“计算”如何变教为学

计算教学在现行小学数学课程中通常包括笔算、口算、简算和估算。其中的笔算、口算和简算是以计算准确为目的，在此基础上计算方法有所差异。而估算是在实际情境中以达成计算者主观意愿为目的的计算，因此具有“情境之中、无须准确、追求简捷、达成意愿”的特征。[1]下面重点谈一谈在“变教为学”的背景下，笔算教学中学习活动的设计。

笔算这一说法是相对于历史上数学课程中的珠算和心算而言的，也就是现在所说的“竖式”计算。传统的竖式教学往往追求的是“又对又快”，因此采用的教学方法是讲解和示范。学生的学习方法是倾听、模仿和练习。这样的教法和学法在某种程度上是可以达到“又对又快”的目的，但是缺失了学生的主动思考和不同方法之间的融会贯通，也缺失了学生之间不同方法的表达和交流。“变教为学”期望计算的教学过程成为学生主动的学习过程。这样的学习过程至少应包括如下三个环节。

第一是对多种算法的探索和交流。事实上，在历史上笔算竖式的写法是多种多样的，[2]以三位数乘两位数“125×12”为例，如果从右向左的顺序可以写为：

如果是从左向右的方向则可以写为：

除了竖式之外，还可以运用“算式重组”的方法，[3]把“125×12”改变为“（125×4）×3=500×3”或者“125×（10+2）=125×10+125×2”等形式进行计算。为了让每一个学生都经历对多样化计算方法的探索和交流，这一环节的学习任务可以设计为“用尽可能多的方法计算125×12，并向同伴讲解你的方法。”，学生依据这样的任务，借助自己已有的知识和经验，就可以开展探索与交流的学习活动了。

第二是对不同方法的理解与比较。理解算法的有效方法是用其他方式重新表述计算过程。比如可以给学生布置这样的任务：“在算式□×□=1500的方格中填写恰当的数，使得乘积等于1500。”学生在填写的过程中就会发现诸如“125×12=500×3”这样的算法的合理性，并且发现其中蕴含着的乘法“积不变”的规律，即“如果一个因数扩大的倍数，与另一个因数缩小的倍数相同，那么乘法的积不变”。

再比如，还可以利用长方形面积的问题帮助理解。给学生布置这样的任务：“用不同的方法求出下面长方形ABCD的面积。”

学生在不同方法的对比中，自然就会发现“（100+25）×12=100×12+25×12”的合理性。

在充分理解各种计算方法的基础上，就可以引导学生针对不同方法的比较，这样的比较一方面是观察不同方法的相同点和不同点，另一方面是分析每一种方法的优势与不足。需要注意的是，比较的结论应当是开放的，学生的结论只要是能自圆其说的，就应当认为是正确的，是需要被尊重的。切忌给出“某种方法好，其他方法坏”的结论。因为方法的价值判断是主观性的，是因人而异的。

第三是对计算方法的提升与应用。计算方法通常是操作性的，比如运用乘法“积不变”的规律将“125×12”改变为“500×3”，这样的方法可以叙述为“将因数125扩大为原来的4倍，再将因数12缩小4倍”。如果将这样的方法看作对算式“125×12”的解构与重构，也就是分解之后重新组合，那么这样的想法就有了更广泛的应用。数学中许多问题的解决都需要采用类似于此的方法。

比如，推导平行四边形的面积公式，通常就是将平行四边形分解后，重新组合为一个面积相等的长方形。[4]再比如，将假分数化为带分数也是分解后重新组合成新的形式。比如，要将假分数化为带分数，首先就需要将分子10分解为3的倍数9与1的和，而后重新组合为3，即：

这样的方法在中学乃至大学的数学学习中会经常用到，比如许多时候需要对诸如的代数式进行化简，所采用的方法与前面假分数化为带分数的方法是一样的，即在分子中分解出分母的因式，而后重新组合。具体过程为：

===X+1+

像上面这样，将一个具体的操作方法提升为一种想法，而后将这种想法应用到更加广泛的解决问题之中，无疑对于建立知识与方法之间的关联，培养学生的思维能力会有所裨益。这样的设计可以用下面的表格清晰地呈现出来。

三位数乘两位数教学设计

学习目标 经历对“125×12”多种笔算方法的探寻过程；对不同方法的比较过程以及对算法的应用过程。

子目标 探索多样算法 经历方法比较 联想应用方法 反思总结学习

学习任务 你能用多少种方法写出“125×12”的计算过程？先独立思考，再与同伴交流。 你认为每一种方法的优点是什么？不足之处是什么？把自己的想法说给同伴听。 你认为哪一种方法最好？举一个你自己熟悉的例子说明这个方法的好处。 总结出“三位数乘两位数”与“两位数乘两位数”的计算方法的相同点和不同点。把你的总结写出来。

学习活动 回忆两位数乘两位数的计算方法；思考、书写、表达、倾听不同计算方法。 比较的思考过程；倾听和表达不同的价值判断。 联想的思考过程。 归纳与概括的思考过程；用书面语言表达想法的过程。

计算实质上不是知识的学习，而是学生利用自身经验进行探索的过程。对“三位数乘两位数”的探索实质上是对“两位数乘两位数”所获得的经验的应用和拓展，因此教学中应当充分利用学生已有的经验，引导学生开展自主与合作的学习活动。

参考文献

[1]郜舒竹，王海娇. 教科书中的“大约”与估算[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2012（11）

[2] 郜舒竹. 回眸历史看竖式[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2013（6）

[3] 郜舒竹， 郑丽丽. 估算方法知多少[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2012（10）

[4] 郜舒竹. 由此及彼，探索规律[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2013（12）

（首都师范大学初等教育学院 100048）