别样的视角，新颖的解答——一类含参恒成立问题中的定积分求法

☉湖北武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春

☉湖北武汉市教育科学研究院中学教学研究室 孔峰

别样的视角，新颖的解答
——一类含参恒成立问题中的定积分求法

☉湖北武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春

☉湖北武汉市教育科学研究院中学教学研究室 孔峰

法国生理学家贝尔纳曾指出：“良好的方法使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法则会抑制才能的发挥”.可见，解决问题时选择一种好的方法至关重要，这既能使我们高效快捷地达到目的，而且有利于我们提升能力.

引例：已知函数f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，若当x≥1时f（x）≥0成立，求a的范围.

文1从三个不同的角度对以上问题展开了分析与求解，解法1采用分离参数法，但解题过程需要用到洛必达法则，涉嫌超纲，美中不足；解法2和解法3进行分类讨论，不但烦琐，而且分类讨论的标准对学生来说不易把握，让人望而却步.

有没有其他易于学生掌握的好方法呢？答案是肯定的！

另解：由题意得：x2lnx-a（x2-1）≥0对x∈［1，+∞）恒成立，即2≥a（x2-1）对x∈［1，+∞）恒成立.

令t=x2-1，t∈［0，+∞），则（t+1）ln（t+1）≥2at对t∈［0，+∞）恒成立.

当t=0时，不等式显然成立.

设曲线y=ln（x+1）+1和直线y=2a在定直线x=0和动直线x=t之间与x轴围成的面积分别为S1和S2，则S1≥S2，如图1所示，y= ln（x+1）+1过y轴上的定点A（0， 1），显然2a≤1，故

以上解法借助数形结合思想，从图形直观加以解决，不但计算量小，而且没有复杂的分类讨论，给人耳目一新的感觉.无独有偶，2014年陕西高考理科第21题和引例极为相似，运用以上解法，很容易求解.

例1（2014年高考陕西理科第21题简编）设函数f（x）=ln（x+1），g（x）=xf′（x），x≥0，若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围.

当t=0时，不等式恒成立，a∈R.

波利亚说过：一个想法使用一个技巧，通过多次使用可成为一种方法.借助以上方法，我们可以解决很多这样的问题，下面再看几例.

设x=t，则不等式at

例3（2010年高考新课标理科第21题简编）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解：由已知ex-1-x≥ax2.设x=t，则et-1-t≥at2对t∈［0，+∞）恒成立.

当t=0时不等式恒成立，此时a∈R.

例4（湖北襄阳四中2015届10月月考理科第22题简编）已知对t∈［0，+∞）恒成立，求a的取值范围.

以上试题本质上都是含参恒成立问题，区间端点的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这些试题的共同特征，求解过程中，寻找定积分中的原函数是解题的基础，借助定积分的几何意义将函数值间的大小关系转化为不同曲线围成图形面积间的大小关系，再转化为曲线和直线的位置关系是解题的核心，善于抓住图形中的临界位置和特殊点是解题的关键.

定积分是高等数学的重要内容，目前在高考中的考查力度越来越强，随着新课改的推进，越来越多的高等数学知识与方法已渗透到中学数学之中，这些含有高等数学背景的试题因背景公平，能很好地考查学生现有的知识水平和继续学习的潜能，因而频频出现在高考试卷中，倍受命题者的青睐.笔者在一线教学中发现，只要学生真正理解了定积分的基本概念，这类问题的处理并不像有些人想的那么难，用定积分解决这类问题，开拓了学生的视野，强化了知识间的内在联系，培养了学生逆向思维的能力，这种别开生面的解法，激发了学生学习的兴趣.

1.王若梅，徐雷.一道常规问题的不常规之处［J］.中学数学教学参考（上），2013（12）.

2.李红春.两道高考压轴试题的趣解［J］.中学数学（上），2012（2）.

3.李红春，卢琼.新课程理念下高考试题的整体感悟［J］.中学数学（上），2012（5）.A