求异探源启迪——对一道高考试题的剖析

☉浙江省杭州学军中学 郑日锋

求异探源启迪
——对一道高考试题的剖析

☉浙江省杭州学军中学 郑日锋

题1（2015年浙江省理科高考第18题）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值．

（Ⅰ）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（Ⅱ）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．

本题旨在考查函数的单调性与最值、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，很好地体现了高考试题以能力立意的特点．考后与考生进行访谈，许多考生找不到解决此题的思路，笔者对此题作了一些思考，现写出来，与大家共享．

一、求异——多角度探索

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知，若|a|>2，则M（a，b）>2，与已知矛盾，故|a|≤2.由对称性可以假设0≤a≤2，则|a|+|b|=a+ |b|.由得即即-3+a≤b≤1-a.而|-3+a|≥|1-a|，所以|b|≤|-3+a|=3-a，故|a|+|b|≤3.取f（x）=x2+2x-1符合条件，故|a|+|b|的最大值为3.

方法3：由（Ⅰ）知，若|a|>2，则M（a，b）>2，与已知矛盾，故|a|≤2.所以M（a，b）=max即在aOb坐标系中，作出点（a，b）的图形，如图1所示的阴影部分，所以当a=2，b=-1，或a=-2，b=-1时，|a|+|b|的最大值为3.

第（Ⅰ）小题考查单调性的定义、最值的概念、不等式的性质及实数绝对值的三角不等式，方法1运用对称性及化整为零，方法2运用直接法，方法3运用反证法，与方法2有着异曲同工之妙．

第（Ⅱ）小题，方法1仿照第（Ⅰ）小题的方法1，由对称性，缩小a的范围，再固定a，求出|b|的最大值，然后求出|a|+|b|的最大值；方法2从数的角度，将求|a|+|b|的最大值转化为求|a+b|，|a-b|的最大值；方法3从形的角度，将条件转化为a，b满足的限制条件，作出点（a，b）的图形，从而得到|a|+|b|的最大值．方法2解题过程简洁，但技巧性强，方法1、3解题过程虽稍繁，但解法自然且容易想到．

表4的数据从客观的角度证实了POA听说教学模式的效果,表中数据是依据调查问卷从学习主体的角度阐述学习效果。在能否提高听力水平的维度上,70%的学生给出的是肯定的答案;高达85%的学生觉得自己的口语水平有很大提高;78%的学生认同这种教学模式对他们语言应用能力有所提高,学习效果问卷调查的结果和语言测试的结果完全吻合。

二、探源——寻找问题之源

其实，第（Ⅰ）小题与下面题2的第（Ⅲ）小题的题型及解题方法完全类似．

（Ⅰ）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若对任意实数a，b，总存在实数x0∈［0，4］使得不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．

由|h（t）|在t∈［0，2］上的最大值M（a，b），得因为3h（0）+h（2）-4h（1）= -2，所以2=|3h（0）+h（2）-4h（1）|≤3|h（0）|+|h（2）|+4|h（1）|≤8M（a，b），即M（a，b）≥.取h（t）=-，符合条件．所以M（a，b）的最小值为，即实数m的取值范围为

笔者还找到了与题1有着惊人相似的下列三题：

题3（2009年湖北省文科高考压轴题）已知函数（fx）=-，其导函数为f（′x），令g（x）=|f（′x）|，记函数g（x）在区间［-1，1］上的最大值为M.

（Ⅱ）若|b|>1，证明：对任意的c，都有M>2；

（Ⅲ）若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．

题4（本校2014届高三第六次月考理科压轴题）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）在b=1，c=-a，d=0的条件下，试解决：

（1）g（x）在（1，2）上存在最值，求实数a的取值范围；（2）f（x）在（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围.

（Ⅱ）若对任意x∈［0，1］，|g（x）|≤1恒成立，求实数a的最大值.

（Ⅲ）若对任意x∈［-1，1］，|f（x）|≤1恒成立，求|a|+ |b|+|c|+|d|的最大值．

题5（华东师范大学出版的《奥数教程（高一分册）》P43测试题5）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c在［-1，1］上的函数值的绝对值不超过1，求|a|+|b|+|c|的最大值．

三、启迪——答题情况引发的思考

命题组给出的解答避开了实数绝对值的三角不等式，实际上是把需要用的实数绝对值的三角不等式推导出来，显得牵强，不符合数学的简洁性，命题教师考虑到实数绝对值的三角不等式不属于2015年浙江省高考数学范围，而有意避开．此题具有形式化、抽象化程度都很高的特点，需要考生具有良好的数学素养，以及分析问题与解决问题的能力．实测结果做出此题的考生很少，满分15分，平均得分仅3分，大部分考生做不出第（Ⅰ）小题，由此可以看出此题的难度相当大，有些考生因为此题的卡壳，乱了分寸，影响了最后两题的解答，这不能不说是一种令人扼腕叹息的遗憾．此题放在倒数第3题的位置是否合适？除了压轴题，有无必要考这么难的题目？高考试题与已考过的题雷同，这种非原创的试题在重点题中出现，是否能体现试题的客观、公平、公正？

本届考生都做过题2，但大部分考生依然无法解决题1，这是什么原因呢？原因也许是多方面的，但有一个现象值得关注，大部分教师缺少了一个教学环节，学业水平考试结束后，组织学生研讨题2，如果这样做了，肯定不会是现在的情况．

这一现象给今后的解题教学带来怎样的启示呢？当下依靠“题海战术”、大运动量的训练依然盛行，这种教学模式不仅透支了学生未来学习的兴趣，而且无法应对能力型、重本质、考素质的高考试题．固然，每位考生都能做出较难的高考试题，这是不可能的，但是让不同层次的学生发挥出应有的较高水平，提高学生解决新颖问题的能力，这是我们的教学目标．这昭示着我们需要重新审视教学．

1.追根溯源

从学生答题中暴露出来的问题说明，学生缺乏的不是技巧，而是基础．在考试中，不少学生对概念、定理、公理等认识模糊，导致在遇到陌生问题时不知道如何运用所学知识去合理地展开联想，进行有效的探究．他们解答了大量的习题，但“重复的大运动量的训练”不能使他们获得思考和解决问题的能力．因此，重视概念建构，研究每一章节的典型习题，以及以往的高考试题，注重“源”与“本”的关系，才能提高学生对“双基”的灵活运用．

2.感悟数学

引导学生学会思考、联想、转化，善于从多角度解决问题，从中比较各种方法的优劣，提炼归纳解题策略及数学思想方法，完善认知结构；有意识地引导学生对问题进行引申、拓展，使学生在探究活动中深刻领悟解题原则，由会解一道题到会解一类题，学会数学建模，让学生在错综复杂的变化中，抓住问题的本质特征，培养学生研究、探索问题的能力．F