一种等比半群作用下的分形集的Hausdorff维数

金艳玲

(山西大学 商务学院基础教学部,山西 太原 030031)

分形维数的计算是分形理论中比较基础且重要的课题．近年来在物理、化学、金融,乃至环境科学中的应用都十分活跃．本文讨论的是符号迭代理论中经过有限型转移所形成的相应于[0,1]区间上的分形集的Hausdorff维数．文献[1]中计算了公比q=2时,分形集的Hausdorff维数和盒维数,文献[2]推广任意公比为q时的结论,文献[3]则探讨了二维空间上的压缩变换下的分形集的Hausdorff维数．文献[4]讨论了Sobolev映射下的一类分形集的Hausdorff维数.本文探讨公比取一般值q2时的等比数列作用下的分形集的Hausdorff维数．

0 引言

[0,1]区间上与XΩ相应的子集记为θΩ,

在序列空间∑中定义长度

ρ((xk),(yk))=m-min{n::xn≠yn}+1

则θΩ与XΩ的维数恰好相等,这相当于限制θΩ的覆盖为m进制区间,所以要求解θΩ的Hausdorff维数dimH(θΩ),我们主要讨论集合XΩ．

1 本文的主要结论

相应地,定义XΩ上的概率测度

我们将使用文献[1]中的重要引理,用以求解维数的上下限．

引理1 设E是∑中的一个Borel集,v为∑上的一个有限Borel测度

定理2 对于如上定义的XΩ,有dimH(XΩ)≥q2logmtφ.

令l→∞,则有

又由条件熵公式

由引理1可知dimH(XΩ)≥q2logmtφ.

定理3 对于如上定义的XΩ,有dimH(XΩ)=q2logmtφ.

证明 以下证明dimH(XΩ)≤q2logmtφ.

由μ和Pμ的定义可得

则(1)式可化为

所以,dimH(θΩ)=dimH(XΩ)=q2logmtφ.