课堂导引动态函数问题求解思路的寻找

☉江苏省如皋市第二中学 韩勇华

课堂导引动态函数问题求解思路的寻找

☉江苏省如皋市第二中学 韩勇华

课堂是学生接受知识的主要来源，传统的课堂教学模式以教师讲解为主导，学生处于被动接受状态，而部分教师在讲解解题思路时，大多数都以告知的形式讲授，这样造成的结果是：学生只知其然，不知所以然，在遇到类似问题时仍感无从下手.而新课程要求课堂教学应以启发为主，教师在课堂上起引导作用，引导学生自主生成解题思路，进而内化为解题能力.本文以几例动态函数问题为例，展示思维的启发、引导过程.

一、寻找定值

问题1已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有则）的值是（）.

A.5B.6C.7D.8

师：请同学们仔细观察已知条件与所求结论来寻找解题思路.

师：但函数解析式不确定，即本题属于动态函数问题，如何处理？

生众：动中寻定！

师：定在哪里？

生2：函数f（x）为单调函数，x与y的对应关系是一一对应，而，所以为定值，可设（fx）-，即（fa）=2，（fx），所以（fa），解得a= 1，所以，故选B.

师：问题能否顺利求解，取决于对条件的利用是否准确，单调性是函数主要性质之一，利用单调性根据已知条件寻找到定值的存在是问题求解的关键.

练习：已知函数f（x）=x2+ax+b（a∈R，b∈R）的值域为［0，+∞），若关于x的不等式f（x）

答案：9.

二、寻找定性

问题2函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对于定义域内任意的x，y都有f（x·y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，则

的值为（）.

师：本题属于抽象函数问题，所谓抽象函数是指并没有确定的解析式，如何去寻找确定的信息.

生3：可从所给的函数性质关系式f（x·y）=f（x）+f（y）入手.

师：哪位同学继续？

师：这种解题思路，在数学中称为分析法，即从所求的结论入手，逆向寻找结论成立条件，思路环环相扣……

生5：（举手示意）针对客观题的特点，由所给的函数性质关系式f（x·y）=f（x）+f（y），可联想我们所熟悉的特殊函数来解题，如对数函数y=logax（a>0，且a≠1）具有性质logaxy=logax+logay，由条件f（2）=1，可知底数为a=2，进而将问题简洁求解.

师：小题小做，一般问题特殊化是处理客观题的有效策略.借此我们来思考一下，还有哪些常见的函数性质关系式，可以联想特殊的函数来处理？

生6：正比例函数型f（x）=kx，满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）；

指数函数型f（x）=ax，满足f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），f（x1-

对数函数型f（x）=logax，满足f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

幂函数型（fx）=xn，满足（fx1·x2）=（fx1）·（fx2）

三、寻找定形

问题3已知a>0，二次函数f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函数f（x）在区间（-1，1）内有零点，则a的取值范围为____________.

师：二次函数在某区间内的零点问题的常规处理思路是什么？

生7：如果二次项系数含参数，应对参数是否为0进行分类讨论.再利用根的判别式对零点的个数进行讨论，而本题二次项系数大于零，判别式Δ=b2-4ac=4+8（3+ a）大于零，函数f（x）有两个零点，故只需讨论f（x）在区间（-1，1）内有几个零点问题即可：

（1）有一个零点在区间（-1，1）内时，则有f（-1）f（1）<0.

师：同学们还有没有要补充的？

生8：还应包含有一个零点恰好为-1或1的情况，即：

师：作为一道客观题，这样的解答略显烦琐，但却是处理此类问题的通法，请同学们再思考一下，看是否有其他简洁的解答？

生9：函数解析式虽然不确定，但我们可以将其中确定的信息挖掘出来：因为a>0，所以对称轴<0，且函数图像在y轴上的截距-（3+a）<0，所以函数f（x）的大致图像可确定（图略）.若函数f（x）在区间（-1，1）内有零点，则有f（-1）>0或f（1）>0，解得a>1.

师：非常好！从命题的角度来看，一个题目不可能把所有的分类点都涵盖在内，审题时应注意隐含的、确定的信息的挖掘，从而避免不必要的讨论.下面的问题请大家课下处理.

练习：关于x的方程ax2+2x-1≥0至少有一个正根，求实数a的取值范围.

四、寻找定点

问题4已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是_________.

师：涉及极值问题，我们常规的处理思路是什么？

生10：借助导数.函数有两个极值点，即其导函数有两个零点，对函数求导得f′（x）=lnx-ax+1-ax=lnx+1-2ax，令f′（x）=0，即lnx+1-2ax=0有两个解，整理得lnx=2ax-1，即将问题转化为函数y=lnx与y=2ax-1的图像有两个交点问题.

师：零点问题转化为交点问题处理，是解此类问题的常用途径，但y=2ax-1的解析式不确定，如何求交点？

生11：函数y=2ax-1的解析式虽然不确定，但有确定的信息可寻，即y=2ax-1过定点（0，-1），故只要判断直线y=2ax-1与曲线y=lnx相切时的临界状态的a的值即可，进而将问题转化为“曲线过某点的切线问题”.

设切点坐标为（x0，lnx0），则切线斜率因为直线过点（0，-1）、（x0，lnx0），故由两点坐标求得斜率，所以，解得x=1，即k=1，所以当0<02a<1，即时，直线y=2ax-1与曲线y=lnx有两个交点，此时函数f（x）＝x（lnx-ax）有两个极值点，故a的取值范围是

师：数学解题的过程其实就是转化的过程，即将陌生的问题转化为熟悉的问题、复杂的问题转化为简单的问题求解，本解法将问题进行两次转化，化为我们熟悉的“曲线过某点的切线问题”，使问题顺利得解.

综上，在课堂解题教学中，教师要注重从解题思路的寻找上多下功夫，使学生清楚为什么这么做，这种思路是如何找到的，即弄清楚解法的根源所在，在处理相关问题时便可得心应手，进而提高学生分析问题、解决问题的能力.F