有机整合凸显交汇

☉江苏省如皋市第一中学 孙海建

有机整合凸显交汇

☉江苏省如皋市第一中学 孙海建

等差数列、等比数列是江苏8个C级考点中的2个.近几年江苏高考对数列的考查淡化了技巧性较强的性质，进一步突出了基本量的考查，凸显了通性通法，各大市命题时均顺应高考考试说明，加大了对等差、等比数列的考查.近年来等差、等比数列的交汇题层出不穷，向纵深方向发展，常以压轴题出现，笔者对此进行了归类研究，以求破解之道.

一、从等差数列（等比数列）中抽出部分项成等比数列（等比数列）

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，S6= 22.

（1）求Sn；

（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{bkn}，其中k1=1，且k1

①当q取最小值时，求数列{kn}的通项公式；

②若关于n（n∈N*）的不等式6Sn>kn+1有解，试求q的值.

分析：等差数列中抽取部分项成等比数列时，以等差数列为基础，利用“等比数列{bkn}每一项为等差数列{an}中的项”这一限制条件，对公比q逐步进行验证、取舍，直到满足.当q>1且q∈N时符合题意，再由不等式6Sn>kn+1有解，归纳猜想并证明q的取值范围为2，3，4.

（2）因数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{akn}的公比q>1.

①若k2=2，则由，得，此时由（n+2），解得所以k2>2，同理k2>3.若k2=4，又a4=4，则q=2，此时akn=2·2n-1.又2），所以

即kn=3×2n－1－2．

而6Sn>kn+1有解，所以有解.

又f（1）<0，所以f（n）<0恒成立，所以bn+1－bn<0，所以bn≤b1恒成立.

当q≥5时，b1<1，所以当q≥5时，6Sn>kn+1无解.所以q的取值为2，3，4.

二、等差数列、等比数列交错排列

例2已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．

（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；

（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有

分析：涉及特殊数列问题，一般用待定系数法解决，但一定要检验.条件“a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列”的运用有两个方向，决定本题有两种解题方法：一是等量代换，求出数列通项公式后，比较大小；二是放缩，直接比较大小.

解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．

又a2，a3，a4成等比数列且a2＝1，所以

因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝

（2）因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1①，②，所以a2n+1＝③.

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，可得

①当n＝2m，m∈N*时，

②当n＝2m－1，m∈N*，m≥2时，

综上，对一切n∈N*，n≥2，有

三、等差数列与等比数列互相转化

例3设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，t∈N*，都有

（1）求数列{an}的通项公式（用a1表示）；

（2）设a1=1，b1=3，bn=Sbn－1（n≥2，n∈N*），求证：数列{log3bn}为等比数列；

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a1（2n－1），且当n=1时，此式也成立．

故数列{an}的通项公式为an=a1（2n－1）．

（2）当a1=1时，由（1）知an=a1（2n－1）=2n－1，Sn＝n2．

（3）由（2）得log3bn=1×2n－1=2n－1，所以bn=32n－1（n∈N*）．

四、等差数列、等比数列有机整合

例4已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：

分析：本题利用等差数列和等比数列的基本性质.根据基本不等式得到用反证法证明等比数列{an}的公比q=1，从而得到an=a1（n∈N*）的结论，再由·b知{b}是公比为nn的等比数列.最后用反证法求出

（2）因为an>0，bn>0，所以所以

设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1.

n1

所以b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1