数学概念教学关于“问题提出”设计中的错觉*

☉江苏省灌南县教育局教研室 李太敏

数学概念教学关于“问题提出”设计中的错觉*

☉江苏省灌南县教育局教研室 李太敏

数学概念是构成数学内容的最基本的单元，是学生进行数学思维的细胞，概念教学在数学课堂各类教学中具有举足轻重的地位，而在数学概念教学中具有重要地位的则是“问题的提出”，正如美国的布鲁巴克所说：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提出问题.”要让学生能提出问题，关键是教师要善于设计问题并提出问题，进而引导学生能解决问题，但在目前的概念教学中，关于“问题提出”的教学设计中还存在着一些错觉，本文试从以下四个方面来加以说明.

一、问题提出的严谨性错觉：越严密越好——“日常概念”形式化

数学概念常可分为三类：其一是反映基本元素的概念，如集合、数列等；其二是反映相互关系的概念，如平行、包含等；其三是反映对象特性的概念，如奇偶性、周期性等.［1］这些概念大都具有双重性，既具有日常概念的特征，又具有科学概念的特征，其中一些概念，尤其是第一类、第二类中不少概念更是倾向于日常概念的特征（本文简称为“日常概念”）.学生在学校学习之前，他们的心里并不是一张白纸或空瓶子，而是充满了影响学生观察和理解的各种形式、各种层次的原有的概念，即前概念.“日常概念”大都属于易下定义的概念，它们的定义常常和学生心中的前概念一致或基本一致，有的概念只是相当于一种描述性的甚至是直观性的概念，只是一种梳理，学生接受起来也很轻松有效，但为了追求问题的严谨性，在“问题提出”的设计中，有些老师对“日常概念”也进行过分形式化的挖掘与训练，如精心设计“‘对数函数’中的是否对数函数？”过分深挖“‘数列’中的：｛an｝与｛a1，a2，…，an｝有何不同？一列数与一列数的集合有何不同？”反复研究“‘四种命题’中的：‘我们班50人’是否为命题？真假性如何？”仔细比较“‘对数’、‘任意角的三角函数’中：对数符号log、三角函数符号sin的后面不含变量是否有意义？”诸如此类.对这些“日常概念”进行种种形式化设计与训练，都会引起学生的强烈争议，效果不佳，看似想加深对概念的理解，实质相反，反而影响、干扰了学生对数学概念的理解.

正如培根在《新工具书》中所说：“就帮助人们寻求真理而言，三段论的坏作用多于好作用.”［2］数学上许多原始的思想，非常朴素而深刻，并不严谨，却十分重要.比如，面积、体积从没有被定义过，但一直在使用，从概念上讲不严格，［3］但学生理解起来并不困难.如果“日常概念”也进行过分形式化，就可能会导致形式化泛滥，效果会适得起反.数学的历史发展也告诉我们，很少先有抽象的、形式化定义的概念出现，总是经过很长时间的发展，数学家们才给出严格的形式化的定义，可以这样说，数学概念是在不断发现错误、纠正错误的过程中逐步建立起来的，因此对于“日常概念”的问题提出设计，不宜过分“严谨”，宜防止“日常概念”的形式化倾向.

二、问题提出的趣味性错觉：越有趣越好——概念背景现实化

“盐需要溶入汤中，才能被吸收；知识需要溶入情境之中，才能显示出活力”，情境创设成为课改后数学课堂的一道亮丽风景，一些新颖、有趣、富有思考的情境令人拍案叫绝，但也有些教师过于注重教学的情境化设计，为了创设情境而“挖空心思”，却没有起到应有的作用，从而使“情境创设”出现了虚假繁荣现象.［4］如在概念教学中，为了使课堂生动，追求现实中的情境，有些老师提出的问题背景太关注现实意义，或随意移植，或随意想象，大胆的移植和想象，常常能引起学生的兴趣，有的虽真假难辨，但难以值得深究.如教学内容“基本不等式”引入设计中的：“自己的朋友去购买物品，遇到两臂不等的天平，商人用两次称量结果的算术平均数卖给朋友，问：朋友是亏了还是赚了？结论是：由于不法商人奸诈，肯定亏了”；“平均变化率”引入设计中的“为了感觉天气情况，老师昨晚在外面呆了一夜，感觉非常冷，这是怎么回事呢？结论是：天气突然变冷”；“人突然站起时会头晕，原因何在？结论是：站得太快，导致血液流动跟不上”等.诸如此类问题的设计，将概念背景随意现实化，看似灵活而生动，实质上经不住推敲，缺乏科学性.

并不是每一节课都一定需要联系现实背景而从现实情境引入，对于一些不好创设现实生活情境的教学内容，或一些暂时与学生的生活实际距离较远的学习内容，可利用概念的历史背景进行导入设计，或单纯从知识上导入，或进行直接传授也未尝不可，绝不宜随意地移植、想象来设计现实背景从而提出问题，结果必然是得不偿失.如角度制很自然，为何要学弧度制？这样的问题从现实背景中去设计生活情境很难解释清楚，而从历史的背景中，正如数学家李忠教授所提到的，我们原先熟悉的角度制适用于初等数学及实用几何，而弧度制适用于高等数学，弧度制为面积与弧长，以及微积分中有关三角函数的计算，带来很大的方便.正是由于这个原因，在现代数学文献中，与三角函数有关的量一律采用弧度制，［5］这样也许能抓住问题的实质.

三、问题提出的难易性错觉：越易接受越好——概念分解自由化

黑格尔说：“用分析方法来研究对象，就好像剥葱一样，将葱皮一层又一层地剥掉，但原葱已不在.”［3］这正如为了保证学生能易于接受概念，有些老师在进行相关问题提出的设计时，提出的方法“灵活”，大小问题都由老师自由提出，想怎么提就怎么提，常是一些操作性、导向性的问题，像剥葱一样，把一个完整的数学思维过程加以拆解，把一个大的、整体的数学问题自由切割成一系列小问题，导致不少学生一步步、一个个都会做，却不知在干啥，思考比较浅层.诸如“函数奇偶性”的学习中将“图像关于y轴对称的函数的解析式有何特征？”分解为“关于轴对称用什么语言？如果点在图像上，关于轴的对称点也在图像上如何表示？点的对称点如何表示？点在图像上如何表示？点的对称点也在图像上如何表示？”学生虽然易于接受，但不知在干啥，问题的解决多限于特殊性解决.

事实上，学习并不是简单的积累，将整体自由分解后，学生虽容易接受，但要想将原先还原出来并非容易，初中生会忙于一个个因式分解的练习题，到高中很可能没形成恒等变形的思想；初中生在学习一次函数的图像时，只发现上下平移，不见左右平移，到高中也会受到干扰.把概念从结构上自由地分解，自由地提出问题，学生像搭积木一样构建概念，只有到积木成型后，才知道在做什么，只是利于记忆，不利于理解、运用.只有了解并根据概念的来龙去脉，根据上、下位概念间的关系，发现、设计初始性和整体性的源问题，这样才能使学生对提出的问题从整体上进行把握，并能进行深入的思考，才能让学生学会提出问题的方法.

四、问题提出的时效性错觉：越早越好——概念挖掘初始化

概念常常会有概念群.如具有属种关系的概念群：集合—映射—函数—多项式函数—二次函数，算术数—有理数—实数—复数，它们具有线状概念结构，有的从一般到特殊，有的从特殊到一般，逻辑链可长可短，链上的概念可疏可密，有的逻辑链出现于某一章，有的是整个学年甚至更长；具有并列关系的概念群，椭圆、双曲线、抛物线，柱、锥、台，奇函数、偶函数等，它们具有某种潜在的联系，从属于某个概括程度更高的概念［1］对于概念群，尤其是具有并列关系的概念群，常常采用类比的方法进行教学，但在概念获得的初始阶段进行过多的类比以加深对概念的理解，反而会产生干扰，如在“双曲线的几何性质”的学习的初始阶段就设问“我们已学习过椭圆，大家能列表将椭圆的性质与双曲线的性质进行一一比较吗？能分清a、b、c之间的关系有何不同吗？”这样对易混内容在初始阶段进行类比设计，往往会对部分同学的学习形成干扰.同样地，举反例与逐渐深入的变式教学是非常好的学习方式，尤其在习题教学时，能起到很好的效果，但是也不能滥用，尤其在概念获得的初始阶段，要慎用.如“平均变化率”中的“若某函数对于［x1，x2］的平均变化率为正，能否说明该函数在［x1，x2］上递增？平均变化率怎样时，该函数递增？平均变化率的正负与函数的单调性之间有着怎样的关系？能否对y=x3、y=的图像进行比较？能说明函数的导数、平均变化率与图像陡峭程度之间的关系吗？”像这样以问题变式的设计方式进行深挖，尤其是在概念获得的初始阶段，会将细枝末节主干化，对一些学生的概念获得不但帮助甚少，还会起干扰作用.

虽然刚学习新概念时，在概念获得的初始阶段关于问题提出的设计，不适宜过多的联系，不适宜过多的类比、举反例、变式等深度挖掘，否则会欲速而不达，不仅不能加深理解，反而会冲淡主题，但是学生在学习新概念时的后期，必须要思考与旧概念的关系，要联系与概念群的关系，要思考概念所嵌入的数学外部的情境，包括起源和应用，要组成一个有关联的相对稳定的认知结构，随着学习的深入，还应进一步把认知结构嵌入到更大的认知结构中，所有这些联系，都必须在后阶段学习时刻意追求.

“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要”，让每个学生都学会提出问题，学会提出问题的方法吧！

1.季素月.给数学教师的101条建议［M］.南京：南京师范大学出版社，2005.

2.史宁中.《数学课程标准》的若干思考［J］.数学通报，2007（5）.

3.张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论［M］.北京：高等教育出版社，2003.

4.李太敏.数学情境中创设的“泡沫”［J］.中学数学（上），2010（1）.

5.李忠.为什么要使用弧度制［J］.数学通报，2009（11）.

*本文为江苏省教育科学“十二五”规划课题“中学数学片断教学的自然设计研究”的相关成果.