带有光电反馈的半导体激光器系统分叉研究*

刘梦蕾, 赵晓华

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



带有光电反馈的半导体激光器系统分叉研究*

刘梦蕾, 赵晓华

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

主要研究了一个具有AC耦合非线性光电回路的单模半导体激光系统的分叉行为.应用分叉理论及Hopf分叉定理，详细分析了它的平衡点分叉及稳定性随系统参数的变化规律，获得了平衡点附近存在Hopf分叉周期解的解析条件.最后的数值试验表明这样的周期解是不稳定的.

半导体激光器;稳定性;平衡点;Hopf分叉

0 引 言

半导体激光器由于其所用材料和结构的固有特性，使得其对外部微扰十分敏感，易于产生非线性 动态输出.半导体激光器的混沌、双稳、多稳等非线性输出特性在光通信、光存储、光开关器件、光学计算机等领域都有着广泛的应用前景.基于此，对半导体激光器非线性特性的基础性理论及实验研究十分重要[1].

在半导体激光器中，光电反馈是对注入电流的一个扰动，从而诱导不稳定性.在半导体激光器的光反馈中，相位的敏感性对激光器的动力学起重要作用.然而,不同于光反馈，在光电反馈系统中并不需要考虑相位效应，这是因为相位信息在反馈过程中通过光电探测器已消除.通过注入电流的光电反馈可分为2类：一是正反馈，二是负反馈.在负反馈中，反馈电流是从偏注电流中扣除的，它导致更强烈的松弛振荡.另一方面，在正反馈中，反馈电流加到偏注电流中，增益开关会驱动激光器在输出功率中呈现脉冲状态[2].

以及时间尺度t′=γ0t，则系统(1)可简化为

文献[3-4]对系统(2)通过数值试验和理论推导研究了慢混沌激发序列的存在性，发现了不同的时间尺度导致不变流形非常接近一个鞍焦点，类似一个同宿轨，但是，精确的同宿连接并没有出现.文献[4]研究了该系统混沌脉冲(chaotic spiking)或激发脉冲(excitable spikes)的存在性，得出当固定反馈增益和切断频率时，增加抽送电流，将出现混沌激发，此时大强度脉冲被不规则时间间隔分开，系统展现出小振幅混沌振荡；当抽送电流保持不变，放大器增益改变时，可得到相似的现象；当切断频率增加时，也出现了混沌激发机制.

本文通过对三维系统(2)的平衡点及其稳定性分析，给出了系统随参数变化时平衡点类型及其稳定性的相应变化;同时,给出了系统发生平衡点分叉及Hopf分叉的参数条件，重点研究了Hopf分叉的类型及其分叉周期解的稳定性.

1 平衡点及稳定性分析

直接分析不难导出，当δ0≠1时，系统(2)存在2个平衡点A(0,δ0,0)和B(δ0-1,1,1-δ0),当δ0=1时，系统(2)只存在1个平衡点(0,1,0).进一步,考虑到变量x对应于光子密度只能取正值,因此推知，在δ0≤1时系统只有1个平衡点A(0,δ0,0),而δ0>1时系统有2个平衡点A(0,δ0,0)和B(δ0-1,1,1-δ0),在δ0=1处发生平衡点分叉.

为了分析各平衡点的稳定类型，先计算系统在各平衡点处的Jacobi矩阵

式(3)中:E分别取平衡点A,B;(x,y,w)分别取对应平衡点的坐标值;fx(w+x)与fw(w+x)分别是f(w+x)对x和w的导数.下面通过讨论J(E)的特征值分布来获取平衡点的稳定性质.

1.1 平衡点A的稳定性及其类型

系统(2)在平衡点A(0,δ0,0)处对应线性系统的Jacobi矩阵为

其对应的特征方程为

f(λ)=(λ-δ0+1)(λ+γ)(λ+ε). (5)

由式(5)可知，特征值为：λ1=δ0-1,λ2=-γ,λ3=-ε，则可得下面的命题：

命题1当δ0>1,γ>0,ε>0时，特征方程存在1个正的特征值和2个负的特征值，此时平衡点A是不稳定鞍点；当δ0<1,γ>0,ε>0时，特征根为 3个负实根，此时，平衡点A是稳定结点.

1.2 平衡点B的稳定性及其类型

系统(2)在平衡点B(δ0-1,1,1-δ0)(δ0>1)处对应线性系统的Jacobi矩阵为

其对应的特征方程为

下面讨论f(λ)=0的根的情况.

1)f(λ)=0有3重实根λ0，即

比较式(7)与式(8)的系数得

由ε+γδ0=-3λ0可知λ0<0,平衡点B是稳定的.

2)f(λ)=0没有3重实根.此时因为f(0)=-(1-δ0)γε，所以当δ0>1时，f(0)>0，从而必存在1个实根λ3<0,进而有f(λ)=(λ-λ3)g(λ).其中:

g(λ)=λ2+(ε+γδ0+λ3)λ+p;

p=γδ0ε-(1-α)(1-δ0)γ+λ3(ε+γδ0+λ3).

进一步分析g(λ)的根即可得全部特征根的信息及平衡点B的稳定性质如下:

1)当ε+γδ0+λ3>0时，λ1,2<0，此时，3个特征根均为负实根，平衡点B为稳定结点;

2)当ε+γδ0+λ3<0时，λ1,2>0，此时，2个特征根为正实根、1个为负实根，平衡点B为鞍点;

3)当ε+γδ0+λ3=0时，λ1,2=0，此时，平衡点B的稳定性待定.

1)当ε+γδ0+λ3>0时，λ1,2<0，此时，其特征根为3个负实根，平衡点B稳定;

2)当ε+γδ0+λ3<0时，λ1,2>0，此时，其特征根为2个正实根和1个负实根,平衡点B不稳定.

1)当ε+γδ0+λ3>0时，λ1,2为共轭复数根，且实部小于0，平衡点B稳定;

2)当ε+γδ0+λ3<0时，λ1,2为实部大于0的共轭复数根,平衡点B不稳定;

2 平衡点B附近的Hopf分叉分析

2.1 Hopf分叉理论

考虑系统

假设F(x,μ)是参数μ的解析函数，不妨设对一切μ有F(0,μ)=0，即x=0是系统(10)的平衡点.记A(μ)=DxF(0,μ),将线性部分分离出来.系统(10)可改写为如下形式:

假设A(μ)的特征值为

且在临界值μc处，有

定理2假设系统(10)满足定理1的条件，且μ2≠0，则当μ2>0时，Hopf分叉周期解pε(t)在μ>μc=0一侧存在(称为跨临界分叉)；而当μ2<0 时，Hopf分叉周期解pε(t)在μ<μc一侧存在(称为亚临界分叉).进一步，若μ2α′(μc)>0，则分叉周期解是渐进稳定的；若μ2α′(μc)<0，则分叉周期解是不稳定的.

在Hopf分叉理论的具体应用中，判定Hopf分叉周期解的分支方向和稳定性的关键是确定μ2的符号.文献[6-7]给出了如下便于应用的公式：

(14)

式(14)中:

其中，P为非奇异矩阵，且使得

成立.

2.2 平衡点B附近的分叉

命题5对于满足条件

Δ2=-4(γδ0ε-(1-α)(1-δ0)γ)<0

的正参数γ,ε,s,α,当δ0接近临界值δH的某一侧时，系统(2)在平衡点B附近存在Hopf分叉周期解.

进一步确定平衡点B附近Hopf分叉周期解的分叉方向和稳定性.

首先将平衡点B移至原点，作变换

x=x1+(δ0-1),y=x2+1,w=x3+(1-δ0),

则系统(2)变为

可将系统(17)改为

J(B)X+S(X).

(18)

式(18)中，X=(x1,x2,x3)T.注意，J(B)就是平衡点B处的Jacobi矩阵，而S(X)表示非线性部分.

根据线性代数知识，存在可逆线性变换

X=P(δ0)Y,Y=(y1,y2,y3)T,

使得在这个变换下，系统(18)变为

式(19)中，

在δ0=δH处

(21)

P(δH)的逆矩阵为

(22)

式(22)中,d为矩阵P(δH)的行列式.若记系统(19)的非线性项为

P-1(δ0)S(P(δ0)Y)F(Y,δ0)=(F1,F2,F3)T,

则代入Hopf分叉临界参数值δ0=δH，可得F(Y,δH)的分量.再由定理2便可判别Hopf分叉周期解的稳定性和分叉方向.其中，

(23)

上面计算出的μ2的表达式无法直接分析，但利用Maple数学软件并通过数值模拟可以得到它的值.

为了说明上述Hopf分叉周期解的分叉方向和稳定性，笔者给出如下一个实例.

取s=11,α=1,γ=0.001,ε=0.000 02,代入式(16)，利用Maple解得δH=1.001 022 066或δH=998.978 977 9,进而计算得相应的平衡点B(0.001 022 066,1,-0.001 022 066)或B(997.978 977 9,1,-997.978 977 9)满足Hopf分叉的条件.再用Maple计算可得

α′(δH)<0,μ2α′(δH)<0.

由定理2可知，Hopf分叉周期解是通过跨临界分叉出现的，且是不稳定的.即当δ0接近并大于δH时，在平衡点B附近存在一个不稳定的周期解.故可得如下结论:

定理3对于满足条件

Δ2=-4(γδHε-(1-α)(1-δH)γ)<0

的正参数γ,ε,s,α，函数μ2恒大于零，当参数δ0接近并大于临界值δH时，系统(2)在平衡点B附近分叉出一个不稳定周期解.

[1]Chow W W,Koch S W，Sargent M.Semiconductor laser physics[M].Berlin：Springer-Verlag,1994.

[2]Ohtsubo J.Semiconductor lasers-stability,instability and chaos[M].Berlin：Springer-Verlag,2008.

[3]Al-Naimee K,Marino F,Ciszakl M,et al.Chaotic spiking and incomplete homoclinic scenarios in semiconductor lasers with optoelectronic feedback[J].New J Phys,2009,11:073022.

[4]Al-Naimee K,Marino F,Ciszak1 M,et al.Arecchi,excitability of periodic and chaotic attractors in semiconductor lasers with optoelectronic feedback[J].Eur Phys J D,2010,58(2):187-189.

[5]Hassard B,Kazarinoff N D,Wan Y.Theory and application of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

[6]Hsü I D,Kazarinoff N D.An applicable Hopf bifurcation formula and instability of small periodic solutions of the Field-Noyes model[J].J Math Anal Appl,1976,55(1):61-89.

[7]Hsü I D,Kazarinoff N D.Existence and stability of periodic solutions of a third-order nonlinear autonomous system simulating immune response in animals[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,1977,77(1/2):163-175.

(责任编辑 陶立方)

Studiesonbifurcationofasemiconductorlaserwithoptoelectronicfeedback

LIU Menglei, ZHAO Xiaohua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Bifurcation behaviors of a closed-loop optical system, consisting of a single-mode semiconductor laser with AC-coupled nonlinear optoelectronic feedback, were theoretically studied. By using bifurcation method of dynamical system including the Hopf bifurcation theorem, bifurcation and stability of equilibria were analysed in detail and conditions under which Hopf bifurcation occured near an equilibrium were obtained. Finally, numerical experiments were carried out to show that Hopf bifurcating periodic orbit was unstable.

semiconductor laser; stability; equilibrium; Hopf bifurcation

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.003

2014-04-27；

：2014-11-26

国家自然科学基金资助项目(10872183;11172269)

刘梦蕾(1990-),女,江西瑞金人,硕士研究生.研究方向：微分方程与动力系统.

赵晓华.E-mail: xhzhao@zjnu.edu.cn

O19

：A

：1001-5051(2015)04-0372-07