巧用圆探究点的问题

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）24-0222-02

在中考压轴题中，经常会遇到一些题目，看似与圆的知识无关，但若能联系圆的性质，将会使问题更为直观，探究更为完整，化隐为显，化难为易。下面以几个例子，来加以说明。

圆的性质之一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等。对于以上性质学生都记得滚瓜烂熟，若直接考查相信大部分考生都能应对如流。但在下面的问题中，就有不少考生百思不得其解。

例题1、如图，点A（﹣2，0），点B（2，0），点C（0，23 ），P是直线BC上的动点.

（1）求∠CAB的大小;

（2）求点P的坐标，使∠APO=30°;

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由.

分析：由（1）问易推得当点P在C处时∠APO=30°，但符合条件的点P是不是只有一个呢？显然不是，如果能联系到圆的上述性质，巧妙构造过A、C、O三点的圆，由于 ∠AOC=90°，所以圆心为AC的中点Q，当P在优弧ACO上时∠APO=30°，该圆与直线BC有两个交点，即符合条件的点P有两个，不难求出这两个点的坐标。第（3）问更能体现圆的作用，以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称.

∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=30°，

∴点P的个数情况如下：

①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切;

②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交;

③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交;直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交;

④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点.

构造⊙Q，⊙Q′ 根据圆的性质，当点P在优弧ACO或优弧AC'O上时∠APO=30°，就把此问题转化为观察直线BC与这两段优弧的交点个数，使问题更易探究。

例题2、 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0） .若在 轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为;

分析：此题虽然没有提到圆，但中要作出经过A、B、C三点的圆，由圆周角的性质可知，当点D在优弧ACB上时∠ACB =∠ADB，观察圆与 轴的交点，就可求得点D的坐标。

我们还可以自已得出推论：如图，点A、B、C、均为⊙O上的点，若点E在⊙O外 ，且与点C在直线AB同侧，则有∠C>∠E.证明这一结论并不难，如图，连结BF，则有∠C=∠AFB，再根据三角形外角的性质可得∠AFB ∠E，同样可推得若点M在圆内则有∠C ∠AMB。

例题3、 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），

其中m>n>0.点P为 轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标.

分析：构造出经过A、B两点且与 轴相切的圆，则切点就是所求的点P。理由：在 轴的正半轴上任取一点P'（不与点P重合），由上述的推论得∠APB ∠AP'B。过圆心M作AB的垂线段MC，连结MB，再根据垂径定理、勾股定理即可求得MC，从而求得点P的坐标.

圆的性质之二：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于900。

例题4、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数.

（1）判断四边形DEFB的形状.并证明你的结论;

（2）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能.求出t的值;若不能，说明理由.

分析：在问题（1）的基础上，只需∠ABO=90°，四边形DEFB就为矩形，因此探索∠ABO能否为90°是本题的关键。由于直线x=b是一条动直线，所以∠ABO不一定会等于90°，若能联系上述的圆的性质，构造以OA为直径的圆，当且仅当点B在圆周上（异于O、A两点）时∠ABO=90°，而直线x=b与此圆公共点的个数为0，1，2三种情况，因此当b>4时，直线x=b与圆没有公共点，也就是四边形DEFB不能是矩形，当 时直线x=b与圆有公共点，四边形DEFB能是矩形，再利用相似三角形的性质就可求得t与b的关系，也就求出t的值。解题时不少学生易忽略当b>4时，直线x=b与圆没有公共点，也就是四边形DEFB不能是矩形这一情况，通过圆不然发现这一情况。

例5、已知Rt△ABC中， AC=5， BC=12，∠ ACB=90°，P是边AB上的动点， Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，求线段CQ的取值范围。

解析：观察图形不难看出当Q与B重合时CQ最大，难点在于点Q在何处时CQ最小，根据直径所对的圆周角是直角，以CQ为直径作⊙O，若AB边上的动点P在圆上，∠ CPQ就为直角，若⊙O与AB相离，则∠CPQ190°。所以当⊙O与AB相切时，直径CQ最小.由切线长定理，得AP=AC=5，所以BP=13-5=8.连结OP根据相似三角形的性质，求出圆的半径，即可求得CQ=203.综上所述，203≤CQ≤12.

以上几个例题，题意上均未出现圆的字眼，一开始感觉比较茫无头绪，即使找出一个点，也很然判断是否有其它点，若构造出相应圆，就能直观的感受到点的存在及个数，体现数学中的化归思想，使问题迎韧而解。

作者简介：

林伟煌，中学一级数学教师，研究方向：初中数学