圆的性质在双曲线中的推广及简单应用

王新宏 陈雪莲

在科学创造的发现与发明中，类比有着十分广泛的应用.本文借助圆中我们熟悉的5个性质出发，类比出双曲线的5个类似性质，以期抛砖引玉，激发起同学们的创造热情和类比发现意识.

定理1 点P（x0，y0）为圆x2+y2=1上任意一点，则过点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x+y0y=1.

推广定理1 点P（x0，y0）为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任意一点，则过点P（x0，y0）的双曲线的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.

证明 （Ⅰ）不妨假定y≥0，则由x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）得

y=bax2-a2，所以y′=ba·xx2-a2，k=y′|x=x0=ba·x0a2b2y20=b2a2·x0y0.

由点斜式得y-y0=b2x0a2y0（x-x0），b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，即x0xa2-y0yb2=1.

（Ⅱ）当y≤0时， y=-bax2-a2，同理可证切线为 x0xa2-y0yb2=1.

定理2 直线l切⊙O于T，且OT，l都存在非零斜率kOT，kl，则kOTkl=-1.

推广定理2 直线l切双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）于T，且OT，l都存在非零斜率kOT，kl，则kOTkl=b2a2.

证明 设切点T（x0，y0），则切线l的方程为x0xa2-y0yb2=1，进而有kl=b2x0a2y0.又因为kOT=

y0x0，所以，kOTkl=b2a2.

定理3 AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPAkPB=-1.

推广定理3 AB是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的过坐标原点的线段，点P是其上异于A，B的任意一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPAkPB=b2a2.

证明 如图1，设A（asecθ，btanθ），P（asecφ，btanφ），则B（-asecθ，-btanθ）.

kPA=b（tanθ-tanφ）a（secθ-secφ）

=2bsinθ-φ2cosθ-φ2-2asinφ+θ2sinθ-φ2

=bacosθ-φ2sinφ+θ2，

kPB=b（tanθ+tanφ）a（secθ+secφ）

=2bsinθ+φ2cosθ+φ22asinφ+θ2cosθ-φ2

=basinθ+φ2cosθ-φ2.

所以kPAkPB=b2a2.

定理4 AB是⊙O的弦，M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kABkOM=-1.

推广定理4 AB是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的弦，M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kABkOM=b2a2.

证明 如图2，过B作双曲线的经过坐标原点的弦BC，连结AC，则OM∥AC.由上述推广定理3可知kABkOM=kABkAC=b2a2.

定理5 AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD相交于点P，则PA·PB=PC·PD.

推广定理5 AB，CD是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条弦，

直线AB，CD相交于点P，且直线AB与CD的倾斜角互补，则PA·PB=PC·PD.

证明 如图3，设直线AB，CD的倾斜角分别为θ，φ， 设点P的坐标为（x0，y0）， 则弦AB的参数方程为x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ （t为参数）.将其代入双曲线的方程，化简得（b2cos2θ-a2sin2θ）t2+（b2x0cosθ-a2y0sinθ）t+（b2x20-a2y20-a2b2）=0.

由参数t的几何意义可知， |PA|·|PB|=|t1t2|=|b2x20-a2y20-a2b2||b2cos2θ-a2sin2θ|.同理可得|PC|·|PD|=|b2x20-a2y20-a2b2||b2cos2φ-a2sin2φ|.

又因为θ+φ=π，所以sin2θ=sin2φ，cos2θ=cos2φ.

所以PA·PB=PC·PD.

类比是科学研究中常用的一种思维方法，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理. 尽管类比推理只是一个合情推理（即类比得到的结果未必正确），但因其具有创造性的特点，而被广泛应用于科学研究之中. 有兴趣的同学不妨试一试，看看你是否能用类比的方法推出某个新的定理.