“组合图形的面积”任务设计与教学

吴兴元

“组合图形的面积”是小学数学“图形与几何”领域的教学内容，人教版教材把这一内容编排在五年级上册第六单元《多边形的面积》中。该单元的第一部分是平行四边形、三角形和梯形的面积计算，第二部分就是组合图形的认识及面积计算。前者是后者的学习基础，后者是前者的灵活应用。两者都渗透了图形的转化方法。本课的学习任务主要围绕组合图形的认识及其面积计算进行设计和教学。

一、任务说明

（一）任务及目标

1.任务内容

2.任务目标

（1）结合观察、操作活动，认识组合图形，并能把它分成若干个基本图形。

（2）经历选择数据计算和交流分享的过程，掌握组合图形面积计算的一般方法。

（3）在解决问题的过程中，感受图形之间的转化及其联系，发展空间观念。

（二）设计说明

关于组合图形的面积计算，教材的学习任务设计如下：

该学习任务以解决生活问题“墙面面积”为素材，结合图示，让学生学习计算组合图形的面积。虽然该任务非常清晰，目的也很明确，但是从以往的教学实践看，教学效果不理想。从对学生的教学后测及数据分析中可以看得更清楚。

教学后测题：请测量并计算下面这一图形的面积。

参加测试的五年级学生共49人，是学生在学习了组合图形的面积计算之后的两个月进行的测试。

其中正确人数是26人，占全班人数的53.06%，错误人数23人，占46.94%。具体错误分类见下表：

错误原因 不会

解决 计算

错误 测量

错误 画错

平行线或高

人数（人） 8 6 3 6

占实测人数百分比 16.33% 12.24% 6.12% 12.24%

占错误人数百分比 34.78% 26.09% 13.04% 26.09%

参加后测的六年级学生共52人，是学生学习了组合图形的面积计算之后的一年两个月进行的测试。结果正确人数是32人，占全班人数的61.54%，错误人数20人，占38.46%。具体错误分类见下表：

错误原因 不会

解决 计算

错误 测量

错误 画错平行线或高

人数（人） 9 4 3 4

占实测人数百分比 17.31% 7.69% 5.77% 7.69%

占错误人数百分比 45.00% 20.00% 15.00% 20.00%

出现上述正确率不高的情况，我们认为和新课教学的学习任务密切相关。主要原因有三点：一是教材已经把例题中的组合图形作了分割，学生一眼就看出其由正方形和三角形组成，无法让学生经历组合图形转化为基本图形的学习过程；二是例题中给出的图形结构简单，计算其面积的方法单一，基本没有留给学生选择的余地，开放度不够；三是例题给出的关键数据太明显，而寻找隐藏的数据信息是本课教学的难点，在教材的该项学习任务中无法实现有效突破难点。除此之外，我们还需要加强对学生在测量和画平行线与高方面的指导。

新设计的学习任务，正好和教材给定的任务相反，其挑战性在于三个方面。

1.学习任务提供的是“原材料”图形，未作一点人为加工

当学生看到这个图形时，他们会发现运用原来的基本图形面积的计算公式，无法直接求得它的面积。那该怎么办呢？挑战性的学习任务让学生“跳一跳才能摘到桃子”，可以让学生集中注意力，促使他们主动思考。教学实践证明，根据学生的已有经验，经过独立思考，他们是能想到把组合图形转化为基本图形的。这个过程，其实也就是学生区别组合图形和基本图形、认识组合图形的学习过程。

2.学习任务提供的是“开放性”图形，计算方法多样化

有别于教材给定的墙面图，该图形转化为基本图形的方式很多。它可以转化为长方形+三角形、梯形+三角形、梯形+三角形和三个三角形，还可以从外部结构看，转化为梯形-三角形、长方形-梯形。同样给解决问题的方法也带来了多样化，学生可以选择一种方法解决问题，也可以选择多种方法进行尝试，给不同水平的学生提供了不同的发展空间。

3.学习任务提供的是“选择性”数据，关键数据要思考获得

如果学生将图形分为三角形+梯形（如图①），那么三角形的高在哪里，有多长？这是解决问题的关键。教学实践表明，在其他转化图形的过程中，找不到隐藏的数据往往是学生的主要困难。

总的来讲，新的学习任务，无论从认知水平和思维难度上，都有了明显的提高。这既符合“教学要创造最近发展区”的理论，也符合挑战性学习任务“不能立即解决，需要想一想，做一做”和“解决方式具有个性化和差异性”这两个基本特征。

二、任务教学

这一学习任务可以按以下教学程序展开。

首先，呈现图形，请学生观察、思考：能像长方形、三角形一样直接计算它的面积吗？然后追问：为什么？让学生明白这不是一个基本图形。继续追问：要知道它的面积，可以怎么办？引导学生进行图形转化。一般情况下，学生会侧重于从内部进行分割，除了上述图①之外，还会出现以下情况（如图②～⑤）。

教师再适当启发：除了从图形内部思考之外，再从外部想想，还可以怎么办呢？引导学生从另一角度思考（如图⑥～⑦）。

接着，观察上述转化后的图形，共同选择一个，比如三角形+梯形。学生独立计算面积。教师要关注学生中存在的典型错误和主要问题，搜集学生作品组织反馈。可以分两步走：第一步，请学生说说计算过程，讲清楚每一个算式在计算什么？第二步，关注学生在寻找隐藏的数据时是如何思考的？强调根据各种图形的边的特征，通过计算得到需要的关键数据。

最后，请学生从其他分法中任意选择一种，计算图形面积。先同桌交流，再组织集体分享。重点交流三件事：第一，分析外补图形的转化方法，突出最后要用大图形的面积减去小图形的面积，得到组合图形的面积；第二，分析图④，这种分法和图①相比比较麻烦，在方法选择上，要优化；第三，分析图⑤，由于不知道梯形的上底，也不知道三角形的另一条边（或高），根据给定的数据，这种方法不能解决问题，看来转化时还要分析可行性。

从教材的学习任务到新设计的挑战性学习任务，我们更多地期望：数学教学的学习任务设计，在达成基本知识和基本技能的基础上，还要关注学生基本数学活动经验的积累和基本数学思想方法的渗透。“组合图形的面积”任务设计与教学，就是站在这样的立场思考完成的。

（浙江省海宁市教师进修学校 314400）endprint