课堂探究三项递推数列求通项

☉江苏省石庄高级中学 刘小明

课堂探究三项递推数列求通项

☉江苏省石庄高级中学 刘小明

由递推关系求数列通项既是数列一章的重点也是难点，难就难在类型多，技巧性强.其实处理递推数列问题的基本思想就是对递推式进行变换，通过变换把递推关系转化为等差数列或者等比数列.本文以一道课本习题为例展开探究，就其中所涉及的解题思想及常见变化进行归纳梳理，供读者参考.

一、题目探究

题目（人教A版必修5第77页习题6）已知数列{an}，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式.

师：前面我们讲述了由前后两项递推关系求数列通项公式问题，请同学们回忆一下相关的题型和方法.

生1：（1）an＋1-an＝f（n）型，采用累加法求解.

（3）an+1=pan+q（p、q为常数），利用待定系数法，构造等比数列{an+1+λ}求解.

（4）a＝p·a＋An＋B等价转化为a＋A（n＋1）＋B＝（a＋n＋1nn＋1nAn＋B），利用待定系数法求出A，B后，进而转化为等比数列求解．

（5）an+1=pan+rqn（p、q为常数，p≠0，p≠1，q≠1，r≠0），此类问题常见的解法是两边同除以qn+1，转化为类型（3）.

师：给出递推关系求数列通项公式问题的处理基本原则是什么？

生众：构造特殊数列，即等差或等比数列.

师：本题所给的递推关系是相邻三项之间的关系，如何处理？

生2：本题也可以采用构造法：将式an=2an-1+3an-2（n≥3）两边同时减3an-1，得an-3an-1=-an-1+3an-2，即得an-3an-1= -（an-1-3an-2），进而得新数列{an-3an-1}为等比数列，其首项为-13，公比为-1，所以an+1-3an=-13·（-1）n-1.①

将式①两边同时除以（-1）n+1，得-13，即，设，所以b=-3bnn-113，利用待定系数法可得，所以数列｝是以为首项，-3为公比的等比数列，故即所以，所以

师：构思巧妙、过程严谨，非常好！还有没有其他解法？

生3：将等式an=2an-1+3an-2（n≥3）两边同时加an-1，得an+an-1=3an-1+3an-2，即得an+an-1=3（an-1+an-2），进而得新数列{an+an-1}为等比数列，其首项为a1+a2=7，公比为3，所以an+1+ an=7·3n-1.②

和我们处理过的问题类型不相符……

解题无法继续.

师：解题中断于此，有些可惜，能否转化解决？

生4：可以将生2、生3的解法结合起来.

将等式an=2an-1+3an-2（n≥3）两边同时减3an-1，得an-3an-1=-an-1+3an-2，即得an-3an-1=-（an-1-3an-2），进而得新数列{an-3an-1}为等比数列，其首项为-13，公比为-1，所以an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

二、探究解题通法

师：通过上面两种构造方法，请总结一下此类问题的通法.

生5：有些问题不易直接观察出构造方法，可借助待定系数法求解.

由已知所给递推关系，可设an+xan-1=y（an-1+xan-2），整理得an=（y-x）an-1+xyan-2，对照已知递推关系得解得或以下同上.

待定系数法的原理其实是构造法，即将所给递推关系构造为特殊的等差或等比数列，进而利用等差或等比数列通项公式求解.形如an+2=pan+1+qan（其中p，q为非零常数）型，可直接构造新数列求解.有些问题通过移项、重新组合即可构造出特殊数列，如数列{an}中，a1=8，a4=1，且满足an+2-2an+1+an=0，求数列的通项公式.

由an+2-2an+1+an=0，得an+2-an+1=an+1-an，所以{an+1-an}为常数列，即{an}是以a1为首项的等差数列，设an=a1+（n-1）d， a4=a1+3d，所以，即a=10-2n．n

三、变换问题背景

变式1（2015年广东）设数列{an}的前n项和为Sn， n∈N*．已知，且当n≥2时，4S+5S=n+2n8Sn+1+Sn-1．

（2）求数列{an}的通项公式．

生6：由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1得4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn（n≥2），即4an+2+an=4an+1，移项得4an+2-2an+1=2an+1-an，即又因为，所以｝是以1为首项，为公比的等比数列.

师：利用an=Sn-Sn-1（n≥2）将已知式转化为4an+2-2an+1= 2an+1-an，此式为数列相邻三项之间的关系，通过两两组合构造出等比数列再将该等比数列两边同时除以将其构造为等差数列，进而将问题求解.

四、变换问题形式

变式2已知p，q（q≠0）为实数，方程x2-px+q=0有两个实数根α，β，数列{an}满足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2（n=3，4，…），求数列{an}的通项公式.

生7：由根与系数的关系得α+β=p，αβ=q≠0，则由an= pan-1-qan-2，得an=（α+β）an-1-αβan-2，即an-βan-1=α（an-1-βan-2）.

又因为a2-βa1=（p2-q）-βp=（α+β）2-αβ-β（α+β）=α2，则an+1-βan=（a2-βa1）αn-1=αn+1.①

同理an+1-αan=βn+1.②当Δ=p2-4q=（α-β）2=0时，α=β，则，则数列｝是等差数列，则，则an=（n+1）βn.

当Δ=p2-4q=（α-β）2≠0时，α≠β，①-②得（α-β）an= αn+1-βn+1，则

师：本题以二次方程为背景，融数列运算于方程运算之中，体现了知识的交会与整合.如果一个一元二次方程有两个根，可能是两个不相等的根，也可能是两个相等的根，故求解过程中应对此进行分类讨论，从而使问题的解答更加完整.对三项递推关系进行重新、构造，是本题得解的关键步骤.

五、变换求解方法

变式3已知数列{an}中，Sn是其前项n和，若a1=1，a2= 2，anan+1an+2=an+an+1+an+2，且an+1an+2≠1，则a1+a2+a3=_______，S2015=________.

师：本题递推关系中含三项乘积形式，不宜采用构造法求解，需另辟途径.

生8：将a1=1，a2=2，代入anan+1an+2=an+an+1+an+2中，得1× 2a3=1+2+a3，解得a3=3.所以a1+a2+a3=6.

同理2×3a4=2+3+a4，a4=1，a5=2，a6=3，……

即数列{an}的周期为3，所以S2015=671（a1+a2+a3）+（a1+ a2）=671×6+1+2=4029.

师：将a1，a2的值代入递推关系后，依次可得出a3，a4，a5，…，进而得出数列的周期，是问题顺利得解的关键.在处理一些陌生的数列问题时，开始没有任何思路的情况下，可利用递推关系顺次求出部分项后，寻找各项之间的关系，大多能找到解题思路.F