“追根溯源”话 函数

☉浙江省象山县第二中学吕增锋

“追根溯源”话 函数

☉浙江省象山县第二中学吕增锋

在高中数学中，没有一个概念的表述像函数那么形式化，让人感到如此的抽象.当专家、学者们为高中函数定义应如何表述才能更加精确而争论不休时，函数概念教学却始终难逃“不识函数真面目，只缘身在函数中”的怪圈.具体表现为：教师能够剖析函数的定义，却无法揭示函数的实质；学生会解相关的题目，却不清楚函数到底是什么.究其原因，主要是教师对函数概念的发生、发展过程了解不够.尽管课程标准明确要求“通过丰富的实例，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”，但这只能让学生更容易接受“集合说”，而无法从整体上揭示函数的本质.若要函数概念“大白于天下”，还应“追根溯源”.

一、感受“时间”流逝，诞生“变量”

天地之间的万物都是在运动变化着的.最吸引古人的运动莫过于“天上”的运动.白天，日出东方；傍晚，日落西方，月亮升起；晚上，星空璀璨，但这些星星也是在运动的，每隔一段时间，它们的位置就会发生变化.还有，春夏秋冬，四季轮回.不仅如此，地上也是在运动的，比如，火山喷发、地震、泥石流等.当然，还有人类自身的变化，人从出生到衰老，也是一个运动变化的过程.由于这些变化都是随着时间的变化而变化的，因此，时间就是最原始的变量.古人通过对时间的感受，头脑中就逐渐形成了变量的概念.随着生产力的发展，人类观察“变量”的视野不断开阔，发现生活之中处处有变量.比如，人口的数量、气温的变化、农作物的产量、城市的规模、股市波动等.

除了变量以外，还存在着相对稳定的常量.比如，某人的生日、圆周率、黄金分割数等，还有些量有时可以是变量，有时也可以是常量.比如，人的身高，从出生到成年人的身高是在变化的，因此身高是变量；但成年后，身高就保持不变了，此时身高就是常量.又比如你到菜场买猪肉，在这一天内猪肉的价格是固定的，一斤10元，两斤20元，……，因此，在这天内猪肉的价格是常量.但如果从一段时间看，猪肉的价格是在波动的，此时猪肉的价格就是变量.由此可见，静止是暂时的，运动却是永恒的！

二、研究“变量”规律，建立“关系”

可以说，人类的进步得益于对变量的研究，进而在研究中发现了变量的变化规律.比如，对时间变量的研究，最显著的成果莫过于发明了“历法”.在古代，国家历法的先进程度决定了生产力的先进程度.在我国古代历法中，把一年划分成了24节气，目的是为了指导农业生产.比如，节气中“立春”，其实就告诉人们天气要转暖了，要开始准备农业生产了，一旦到了“春分”，农民就应该播种了.因此，人类要生存，要发展，对变量变化规律的总结是必不可少的.谁掌握了地球上变量的变化规律，谁就可以主宰地球.到底如何总结变量的变化规律呢？人们发现这些变量之间存在着某种制约关系.即一个变量的变化会引起另一个变量的变化.

比如，在商品买卖中有“暴利”一说，意思是同样数量的商品，价格越高，销售收入也越高.这种制约关系能不能用数学式子来表示呢？

引进一些参数，用y表示销售收入，x表示商品价格，n表示卖出的商品数量，则它们满足：y=nx.这里的n是常量，x、y是变量.这个式子显然体现了变量y随着变量x增大而增大的变化规律.

又比如，在商品买卖中还有一种说法叫“薄利多销”，意思是在保证销售收入不变的前提下，商品价格越低，卖出的数量越多.这种制约关系怎么表示呢？把上式y=nx变形为，此时y是常量，x、n是变量.尽管这个式子是由先前的式子变过来的，但由于变量的不同，所以表达的意思完全不同.由此可见，代数式能真实地刻画变量之间的关系.

三、提炼“关系”共性，产生“形式”

当借助代数式刻画变量之间的关系逐渐被人们所接受时，人们开始提炼这类式子中所蕴含关系的共性.即这类关系包含了哪些共同的成分呢？

首先，要由两个变量构成，而且一个变量的变化制约着另一个变量的变化.也就是说一个变量的值是由另一个变量的值决定的.这两个变量一个称为自变量，另一个称为因变量.上述例子中的y=nx，x称为自变量，y的值因为x的值变化而变化，所以y就称为因变量.

其次，既然是变化，当然有个变化的范围.对y=nx来说，x是商品的价格，理论上x的变化范围是大于0的所有实数，y的变化范围也是大于0的所有实数.当然，y的变化范围可以由x的变化范围来确定.如果y=nx中x的变化范围扩大到全体实数，整个式子的本质就变了，它不再是反映价格与销售收入的关系了.由此可见，看似一个简单的代数式，实际上还包含了变量变化的范围.

共性提炼完毕后，人们开始思考给这类代数式一个合适的称呼，于是“函数”的概念应运而生.人们对函数最初的理解就是一个包含变量的代数式，但后来发现这种认识并不全面，并不是所有的函数关系都能列出代数式.比如，生活中各式各样的曲线.以股价走势图为例，内行的人能够从这些像“心电图”一样的曲线中看出很多有用的信息.比如，什么时候该买进，什么时候该抛了.

观察股价走势图，会发现其中隐藏着两个变量，时间和股票价格.走势图实际上反映了时间和股价之间的某种联系.简单地说，这个曲线反映了两个变量之间的某种依赖关系，这一点非常符合“函数”的特征.但股价走势图不能用一个代数式来表示.尽管不可能写出它的代数式，但从曲线中确实可以让人感受到变量之间的变化规律，类似的曲线还有很多很多.因此，从数学上看，这个曲线也是函数，是函数的另一种表现形式.当然，很多函数代数式都可以找到对应的曲线.

函数除了代数式、曲线两种表现形式外，还有一种表现形式也在生活中经常出现.比如，鞋盒上都印有尺码对照表.

第一行数据表示脚的长度，第二行数据表示对应的尺码.多大的脚，穿多大的鞋码，一目了然.这张表格非常清晰地描述了脚长和鞋码之间的关系.如果从数学的角度来分析这张表格，这张表格包含了两个变量，一个是“脚长”，另一个是“尺码”，并且这两个变量都有各自的变化范围，其中“脚长”的变化范围是“23.5、24、…”，尺码的变化范围是“37、38、…”.两个变量相互存在着制约关系，也完全符合函数的特点.有了这样的表格，我们完全没有必要再关心代数式是什么这一问题了.因此，“表格”也是函数的一种表现形式.

四、统一“形式”表述，构造“定义”

一个函数概念，三种表征，分别是代数式、曲线、表格，与之对应的函数就有三种表示方法：解析法、图像法、列表法.于是，函数分为三大阵营，现在要做的就是把三大阵营统一起来.

一方面，这三种表示方法是有联系的.比如，一般对于给定的函数解析式来说，可以列出相应的表格，然后就能画出其对应的曲线，反过来，对于曲线来说，一般也能找到其对应的解析式.另一方面，这三种方法又是相互独立的.并不是所有的函数解析式，都能画出其对应的图像.比如狄利克雷函数当然也并不是所有的曲线，都能写出对应的解析式.列表也是如此，有些变量之间的关系只能列表来表示.

当然，这三种形式还有其共有的属性.首先，它们都包含了两个变量，并且两个变量都在一定的范围内变化，而变量的变化范围就构成了集合.因此，变量就可以看成集合中的元素，两个变量就是两个集合中的元素.于是，函数就和集合联系在一起了.其次，这三种方法都体现了变量之间的某种制约关系，具体说，一个变量变化引发了另一个变量的变化，而这种变化遵循着某种变化规律.图形和列表也体现出这种变化规律，只不过有些规律我们无法进行精确地表述，但无论如何，规律还是存在的.

至此，函数的概念似乎清晰起来了.无论采取哪种表现形式，函数就是体现了两个变量之间的变化规律.由于变量本身是集合中的元素，因此两个变量之间的关系，就转变成了两个集合之间的关系.也就是说给你两个集合，如何把两个集合中的元素按照某种规律对应起来.这就有点像在玩“连连看”游戏.

比如，集合A={1，2，3，4}，集合B={2，4，6，8}，变量x在集合A中变化，变量y在集合B中变化，当然，变量y的变化是随x变化而变化的.现在，你的任务就是按照某种规律把两个集合中的元素连起来.如果按照1→2、2→4、3→6、4→8的规则连起来，这样，集合A、B之间的元素就对应起来了，也就是说构成了“函数”.也可以换个规则把两个集合的元素连起来.比如，1→4、2→2、3→6、4→8；或者1-4、2-2、3-8、4-6等.当然，规则不同，构成的函数也是不同的.那么，要构成函数需要哪些要素呢？两个集合A、B+“对应规则”.因此，我们就可以借助集合给函数下个定义，进而把函数的三种形式统一起来.具体怎么描述呢？

所谓函数就是：把集合A、B中的元素按照某种对应法则建立联系.对于两个集合来说，对应的法则有很多，但是不是“随便”什么法则都能构成函数呢？我们可以用教室里面的“座位法则”来形象地说明对应法则应该满足的条件.

学生到教室要做的第一件事就是尽快找到座位坐下.这时可能会出现以下三种情景.第一种可能，教室的座位刚刚好，每个学生都有座位坐.这是最满意的结果.第二种可能，教室的座位比实际人数多，学生坐好后，还有座位多余.这有点儿浪费，但也合乎情理.第三种可能，教室的座位不够，哪怎么办呢？再去其他地方搬可能来不及了，老师一般先暂时让学生共用一个座位.虽说挤了点儿，但毕竟解决了座位问题.但一般不会出现这样的情景：学生占据多个座位，也就是说一个学生坐两个及以上的座位.

如果把学生看成集合A，座位看成集合B的话，那么学生找座位的事件就可以看成找集合A、B的对应关系，三种情景实际上揭示了对应法则的限制条件.“每个学生都有座位坐”说明集合A中的元素要对应完全.“有多余座位”说明集合B中的元素允许多余，允许存在没有被对应的元素.“让学生共用一个座位”说明集合A中可以有多个元素对应集合B中的同一个元素.也就是说可以出现“多对一”的情景.不可能出现“学生占据多个座位”说明集合A中的元素在集合B中只能有唯一一个元素与之对应，即不允许出现“一对多”的情景.

通过上面的剖析，学生不仅容易提炼出集合观点下函数的统一定义，而且能够系统地了解函数概念的产生、发展过程，感受函数定义的合理性，进而深刻地体会到数学源于生活，数学是自然的.A