非线性薛定谔格点方程的指数吸引子*

周盛凡, 谭慧荣

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



非线性薛定谔格点方程的指数吸引子*

周盛凡, 谭慧荣

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

主要考虑了非线性薛定谔格点方程的解半群在无穷序列空间l2中指数吸引子存在性的问题.在该格点动力系统的相关结果下,进一步证明了该格点动力系统的解半群是Lipschitz连续的;最后,对该系统的解进行了尾估计,从而满足了指数吸引子存在的充分条件,由此证明了该格点动力系统存在指数吸引子,并且由此得到该系统指数吸引子分形维数的上界.

格点系统;薛定谔方程;解半群;指数吸引子

0 引 言

本文考虑如下非线性薛定谔格点方程的初值问题:

式(1)中:un,gn∈C;λn∈R;u=(un)n∈Z;i表示虚数单位;A为耦合算子.实参数λn>0表示弱阻尼,gn表示外力.

系统(1)有时可看作是下面带初值的连续非线性薛定谔方程

关于空间变量x的有限差分形式的模拟.关于非线性薛定谔方程(2)已有很多结果[1-2].

对于非线性薛定谔格点方程(1),Karachalios等[3]已证明它的全局吸引子的存在性;文献[4]证明了系统(1)带时滞项时全局吸引子的存在性.然而,全局吸引子吸引轨道的速度可能很慢且其维数可能也是无限的,这对实际应用和数值模拟带来很多困难.为此,Eden等[5]提出了指数吸引子的概念.指数吸引子是一个正不变的具有有限分形维数且指数吸引轨道的紧集,是研究动力系统渐近行为的有效工具.近年来,文献[6-9]分别研究了一阶到二阶、加权空间、Boussinesq格点系统的指数吸引子的存在性.到目前为止,关于非线性薛定谔格点方程(1)的指数吸引子存在性的研究尚未见报道,本文将结合文献[9]给出的指数吸引子存在的判据来证明系统(1)存在指数吸引子.

1 预备知识

则(l2,(·,·))是一个可分的Hilbert空间.

系统(1)可以写成如下等价的向量形式：

式(3)中:Au=((Au)n)n∈Z;|u|2u=(|un|2un)n∈Z;g=(gn)n∈Z.

对A,λn,gn,n∈Z作如下假设：

(H1)A:l2→l2是一个自伴有界线性算子且存在有界线性算子B:l2→l2：

使得A=BB*=B*B,其中τ是正整数,b0为大于零的常数,B*是B的伴随算子.

(H3)g=(gn)n∈Z∈l2.

根据文献[3]的引理2.1、引理5.1、引理5.2和定理2.1、定理3.1、定理5.1,得到

引理1假设(H1)～(H3)成立,则

1)对任意的初值u(0)∈l2,系统(3)存在唯一的解u(t)∈C([0,∞),l2)∩C1((0,∞),l2),映射簇

S(t):u(0)=u0∈l2→u(t)=S(t)u(0)∈l2,t≥0

生成l2上的一个连续算子半群{S(t)}t≥0.

式(4)中,M(η)是使得

成立的最小正整数,而C1是与M(η)无关的常数.

4)半群{S(t)}t≥0在l2中存在全局吸引子A⊂B0⊂l2.

S(t)B⊆B⊆B0, ∀

定义l2上的2N+1维正交投映算子PN:∀θ=(θn)n∈Z∈l2,有

根据文献[9]的定理2,可得如下的指数吸引子存在的判据:

引理2若存在t*>0,常数L=L(t*)>0和l2上的一个2N+1维投映算子PN,使得对∀u,v∈B,有

则

2 指数吸引子

本节将用引理2证明系统(3)的解确定的算子半群{S(t)}t≥0在B中存在指数吸引子.

设u0,v0∈B,令

则

由式(6)得u(t),v(t)∈B⊆B0,‖u(t)‖≤r0,∀t≥0,从而存在常数L0=L0(r0)≥0,使得

‖|u(t)|2u(t)-|v(t)|2v(t)‖≤L0‖u(t)-v(t)‖, ∀t≥0.

引理3假设(H1)～(H3)成立,则对∀u0,v0∈B,有

1)∀t≥0,S(t):B→B是Lipschitz连续的,即

2)存在T*>0和自然数M*,使得

证明 1)用iy和式(10)作内积并取实部,得

易得

结合式(13)～式(15),得

在[0,t]上积分,得

2)令φ∈C1(R+,R)是一个光滑的递增函数,满足

式(19)中:

令

把式(29)代入式(28),得

引理3证毕.

根据引理2和引理3,得到本文的主要结果:

定理1假设(H1)～(H3)成立,则{S(t)}t≥0在B中存在指数吸引子A*⊂B,具有如下性质:

1)A*是紧的;

2)A⊆A*⊆B;

3)存在2个正常数k1和k2,使得对每个u∈B,t>0,有dist(S(t)u,A*)≤k1e-k2t;

3 结 语

本文主要证明了非线性薛定谔格点方程的解半群在无穷序列空间l2中存在指数吸引子及由此得到该格点系统的指数吸引子分形维数的上界,这些结果可以给非线性薛定谔方程的实际应用和数值模拟带来新的途径.

[1]Goubet O.Regularity of the attractor for a weakly damped nonlinear Schrödinger equation[J].Appl Math Lett,1996,60(1/2):99-119.

[2]Goubet O,Molinet L.Global attractor for weakly damped nonlinear Schrödinger equations inL2(R)[J].Nonlinear Anal:Theory,Methods & Applications,2009,71(1):317-320.

[3]Karachalios N I,Yannacopoulos A N.Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schrödinger equation[J].J Differential Equations,2005,217(1):88-123.

[4]Chen Tao,Zhou Shengfan.Attractors for discrete nonlinear Schrödinger equation with delay[J].Acta Math Appl Sinica:English Ser,2010,26(4):633-642.

[5]Eden A,Foias C,Nicolaenko B.Exponential attractors for dissipative evolution equations[J].Internat J Numer Methods Engrg,1995,38(1):881.

[6]Abdallah A Y.Exponential attractors for first-order lattice dynamical systems[J].J Math Anal Appl,2008,339(1):217-224.

[7]Abdallah A Y.Exponential attractors for second order lattice dynamical systems[J].Commun Pure Appl Anal,2009,8(1):803-813.

[8]Han Xiaoying.Exponential attractors for lattice dynamical systems in weighted spaces[J].Discrete Contin Dyn Syst Ser A,2011,31(2):445-467.

[9]Zhao Min,Zhou Shengfan.Exponential attractor for lattice system of nonlinear Boussinesq equation[J].Discrete Dyn Nat Soc,2013,2013(1):1-6.

(责任编辑 陶立方)

ExponentialattractorfornonlinearSchrödingerlatticeequation

ZHOU Shengfan, TAN Huirong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was mainly focused on the problem of the existence of an exponential attractor of the solution semigroup for the nonlinear Schrödinger lattice equation in the infinite sequence space l2. In the case of the existence and uniqueness of the solution for the lattice dynamical system under certain conditions and the existence of a global attractor of the solution semigroup, it was proved that the solution semigroup was Lipschitz continuous, the tail of the solution was also estimated, which satisfied the sufficient conditions of an exponential attractor, thus proved its existence, the upper bound of its fractal dimension was also given.

lattice system; Schrödinger equation; solution semigroup; exponential attractor

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.001

2015-04-20；

：2015-05-27

国家自然科学基金资助项目(11471290)

周盛凡(1963-),男,壮族，广西融安人,教授,博导.研究方向:动力系统与微分方程.

O175.25

：A

：1001-5051(2015)04-0361-05