巧用“轴对称”解决最小值问题

徐瑾

轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举几个例子说明，以帮助同学们学习.

例1 （2013·大连）如图1，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）.

A. B. 3

C. 4 D.

【分析】正方形是轴对称图形，点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.而等边△ABE的边BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，求AB的长从而得出结果.

解：设BE与AC交于点P′，连接BD、P′D，如图2.

∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.

∵正方形ABCD的面积为16，

∴AB=4，又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=4.故选C.

【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称中的最短路线问题，要熟知“两点之间，线段最短”.

例2 （2009·连云港）如图3，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB的值最小，则点P应该满足（ ）.

A. PB=PC B. PA=PD

C. ∠BPC=90° D. ∠APB=∠DPC

【分析】本题关键首先确定P点的位置，根据轴对称的知识，可知作点C关于AD的对称点E，连接BE，BE与AD的交点就是点P的位置，再利用轴对称和对顶角相等的性质可得.

解：如图4，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.

∴∠DPC=∠EPD，

∵∠APB=∠EPD，

∴∠APB=∠DPC.故选D.

【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的.要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.

例3 （2015·贺州）如图5，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_______cm.

【分析】如图6，连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC.根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此可得出结论.

解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12，

∴ AD=6 cm.

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B和点A关于直线EF对称，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.

故答案为：8.

【总结】已知两定点与一直线，欲在直线上取一点，使该点到两定点的距离和最小.这种题可分两类：一类是当两点在该直线的两侧时，根据两点之间线段最短，可连接这两点，这两点连线与这条直线的交点就是所求点，另一类当两点在同侧时，任作一定点关于该直线的对称点，再连接对称点与另一定点，其连接线与该直线的交点就是要求的点.

例4 （2012·兰州）如图7，四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）.

A. 130° B. 120°

C. 110° D. 100°

【分析】要使△AMN的周长最小，利用点的轴对称，让三角形的三边转换到同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.

解：如图8，作A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长度即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.

∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）

=2×60°=120°，故选B.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、三角形的内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键.

【小结】两个动点难以把握，关键是如何使变化的三条边的和最小，我们只需要利用轴对称，将变化的三条边能组成一条线段，便可利用“两点之间线段最短”求解.

（作者单位：江苏省常熟市兴隆中学）