锥形扬声器振膜的谐波失真*

郑保宾， 张志良

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



锥形扬声器振膜的谐波失真*

郑保宾， 张志良

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

用扬声器振膜在某个驱动频率下的线性振型对连续体进行了离散，得到了1个自由度的非线性振动方程，给出了由积分表示的方程中系数的计算表达式.通过求解非线性方程得到了谐波失真与非线性系数的关系.然后通过数值计算探讨了锥体的几何参数对非线性系数的影响.计算结果表明:选择合适的几何参数，可以使谐波失真得到一定程度的减小.

锥形扬声器；谐波失真；非线性系数；数值计算

0 引 言

扬声器振动系统的非线性在低频处主要由驱动力和支撑系统刚度的非线性引起，在中高频处主要由振膜的非线性引起.而振膜的非线性，则由应变和位移关系的非线性，即几何非线性引起，文献[1-3]对于扬声器分谐波失真的研究证实了这一点.振膜非线性还可引起分叉和混沌等复杂的非线性现象[3-6].

文献[7]在已知薄壳振型的条件下，将振型展开为薄壳线性模态的叠加，根据虚功原理，推导得到了1组离散的耦合非线性模态振动方程.文献[1]采用类似方法处理了旋转薄壳非线性振动方程的离散问题，并给出了方程系数的有限元计算表达式.不同于上述将振型分解为固有模态的叠加方法，本文假设扬声器振膜在考虑非线性因素后振型保持不变，即直接根据线性振型计算振膜的势能和动能，从而得到非线性振动方程.由于根据线性振型离散得到的仅是1个非线性方程，求解和计算相对容易，这是本文方法的优点.但本方法不适用于非线性因素对振型有明显影响的情形，例如扬声器振膜的分谐波、分叉和混沌等非线性效应[2-6].在得到并求解非线性振动方程的基础上，本文进一步计算分析几何参数对扬声器谐波失真的影响.

1 弹性体锥壳的基本几何结构

锥形扬声器振膜的几何结构如图1所示.x为经线坐标;u,w分别为锥体中面上一点的纵向和横向位移;Ra和Rb分别为扬声器锥体的内边缘和外边缘的半径;α为半锥顶角.取锥体的顶点为经线坐标原点，xa,xb分别为内、外边缘处的经线坐标.

2 锥壳非线性振动方程的推导和求解

2.1 方程的推导

推导过程和文献[1]类似，为了论文的完整性和方便阅读，简述过程如下.Hamilton变分原理指出，从t1状态到t2状态过程中，对于所有的可能运动状态，真实的解满足[8]

式(1)中：T为动能；U为应变能；FI为荷载体力分量；fI为边界面力分量.

设扬声器振膜在考虑非线性因素后振型保持不变，即设非线性位移和线性振型的关系为

式(2)中的线性振型ui和wi根据Frankort理论[9]由线性方程采用数值方法求得.

考虑了几何非线性的应变能U、动能T和位移u,w的关系[8]，体荷载FI为惯性力，面力fI为振膜受到的轴向驱动力，将其代入式(1)，经较为复杂的推导过程得到非线性振动方程如下：

式(3)中的阻尼项是由令杨氏模量为复数引入的，即令E=E(1+jγ)；其余符号的表达式如下：

式(4)中：伸长刚度K=Eh/(1-υ2);E为振膜的杨氏模量;h为厚度;υ为泊松系数；N1i,N2i，M1i，M2i分别为由线性振型ui和wi算得的纵、周向内力和力矩;Fa为轴向驱动力；uia,wia表示振型函数在边界处的取值；撇代表对x求导.

由于线性振型ui和wi随频率而变，故非线性方程的系数同样随频率而变，本文在每个分析频率上重新计算线性振型ui和wi.

2.2 方程的求解

将式(3)写成如下形式：

式(5)中,

采用多尺度法[10]求解方程(5)，可得基波振幅a的幅频方程如下：

直流项和二次、三次谐波项的幅值如下：

这样首先通过式(7)求得基波项振幅a，再由式(8)可求得二次、三次谐波项振幅，结合此时的振型函数进而可求得基波和二次、三次谐波的声压.由式(8)可见，扬声器的2次谐波失真由非线性系数k2引起，3次谐波失真由非线性系数k3和k2共同引起.

3 数值计算

3.1 计算实例参数

算例采用Frankort[9]给出的一个扬声器锥体模型，其几何、材料参数：半顶角α=50°;锥底半径Ra=17 mm；Rb=93 mm；厚度h=0.23 mm；杨氏模量E=2×109N/m2；密度ρ=600 kg/m3；泊松系数ν=0.3;阻尼系数γ=0.001.计算中，轴向驱动力取2.6 N，声压测试距离r取为1 m.

3.2 计算结果与分析

图2所示为2个典型的振膜横向线性振型，频率较低时，位移基本均匀，振膜近似作刚体运动，因而非线性很小；进入分割振动区域后，应变增大，非线性效应随之增大.

扬声器远场轴线上声压幅值为[9]

式(9)中的Vt(x)为横向速度.空气中声压级定义为SPL=20 lgp+94.算得锥体基波和谐波声压级如图3所示.可见，谐波失真的较大值出现在共振频率处，即基波声压响应的峰值处.

3.3 锥体几何参数对谐波失真的影响

由式(8)可知，要减小谐波失真，必须使k2/k1,k3/k1尽量小.为了方便考察振膜参数和谐波失真的关系，引入指标

图4显示锥顶角对Г2和Г3数值的影响，可以看到，随着锥顶角度的减小，在前8阶共振频率范围内，相对非线性系数Г2和Г3在逐渐减小.另外，从总体上看，随着锥顶角度的减小，曲线的起伏逐渐平缓，这将有利于辐射声压曲线的平坦响应.厚度对Г2和Г3数值的影响见图5.随着厚度的增加，Г2和Г3总体在逐渐减小，所以适当增加振膜厚度，可以减小谐波失真.

4 结 论

扬声器锥体的几何参数是影响振型函数形状的重要因素.本文的计算表明，合理选择扬声器振膜的锥顶角度和适当增加振膜的厚度,可以有效减小扬声器振膜的谐波失真.本文提出的扬声器振膜的谐波失真分析方法，可用于工程实际中扬声器振膜的优化设计.

[1]张志良，杨虹，刘世清.扬声器辐射体旋转薄壳的非线性振动方程[J].声学学报，2012，37(2)：123-131.

[2]张志良，刘世清，曾宪阳.无内共振时的扬声器分谐波[J].声学学报，2012，37(3)：279-285.

[3]张志良，刘世清，李小菊.有内共振时的扬声器分谐波和混沌[J].声学学报，2012，37(4)：386-392.

[4]Wei Rongjue,Tao Qingtian.Bifurcation and chaos of direct radiation loudspeaker[J].Chinese Phys Lett,1986,3(10):469-472.

[5]Miao Guoqing,Ni Wansun,Tao Qingtian,et al.Bifurcation,chaos and hysteresis in electro-dynamic cone loudspeaker[J].Chinese Phys Lett,1990,7(2):68-71.

[6]Zhang Zhiliang,Tao Qiangtian.Experimental study of non-linear vibrations in a loudspeaker cone[J].Journal of Sound and Vibration,2001,248(1):1-8.

[7]Radwan H,Genin J.Non-linear modal equations for thin elastic shells[J].Non-linear Mechanics,1975,10(1):15-29.

[8]李卓球，董文堂.非线性弹性理论基础[M].北京：科学出版社，2004：129-138.

[9]Frankort F J M.Vibration and sound radiation of loudspeaker cones[M].赵志诚，杨良柏，李联芳,译.北京：科学出版社，1988：70.

[10]周纪卿，朱因远.非线性振动[M].西安：西安交通大学出版社，1998：200-203.

(责任编辑 杜利民)

Theharmonicdistortionofloudspeakerscausedbyconevibration

ZHENG Baobin, ZHANG Zhiliang

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering，ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The nonlinear vibration equation for loudspeaker shell was obtained by using its linear displacement patterns. The coefficients of the nonlinear equation were given in integral form. The relation between the harmonic distortion and nonlinear coefficients was presented. The effects of the geometrical parameters on harmonic distortion were discussed. The results showed that nonlinear harmonic distortion could be decreased by choosing proper loudspeaker diaphragm geometry.

cone loudspeakers; harmonic distortion; nonlinear coefficients; numerical calculation

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.007

2014-08-08；

：2015-01-30

国家自然科学基金资助项目(11174255)

郑保宾(1990-),男,山东聊城人,硕士研究生.研究方向：扬声器非线性失真.

张志良.E-mail: zzl@zjnu.cn

O326

：A

：1001-5051(2015)04-0397-05