对一道高考试题的探讨

张全军

高考试题：

已知函数f（x）=x2+2x+alnx（x>0），f（x）的导函数是f ′（x），对任意两个不相等的正数x1﹑x2，证明：

（Ⅰ）当a≤0时，f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）;

（Ⅱ）当a≤4时，|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.

该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题：能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强，使得（Ⅰ）﹑（Ⅱ）仍然成立呢？

为了探讨这个问题，首先给出一个定义和一个定理：

定义（函数凸凹性）： 已知函数f（x）在区间（a，b）有定义，对任意的x1﹑x2∈（a，b）.

（1）若有f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22），则称f（x）在区间（a，b）是凸函数;

（2）若有f（x1）+f（x2）2

定理（微分中值定理）：若函数f（x）在区间（a，b）连续，在区间[a，b]可导，则在区间（a，b）内存在一点ξ，使得

∣f（x1）-f（x2）∣=∣f ′（ξ）∣·∣x1-x2∣

利用上述定义和定理，我们来探讨上面提出的问题：

对考题中的函数f（x），求导得f ′（x）=2x-

4x3-ax2，

f ″（x）=2+4x3-ax2.要使f（x）满足f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）

，即f （x）是凸函数，只需满足f ″（x）=2+4x3-ax2>0，即a<

2x2+4x.令g（x）=2x2+4x，则g′（x）=4x-4x2，g″（x）=4+8x3，所以函数g（x）在x=1处取到最小值g（1）=6，所以a<6.故考题（Ⅰ）可加强为：

已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a>0），f（x）的导函数是f ′（x），对任意两个不相等的正数x1﹑x2，证明：当a<6时，f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）.

对于考题（Ⅱ），由微分中值定理知，对任意两个不相等的正数x1﹑x2，在x1与x2之间存在一点ξ，使得︱f ′（x1）-f ′（x2）︱=︱f ″（ξ）︱·∣x1-x2∣，所以要使f（x）满足|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|，只需︱f ″（x）︱=︱2+

4x3-ax2︱>1.由上可知，当a<6时，f ″（x）=2+4x3-ax2>0，所以︱f ″（x）︱=︱2+4x3-ax2︱=2+4x3-ax2>1，即x3-ax+4>0，a

2x-4x2，h″（x）=2+8x3，函数h（x）在32处取到最小值h（32）=334，所以a<334.故考题（Ⅱ）可加强为：

已知函数f（x）=x2+2x+alnx（x>0），f（x）的导函数是f ′（x），对任意两个不相等的正数x1﹑x2，证明：当a<334时，|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.