关于积分上限函数的若干探讨

甄晨光 齐晓东

摘要：讨论积分上限函数的确定性，并用它讨论原函数的性质：如函数的单调性、奇偶性、连续性、导数等，补充证明变限函数的积分的求导公式。

关键词：积分上限函数 单调性 奇偶性 连续性

积分上限函数是积分学中的重要概念之一，它的重要作用就是引出微积分的两个基本定理，一是原函数的存在定理，二是证明牛顿-莱布尼兹公式。然而我们往往把教学重点放在如何应用牛顿-莱布尼兹公式进行有关的计算，而忽视了对原函数存在定理的进一步探讨，这也是本文讨论的内容：积分上限函数的确定性，并用它讨论并用它讨论原函数的性质：如函数的奇偶性、单调性、连续性等，证明变限函数的积分的求导公式。现在首先回顾原函数存在定理：

定理1 （原函数存在定理）设f（x）在[a，b]上连续，则积分上限函数？椎（x）= f（t）dt是f（x）在[a，b]上的一个原函数，即？椎′（x）=f（x），x∈[a，b]

大部分教材只介绍上面求导的式子，说明积分上限函数？椎（x）= f（t）dt的导数是f（x），但没有强调另一个关键的式子： f（x）dx= f（t）dt+C（1）

要注意的是不定積分 f（x）dx只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示f（x）的一个具体的原函数，特别当f（x）作为一个抽象的函数时，无法用 f（x）dx来讨论它的某一个原函数的性质；而 f（t）dt的最大优点在于它的确定性，表示的是f（x）的某一确定的原函数，并利用它来讨论f（x）原函数的性质：如函数的单调性、奇偶性、极值等。以下我们举例说明变上限积分函数 f（t）dt的应用以及重要性。

例1 设F（x）= e dt，则正确的是：（A）F（x）是单调递增的；（B）F（x）是单调递减的；（C）无法判断F（x）的单调性。

本题显然无法计算F（x）的具体表达式，我们根据积分上限函数F（x）的确定性，通过定积分的几何意义进行判断，也可以运用函数的导数来判断其单调性。

解：方法（一）因为被积函数e 大于0，故F（x）= e dt表示的是由x轴，y轴，曲线e 所围成的曲边梯形的面积，进而可以得知，随着x的增大，函数值F（x）也增大，所以（A）是正确的选项。

方法（二）根据定理1得知：F′（x）=（ e ）′=e ，又因为e >0，根据导数判断函数的单调性定理得到：函数F（x）是单调递增的。

例2 设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则（A）当f（x）是奇函数时，F（x）是偶函数；（B）当f（x）偶函数时，F（x）是奇函数；（C）当f（x）是周期函数时，F（x）是周期函数；（D）当f（x）是单调增函数时，F（x）是单调增函数。

解：现用变上限定积分表示f（x）的一个原函数，记？椎（x）= f（t）dt，并设其中f（x）为连续的奇函数，则

所以F（x）为偶函数，应选（A）。从上面的例子可以看出，变上限积分函数比不定积分的最大优越性在于函数形式的确定性。我们再来看一道类似的题目：

例3 讨论下列函数的连续性

所以，函数在x=0点不连续，但是右连续的。

例4 设

证明：变量x不仅是积分上限，还出现在被积函数中，由于这个定积分是对t积分，x与t无关，故计算积分时，把x看作常数即可。

例5 证明变限函数的求导法则

证明：把变限积分函数记为？椎（x），即有？椎（x）= f（t）dt

根据积分区间的可加性有：？椎（x）= f（t）dt- f（t）

利用复合函数的求导法则和定理1，有：

从以上讨论中可以看出积分上限函数的确定性在判断函数性质（如单调性、奇偶性、连续性等）中的重要作用，通过推导变限函数的求导公式，有助于学生理解复合函数的求导法则和原函数存在定理。笔者认为在教学中，有必要通过一两个例题加强学生在这方面的理解。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第四版.北京：高等教育出版社，1993：288-291.

[2]工程类数学教材编写组.高等数学[M].第一版.北京：高等数学出版社，2003.5.

[3]孙海娜.从一类考研题看不定积分与变项定积分的关系[J].高等数学研究，2007，10（3）：31-33.

课题项目：

本文为河北省教育科学研究“十二五”规划课题2013年度立项课题《以岗位需求为主线，构建与财会专业结合的高职数学课程体系》成果之一（课题编号：13051420）。

河北交通职业技术学院2012年度院级高等教育教学改革立项课题《构建与财会专业结合的经济数学课程体系的探索和实践》成果之一（课题编号：2012103）。

作者简介：

甄晨光（1980-），男，河北石家庄人，研究方向：数学教育教学，讲师。

齐晓东（1973-），女，河北石家庄人，研究方向：数学教育教学， 副教授。