问题启发课堂思维，探究提升信息素养

陈朝晖

● 问题启发：冯·诺依曼为何选择二进制

1.信息表达

计算机是机器，在当时背景下，用机器表达信息的局限性决定了使用二进制更加方便。书本从电流、电压等方面做了解释（如电位中高电位为1，低电位为0;线路中线路开通为1，闭合为0等）。

2.运算处理

计算机（ENIAC）研发的初衷是计算，机器在做计算时选择不同进制，将直接导致运算难度差异。下面我们通过比较1位数值A和数值B做加法运算，在实现上需考虑的情形。

（1）简单的二进制相加

表1    二进制相加表

从表1我们可以看出：二进制数值A和数值B做A+B运算，需考虑的情形仅有4种。结合当时条件，毫无疑问用二进制处理数据在机器实现上相对简单。

（2）较复杂的十进制相加

如果使用我们熟悉的十进制（如表2），做A+B运算需考虑的情形总共有100种，机器实现难度可想而知。从中我们可以看出冯·诺依曼选择二进制系统，在当时背景条件下毫无疑问是极其明智的。

表2      十进制相加表

● 科学探究：百花齐放的不同进制

用心去慢慢品味，你会发现我们生活中存在多种进制类型：①星期（星期一、星期二、……、星期七，七进制）;②月份（一月、二月、……、十二月，十二进制）;③时间（1点、2点、……、24点，二十四进制）。书本中还提到八进制、十六进制。不同进制运用于不同场合，为我们生活带来诸多便利。请学生结合生活中不同进制，并对其做深入探究。

1.基数的探究

基数，即基本数字，在不同进制中，常指数据在某一位置上允许出现的数字个数。下面，我们列举几种不同进制类型，对其基数进行比较。

表3  不同进制类型的基数比较表

进制类型 基本数字 基数

十进制 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 10

七进制 0、1、2、3、4、5、6 7

二进制 0、1 2

2.十六进制中为何有字母

按表3理解，十六进制基本数字应为0、1、……、15。这样似乎很合理，但禁不住推敲。例如，数字10是代表某个具体位置，还是分别代表两个位置上的数字（一个位置为1，另一个位置为0）？很明显，如果十六进制基数这样表述，极易引发位置上的错位、混淆。

怎样解决这个问题？我们可以创建新符号来替代那些易引发混淆的双位数值（如画一个三角形符号代表数字10），用新符号来替代双位数值问题就解决了。人们常常将十六进制基本数字表达成0、1、……、9、A、B、……、F（如双位数值10用大写字母A表示），这种表述简单方便，易达成共识。

3.七进制的困惑（奇妙的0）

前面我们提到星期是七进制，它的基数是1、2、……、7。如果做七进制运算或许你会感到困惑：7+1=（ ），3+4=（ ），七进制逢7不进位，这让人难以接受，所以将七进制基数定为0、1、……、6将更加合理。

● 科学探究：“位置标记”是进制的核心

要探究不同进制本质，我们先来分析熟悉的十进制，并挖掘其中蕴含的规律——位置标记。

（表中第1行是“位置标记”，第2行是对应位置下的数值）

（52154.23）10=5*104+2*103+1*102+

5*101+4*100+2*10-1+3*10-2……①

1.“位置标记”的便利

在每一个数字上方标记出对应位置，这就是“位置标记”。表4（52154.23）10中有两个数字5，“位置标记”描述了数字5的差异，在位置4下方数字5=5*104，而在位置1下方数字5=5*101。

在进制系统中，“位置标记”是人类数值表达上的一大进步。笔者认为，其他进制也采用了“位置标记”法，这是进制系统的核心，也是不同进制彼此相通之处，是我们掌握进制换算的关键密钥。

2.统一进制，比较大小

（52154.23）8 （1001110.01）2 （5E1.A3）16

要让不同进制进行大小比较，我们必须统一进制。在表4①处，我们利用“位置标记”将（52154.23）10逐位展开。同样通过这种方式，我们可以将八进制转换成十进制：

（52154.23）8=5*84+2*83+1*82+5*81

+4*80+2*8-1+3*8-2=（  ）10

现在要将任意R进制转换成十进制，只需要调整基数R即可。为什么转换之后得到的就是十进制数？这是因为在“位置标记”法等式右端，我们的计算处理采用了十进制累加形式，因此不同进制数据都将换算成十进制。

3.4位二进制等同1位十六进制

在课堂教学中，许多教师都会提到，每4位二进制等同1位十六进制及“8421”法则。“知其然，更要知其所以然”，下面我们来揭开其神秘面纱。

请观察②展开式中的基数变化，你会发现二进制已转换成十六进制。

4.“8421”法则的由来

将②括号中的每组数据写成通式为：（x*23+x*22+x*21+x*20）=（x*8+x*4+x*2+x*1）（x值为0或1），4位二进制刚好对应1位十六进制数，这就是“8421”法则的由来。

如果二进制数据带有小数部分，则从小数点位置开始，整数部分向左，小数部分向右，每4位为一组用1位十六进制数表示，不足4位用“0”补足4位，这样就得到1位十六进制数的二进制形态。

为什么打点分组？因为小数部分无论如何转换，都不可能变成整数部分。将“8421”法则直接运用到计算中更加方便。我们将x值为“1”和“8421”对应数字累加，最后结果写成对应的十六进制形态即可。另外，十六进制转换成二进制是其逆运算过程，八进制与二进制转换与此类似。

● 问题启发：任意进制的衍生

前面，我们可以将任意进制统一成十进制并比较大小。相反，如果给定十进制数据，我们怎样得到其他进制？我们先来回顾任意R进制“位置标记”法。

（52719）R=5*R4+2*R3+7*R2+1*R1

+9*R0……③

1.用余数构造基数

不同进制的不同主要是基数不同（八进制有8个基本数字：0、1、……、7）。现在我们来考虑十进制整数除以R可能产生哪些余数？

除以2的余数为：{0、1}

除以8的余数为：{0、1、……、7}

当一个整数除以R时，其余数{0、1、……、R-1}恰好构成R进制的基本数字。

2.十进制转换成任意R进制

观察上面展开式③，你会发现其逆运算过程就是得到任意R进制的方法。

“将十进制的整数部分除以R，得到一个商和余数;再将这个商除以R，又得到一个商和余数;反复执行这个过程，直到商为0结束”，这就是“除以R取余”法。

3.除法为何倒立书写

倒立书写是为了使除法运算不断重复下去，在相除过程中，被除数在不断变小，直至为0。倒立书写为下一次除法预留了书写空间。另外，从直观上考虑，我们不妨将每次相除后得到的余数直接写在商旁边（如图1）。

很明显，现在得到的这组余数就是R进制数据。接下来是排列问题，这组余数是从上往下排列吗？

（1）列反例加以证实

图1中（54）10=（110110）2，当被除数刚好整除时，余数为0，但0是不可以当高位的，这说明书写顺序不可以从上往下。

（2）用十进制检验

进制数据处理彼此相通。当遇到困惑时，不妨回归到我们熟悉的十进制，或许马上就能有答案，如图2。

总之，《二进制与编码》在教学中极易被教师忽视。教师通过问题启发课堂思维，探究提升信息素养的方法，不仅能使课堂趣味横生，也在无形中提升了学生的信息素养。