浅谈小学生方程思想的有序培养

张金元

方程是“数与代数”领域学习的主要内容，也是解决实际问题的重要工具。人教版教材把“方程”的教学安排在五年级上册，在教学中笔者发现，学生主动选择用方程解决问题的人数并不多。究其原因，一是学生算术思维根深蒂固。学生从一年级开始一直学习的都是用算术方法解决问题，“算术法”在学生头脑中已经根深蒂固，形成了思维定势。二是学生嫌方程的书写步骤烦琐。三是学生的方程思想尚未形成。用方程解决问题需要学生在感知问题情境的基础上，将日常语言“翻译”成数学语言，再把数学语言直接翻译为含有未知数的等量关系，对很多学生来说没有这样的习惯和意识，因而不选择方程解决问题也在情理之中。

方程思想是一个建模和化归过程，它必须经历由简入繁、由易变难、循序渐进的过程，不可能一蹴而就。那么如何在小学阶段有序地培养学生的方程思想呢？笔者针对这一问题进行了探索。

一、早期渗透

一至四年级的数学学习学生主要运用的是算术思维，如果在算术思维中适当渗透代数知识的学习，对五年级方程的学习就能水到渠成。其实翻阅各版本教材，不难发现，在第一学段甚至是第一册教材中就有许多方程的雏形，在很多练习中也能找到渗透“方程思想”的素材。

（一）早期渗透等式性质

学生认识方程的最大困难在于受等号是“输出结果”的影响，如4+5=9，从左往右运算，始终拘泥于具体运算，而不会把“4+5”看成是一个结果，学生始终认为“4+5”是一个算式，一个式子，必须要写出9才是答案。因此，在学生的头脑中只有实现“=”由“输出结果”向“相等关系”的转变，其对方程的认识水平才能发展。在小学低年级日常教学中要加强等式性质的渗透，将方程思想贯穿于问题解决之中，为今后的方程教学打下良好的基础。如一上计算5+（ ）=12时，教师可结合天平称物体的具体情境（左边5个垒球，右边12个垒球，天平的左边应增添几个垒球，天平才平衡），通过演示来帮助学生学习，让学生感悟到左边必须加上7个垒球，这时天平才会平衡，即括号里的数填7。在此基础上让学生进行变式：写出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后转化为图形算式：5+7=□+2，让学生在操作天平的同时，体验“代入”思路，构造图形等式，推算结果，体验等式性质。

（二）早期渗透方程思想

一年级的教材中有这样的习题：桌子上有5本书，书包里还有一些书，一共有12本书，书包里有多少本书？学生也会列成：5+7=12（本），答：书包里有7本书。很多教师都不会去思考学生的想法，直接判学生错。学生对这种算法形成的原因到底是什么呢？一年级学生在解题时并未意识到未知数和已知数的不平等，他们更关注事情的发展顺序。因此，当题目的叙述与事情的发展顺序相反时，由于缺少“从结果推算出原有条件”的能力，往往将未知数与已知数混在一起，按照事情的发展顺序列出算式。这一根据题目叙述“直陈直写”的列式方式却恰恰是小学中高年级方程思想的核心，是学生必须掌握的基本方法。

在教学中教师应该呵护学生这种同等看待已知数和未知数的想法，这是方程思维的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引导学生用◆、（ ）代替未知数进行列式：5+◆=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），从而让学生分清什么是已知的，什么是未知的。这样的教学能使学生经历从实物素材抽象到图形素材，为从图形素材抽象到字母符号素材的思维发展奠定基础。同时，这样的安排不仅符合学生的思维发展规律，而且促进了学生对减法意义的理解，最重要的是保护了学生与生俱来的方程意识。

二、现期调整

（一）重组教材，整合框架

人教版实验教材正式进入方程学习是在五年级上册第四单元，教材编排主线是先用字母表示数，然后在天平的演示下构建方程意义，接着是在具体情境中进行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教学，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三类稍复杂方程的教学。教材将方程的解法融入具体情境中，算用结合，增加了学生学习的难度。学生一边要在现实问题中收集分析有用的数学信息，将它们抽象成数学语言，同时又要关注方程解法技能的习得，往往会顾此失彼。所以在实际教学中，笔者在教学了方程意义后，先教学“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各类方程的解法，最后教学用方程解决实际问题。在教学稍复杂方程解法时，笔者有意不使用新的问题情境，而是用学生熟悉和已掌握的问题类型来帮助学生理解算理，让学生从“以算促用”自然地过渡到“以用引算”。用新方法解决旧问题，对学生来说问题是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，无形中降低了学习的难度，找到学生学习方程的新的发展点，激发了学生学习、使用方程的动力。

（二）重构教学，建立模型

有许多教师在教学时总是将目标落在“知识与技能”这一维度上，把方程意义的学习等同于让学生记忆“含有未知数的等式”这句话，在解方程中只重视结果，注重单纯的技能训练，没有“建模”和“用模”的痕迹。

1.以“质变”为认知核心，识别“序”的架构

方程的实质是用等号将相互等价的两件事情联立起来，而小学生的思维发展规律是从实物到半抽象的图形再到字母符号的过程。学生在低段的学习中已经经历了实物到图形的过程，在课堂教学中教师要把方程的本质作为学生认知的核心，注重实质，逐步建立方程思想。在教学“简易方程”时不仅要让学生理解“=”表示左右两边的相等关系，让学生从“象形方程”到“简写方程”再到“符号方程”，帮助学生体验符号代替数的简洁，体会方程的意义，从而让学生理解方程是关于已知数和未知数相等关系的“天平”，促进对方程实质的理解和领悟。

2.以“联系”为思维路径，洞察“联”的因果

要让学生初步领会方程思想，不能就题论题，而应当从方程的视角抓住众多事物的共同普遍性的本质，以实质上具有同类关系的问题为主线突出相应的解法要点，达到触类旁通、体验方程的思想和价值。如稍复杂方程以“王阿姨到水果店买苹果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，苹果每千克多少元？”为切入口，让学生形成“ax+ab=f”与“a（x+b）=f”的两积之和模型。教师还可以将例题进行变式，把“王阿姨到水果店买苹果2千克，梨每千克2.8元，买了3千克，梨比苹果多付3.6元，苹果每千克多少元？”变式为ax+m=bc的总量相等的模式，还可以变为其他一些形式。endprint

学生在此类问题的分析、讨论、验证中可以逐步发现此类问题的共性，从而将本质属性抽取出来：只有一个量作为未知数，不管如何变化，都是总量相等。同时，也在辨析中突破了“ax+ab=f”与“a（x+b）=f”两积之和的基本型，从而打破了例题界限，在众多形态各异的表象背后蕴藏着千丝万缕的联系和高度概括意义的数学思想方法，催化了两积之和方程模型的建构，提升了方程建模的理性高度。

3.以“矛盾”为探究理念，丰富“探”的内涵

在方程教学中一直以来争议最大的就是解方程是依据等式基本性质还是四则运算的关系？或者是两者兼顾？到底哪一种好，众说纷纭。在人教版教材中四则运算的方法只在解方程的起始课中出现了一次，教材的意图是突出用等式的性质进行教学。针对这一“矛盾”，笔者在平行班中进行了对比教学：班级①先学习用等式基本性质解方程，然后学习用四则运算的关系解方程；班级②以等式基本性质为主，以四则运算的关系为辅；班级③只学习用等式基本性质，对四则运算的关系只在第一课时一笔带过。教学之后，对三个班级进行了检测，结果发现：班级③的正确率最高，学生解题基本上不受各部分关系的影响；但是班级③的学生虽然正确率高，而速度明显要比其他班级慢得多。

在后续教学中，为了提高学生的书写速度，笔者在教学列方程解决问题时先要求学生用完整、规范的步骤书写。在学生熟悉步骤后，让学生简化书写程序，可以将题目中表示未知数的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。检验时运用直接代入法进行检验。这样就大大提高了解答的速度，同时也提高了学生主动选择用列方程解决问题的自觉性。

4.以“发展”为关注视角，追踪“发”的轨迹

在实际教学中，教师要站在系统的高度来处理方程教学内容，以初中代数教学视角来统领小学方程教学，以发展的眼光看待学生方程思想的形成过程。

如在教学ax=b中，教师呈现了以下的题组：

① 一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少？

② 某人骑自行车4小时行了60千米，平均每小时行了多少千米？

③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？

学生通过分析都很快列出方程：4x=60。然后教师进一步引导学生质疑：“4x”在以上三题中分别表示了什么含义？以上题组创设的数学情境简单易懂，易于让学生找出基本的等量关系，当学生会用数学语言对等量事实进行清楚的描述与概括后，教师让学生根据自己的生活经验编一道用方程“4x=60”解答的实际问题。在教学中教师用“发展”的视角利用问题情境的变式，而保持基本数学模型的不变，引导学生领会问题间的内在联系，抓住问题的实质，使学生在简单的现实情境中感受数学建模思想。

三、后期延展

正如前文所述，学生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一个由易到难、由简到繁不断螺旋上升的过程。学生虽然经历了从文字方程到图形方程，再从图形方程到字母方程的过程，初步建立了方程思想，但要想让方程思想在学生脑海里深深烙上印记，就必须在后续的教学中结合相应的教学素材不断反复地加以强化。比如在学习人教版“简易方程”后，教材紧接着安排了“多边形面积”的内容，那么多边形面积计算公式的推理过程，多边形面积的等积变形，也可以与方程教学有机结合。如：一个等腰梯形的周长是52厘米，腰长为6厘米，如果下底缩短4厘米，面积就要减少9平方厘米。求这个梯形的面积。在分析解题时要让学生建立“原梯形面积=现梯形面积+9”的加法模型，利用加法模型让学生用方程思想解答平面几何题。这一过程实质上是把几何中的“形”的问题，借助于代数中的“数”去揭示几何量之间的内在联系，从而达到解决问题的目的。还有六年级的分数、百分数的应用、正反比例等知识的学习，教师都应有意识地和方程教学相联系。

总而言之，我们的教师要有“大方程教学观”，在第一学段有意识地渗透“文字方程”“图形方程”，让学生从“方程思想直觉阶段”有效地过渡到“方程思想形成阶段”的“字母方程”，然后走向“方程思想的应用阶段”，最终达到学生方程思想的有序构建。

（浙江省建德市三河小学 311600）endprint