从函数定义域谈学生数学思维品质的培养

谷杨

（重庆市铜梁中学 重庆铜梁 402560）

从函数定义域谈学生数学思维品质的培养

谷杨

（重庆市铜梁中学 重庆铜梁 402560）

数学思维品质是指个体在数学实践或数学训练中所表现出来的思维活动的外部特征，它包括思维的严密性、灵活性、深刻性、批判性和敏捷性等品质。然而高中数学中函数是一条主线，函数的定义域又是函数的三大要素之一，单纯地求解函数的定义域似乎很简单，然而在解决实际问题中稍不注意，就会得到错解。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是非常重要的。下面本人就函数定义域教学与数学思维品质的培养来浅谈自己的看法。

高中数学 函数定义域 思维品质

学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。[1]

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50—x)米，由题意得：S=(50-x)

故函数关系式为：S=x(50-x).

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0＜x＜50

即：函数关系式为：S=x(50-x)（0＜x＜50）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1,+∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数的单调递增区间单调递减区间是

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：

综上所述，在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。

[1]刘绍学，钱珮玲，章建跃.普通高中课程标准实验教科书[M].北京:人民教育出版社,2007.1.

[2]田万海.数学教育学[M].浙江:浙江教育出版社1993.