概率的定义和概率乘法定理，严密地论证了赌商的一贯性条件和赌商满足概率演算公理确实互为充要条件，一贯性条件由此成为整个概率演算的唯一原则。

在拉姆齐论述中，作为中间过度环节的“在任何情况下他只会是输”的赌就是“荷兰赌（Dutch Book）”或者称之为“大弃赌”。这是一种特殊的赌，因为不论所打赌的事件发生与否，都可以使得参与打赌的一方处于必输的境地。一致性条件是指：某人的赌商是一致的当且仅当他的对手不可能通过选择打赌的方式（例如改变赌注的大小）使得他总是输。如果一个狡诈的对手和他进行打赌，使得他总是输，那么对他而言就发生了一个荷兰赌。因此，为了在打赌中不遭受损失，他势必要保持自己赌商的一致性。

主观概率理论之所以可以使得概率论的逻辑规律能在主观主义观点中被严格地确立，就是因为这个一致性条件对于赌商满足概率公理既是充分条件又是必要条件，即拉姆齐所说的概率律就是一致性律。

二、主观概率演算系统

拉姆齐和菲尼蒂建立主观概率的思路都是通过荷兰赌论证，如果他们提出的荷兰赌论证得到证明而成为一个严格的荷兰赌定理，那么他们的概率理论也就因此得到一个主观基础。论证荷兰赌定理之前，需要先阐明主观主义的概率演算系统，以及荷兰赌的基本模型。

因为满足柯尔莫哥洛夫建立的公理系统提出的概率函数是数理概率，而不是主观概率，这意味着主观主义者的概率公理和柯尔莫哥洛夫公理系统有区别。菲尼蒂已经提到了这个不同点，有“全概率定理不能运用于无穷多或甚至可数量的事件的场合”[4]92，这就是说，在柯尔莫哥洛夫公理系统中，对无限集合而言的可列可加性公理，应该改进为仅包括有限事件集合性质的有限可加性公理。理由在于，在可列可加性的系统中，一些事件是不能依概率测定的不可测事件，而主观概率要求每一个事件都可以预测。拉姆齐对此持有相同观点，他说：“我们还没有谈到当可选择对象数量无限的时候相信度的情况。关于这一点我没有什么可说的，我只是怀疑大脑能否考虑多于有限数量的可选择对象。它能够考虑有无限多的可能答案问题，但是为了要考虑这些答案，就必须要把它们归并在有限数量的类别之中。”[4]63萨维奇也赞同并且拓展了主观概率的有限可加性系统，发展了一个更具广泛基础的公理系统。

这样一来，对主观概率理论而言，一般的概率演算律为：设事件的样本空间为Ω（随机事件E或者F是Ω的子集），P（E）是E的一个实值函数，且满足下列三条公理，则称函数P（E）为事件E的概率。

公理1（非负性）：对于任一事件E，有0≤P（E）≤1；

公理2（规范性）：Ω 是一确定的事件，P（Ω）=1；

公理 3（有限可加性）：若 E1，E2，……，Ei，……，En为不相容事件的一个完全类（即其中有一个并且只有一个必然会发生），则 P（E1+E2+……+En）=P（E1）+P（E2）+……+P（En）。（或如菲尼蒂的表述:P（E1）+P（E2）+……+P（En）=1）

对于不相容事件完全类可以这样直观地理解。如对于掷骰子的事例，可能出现的全部事件为E1∨E2∨E3∨E4∨E5∨E6（其中的Ei分别代表出现的点数为i），很明显，上式成立。为了证明荷兰赌定理对任意两个互斥事件（即两事件互不相容，但可能不是样本空间里的一个完全类）均成立，公理3可以变形为对两个互斥事件的情形，如果两个事件一般性地分别用E和F表示，并且E∨F，则公理3可以变形为P（E∨F）=P（E）+P（F）。同样对于任意两个不一定构成一个完全类的互斥事件，也可用掷骰子的事例来直观地理解。如果这两个事件分别理解为出现1点和出现2点的事件，那么，这并没有构成掷骰子可能出现的全部结果，因为可能出现1点和2点都没有出现的结果。对于公理3和它的变形公式，在荷兰赌定理的证明中，只需要证明其中的任意一个，因为可以证明两种形式在逻辑上是等值的。[6][7]

除了上面的三个公理，对于主观主义概率论者来说，相信度通过赌商来测定对于条件概率的定义也适合，拉姆齐认为“我们也能够定义一个非常有用的新概念——‘给定q时对P的相信度’。……，这种有条件的打赌在十八世纪是比较普遍的。”[4]60菲尼蒂在证明了上面的三个公理和一致性之间的充分必要后，进一步提出“我们还必须考虑条件概率的定义和关于概率乘法定理的证明。”[4]92因此，概率演算律要另外加上条件概率的定义：如果 P（F）>0，则 P（E|F）=P（E∧F）/P（F）。

三、荷兰赌基本模型

结合国内外相关研究资料，对荷兰赌的赌博体系[7]或者基本模型可以从赌注与赌商规则、胜负规则、金钱规则以及赌局构成规则这几个方面进行概括。

1.赌注与赌商规则

赌注应该适当或者说双方能真正愿意接受，并且正负未定。赌商取决于他愿意接受的赌注与付款的差额的最低差额，在赌注适当的情形下，一个人的赌商等于他愿意出的付款与赌注的比值，即赌商=付款/赌注。

赌商要真正测度出某人的相信度，那么双方打赌的意愿必须真诚，打赌之前他们并不预先知道赌博的输赢。也就是说，双方在打赌中所处地位是公平的情形下进行打赌，赌商应该为公平赌商。这体现在，如果双方在接受了一定的赌商后，那么他们既愿意为打赌事件的真实性以P进行打赌，又愿意以打赌事件的虚假性，即以P进行打赌。当然，这也可以通过对手位置的互换来理解，由赌商定义知，如果一方的赌商为P，则对手的赌商为1-P。

2.胜负规则

如果打赌者打赌的事件为真，则获胜，对手输。如A和B对事件E的发生与否进行打赌，A打赌事件E发生，B打赌事件E不发生，如果结果是E发生了，则A获胜，B输。如果结果是E没有发生，则B获胜，A输。

3.金钱规则

付款=赌注×赌商，赌注=参与打赌的双方的付款之和。胜者的收益等于赌注减去自己的付款，或者说，胜者的收益为得到对手的付款，而负者的收益为失去自己的付款，即胜者的收益=-负者的收益。如在一个赌中，赌注为S，A的付款为SpA，B的付款为SpB。如果A胜，B负，则A的收益GA=S-SpA=SpB，B的收益GB=-SpB；如果 A 负，B 胜，则 GA=-SpA，GB=S-SpB=SpA。

4.赌局构成规则

第一，打赌是针对一个事件所有可能出现的结果进行考虑，如果对一个不相容事件的完全类进行打赌，要对其中所有不相容的基本事件同时进行打赌。如E1，E2，……，En为不相容事件，E是它们的一个完全类，此时，对E进行的赌局构成为：打赌的双方同时对其中的Ei（i=1，2，……，n）进行打赌，分别给出赌注Si和公平赌商qi。如对于任意两个互斥事件E和F进行打赌，也要考虑所有可能出现的结果，即要考虑到E出现或者F出现的结果，也要考虑E与F都没有出现的结果。

第二，当一方对的真（发生）进行打赌，是另一方则同时为Ei的假（不发生）或者说对-Ei的真进行打赌。如对事件“明天此地是否下雨”进行打赌，此事件E可以作为下面两个不相容的基本事件的完全类：E1“明天此地下雨”和E2“明天此地不下雨”。此时，赌局构成为：A同时对“E1的真”和“E2的假”进行打赌；相应地，B 同时对“E1的假”和“E2的真”进行打赌。或者，A 同时对“E1的假”和“E2的真”进行打赌；相应地，B同时对“E1的真”和“E2的假”进行打赌。

第三，条件赌的有效性建立在条件为真的情形下，如果条件为假，则赌博终止。

对于这一规则，拉姆齐提到：“它不是指对‘如果P那么q’或者‘P蕴涵q’的相信度，也不是指如果这个人知道q的话，他会对P具有的或者应该具有的相信度。它粗略地表示了他就P打赌时他会接受的赌注与付款的差额，只有q真，这个打赌才是有效的。”[4]60这就是说，如果进行一个E相对于F的赌博，公平赌商并不是指仅仅对E的真应该具有的相信度，而是对（E|F）所具有的相信度。或者说，在F这个条件下，对E的真所具有的相信度，并且只有在F为真的情形下，这个打赌才是有效的；如果F实际不发生，则对（E|F）的打赌因为无效而终止。

四、荷兰赌论证

拉姆齐和菲尼蒂用荷兰赌论证了“一个赌商集合不可能导致荷兰赌，当且仅当，这个赌商集合满足概率演算公理。”学者称之为‘Dutch Book Argument’（国内大多翻译为“荷兰赌定理”或者“大弃赌定理”）。国外有的文献也称之为‘The Ramsey-De Finetti Theorem’，即一个赌商集合是一致的，当且仅当，该赌商集合满足概率公理。

关于荷兰赌定理的国外文献较多，在这里主要依据菲尼蒂在1937年的经典著作中提出的赌者获得收益的方法来略加证明。[4]86-95对于荷兰赌定理，需要依次证明对于一个确定事件、一个任意事件、不相容事件的完全类，以及条件事件的赌商集合不可能导致荷兰赌的充分性：如果一个赌商集合不可能导致荷兰赌，那么这个赌商集合满足概率演算律（即分别满足公理1，公理2，公理3和条件概率定义）。除此之外，还必须证明对于一个确定事件、一个任意事件、不相容事件的完全类以及条件事件的赌商集合不可能导致荷兰赌的必要性：如果一个赌商集合满足概率演算律，那么一个赌商集合不可能导致荷兰赌。

下面仅代表性地对一个任意事件进行证明。即证：对于一个任意事件的赌商集合不可能导致荷兰赌，当且仅当，这个赌商集合满足概率演算公理。

第一步证明充分性：如果对于一个任意事件E的赌商集合不可能导致荷兰赌，那么这个赌商集合要满足概率公理 1（即 0≤P(E)≤1）。

对于一个任意事件E，如果打赌的一方选择P（E）<0，则 E 出现时他的收益为 S（1-P（E）），E 不出现时他的收益为-SP（E），那么当对手选择S<0的时候，可以使得他的收益总是为负，对他而言出现了荷兰赌。如果打赌的一方选择P（E）>1，那么当对手选择S>0的时候，可以使得他的收益总是为负，对他而言依然是发生了荷兰赌。因此，为了避免荷兰赌，他必须选择0≤P（E）≤1，即必须满足公理1。

第二步证明必要性：如果对于一个任意事件E的赌商集合满足概率演算公理，那么这个赌商集合不可能导致荷兰赌。

对于任意事件E进行打赌，由赌局构成规则，这是打赌的双方同时对其中的E的真实性和虚假性进行打赌，假设打赌一方对E的赌商为P（E），对-E的赌商为P（-E），可能的结果是“E出现与-E不出现”或者“E不出现与-E出现”，那么打赌者的收益均为：S·（1-（P（E）+P（-E）），因为赌商满足概率演算律，所以 P（E）+P（-E）=1（公理 3），因此，不管出现什么结果，打赌者的收益为0。证毕。

五、结语

总之，随着现代决策论的发展，主观概率理论越来越得到重视，“因为在决策那里，主体决策依赖于建立在其认知上的对外部事件的主观评价，因而不确定事件的概率在不同决策者那里是不同的，且大大影响决策者的策略选择。”[8]而主观主义概率论者建构主观概率理论的进路则可以归纳为：主观概率被解释为部分信念，可以通过赌商来进行数值的测量；一个个体的信念集合是合理的，当且仅当，他的赌商集合是合理的；一个赌商集合是合理的，当且仅当，这个赌商集合是一致的；一个赌商集合是一致的，当且仅当，这个赌商集合不可能导致荷兰赌；一个赌商集合不可能导致荷兰赌，当且仅当，这个赌商集合满足概率演算公理；因此，如果荷兰赌定理被严格地证明，那么概率理论的主观基础得以合理建立（即被解释为部分信念的逻辑），即：一个个体的信念集合是合理的，当且仅当，他的信念集合满足概率演算律。由此，依据一致性条件和荷兰赌论证，阐释概率即部分信念的主观概率理论的主观基础得以奠定。

［1］Leonard J.Savage.The Foundations of Statistics[M].New York：John Wiley and Sons，1954.3.

［2］季爱民.主观主义概率观溯源及其成就探析[J].燕山大学学报（哲学社会科学版），2015,（3）：9.

［3］季爱民.主观主义概率观合理性探讨[J].安徽师范大学学报（人文社会科学版），2012,（6）：679.

［4］江天骥.科学哲学名著选读[M].武汉：湖北人民出版社，1988.

［5］Colin Howson.Dutch Book Arguments and Cosistency[J].PSA：Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association，Vol.1992，1992，（2）：162.

［6］Donald Gillies.Philosophical Theories of Probability[M].London and New York：Taylor&Francis Group Routledge，2000.60.

［7］陈晓平.大弃赌定理及其哲学意蕴[J].自然辩证法通讯，1997,（2）：1-9.

［8］季爱民.概率即部分信念[J].自然辩证法研究，2012,（11）：12.