两道光学题的数学巧解

两道光学题的数学巧解

刘成刚

(青海省海东市平安区第一高级中学，青海海东810600)

图1

解析：要求出距离d，首先要确定光线在玻璃球内部的反射点位置，由光路进出平行的特点，猜想光路可能与直线AOB对称，即光线在玻璃球内部的反射点可能是B点，是不是这样？需要几何证明.

图2

如图2所示，光线在D点入射，假设在球内B′点(不一定是B点)反射，从E点出射.OM、OB′ON分别为光线在D点、B′点、E点的法线，入射光线CD在D点的入射角∠CDM设为θ1、折射角∠B′DO设为θ2，由几何关系和反射定律得：∠EB′O=∠DB′O=∠B′DO=θ2，由折射定律知出射光线EF在E的出射角∠FEN也应为θ1.

过O点作A′O∥CD，因为∠A′OD与光线在D点入射角∠CDM是同位角，则∠A′OD=∠CDM=θ1.依题设FE∥CD，则FE∥A′O，又∠A′OE与出射角∠FEN是同位角，于是∠A′OE=∠FEN=θ1，因此∠A′OE=∠A′OD=θ1.故射线A′O为等腰三角形DOE的角平分线，也是线段DE的垂直平分线.又因为∠DB′O=∠EB′O=θ2.则射线B′O为等腰三角形DBE的角平分线，也为线段DE的垂直平分线.而DE的垂直平分线只有一条，因此射线A′O与射线OB′应在同一条直线上，也即点A′、O、B′在一条直线A′B′上，应为玻璃球的直径.有前面所作A′O∥CD，则A′B′∥CD.所以点B′与点B重合.至此已证明猜想：光线折射进入玻璃球后确实在B点发生反射.

例2(2008年全国卷Ⅱ)：一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经过两次折射后从玻璃板另一表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离，在下列情况下，侧移距离最大的是().

A. 红光以30°的入射角入射

B. 红光以45°的入射角入射

C. 紫光光以30°的入射角入射

D. 紫光以45°的入射角入射

图3

综合上述，对于波长一定的光线，入射角i越大，出射光线相对于入射光线侧移量越大；入射角一定时，波长越短，折射率n越大，出射光线相对于入射光线侧移量也越大.故选项D正确.

在上面所讨论的两个问题中，似乎都能显然地给出结论，但总给人似是而非的感觉，运用了数学知识加以解决，问题就清晰明朗了.因此，在物理教学中结合数学知识去解决物理问题，会有助于对物理问题的解决和透彻理解.

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