理解数学，提升数学素养

曹友毅

摘要：数学素养关系到学生的发展，走出懂而不会，真正体验数学，理解数学，应用数学，提升自己的数学素养。

关键词：理解数学;提升;数学素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）22-0202-02

数学素养关系到学生的发展，走出懂而不会，真正体验数学，理解数学，应用数学，享受数学，提升自己的数学素养。考试说明》中指出高考命题"着重考查考生的数学素养"，那什么是数学素养？平时教学该如何培养？数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有"数学素养"的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点： 在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件; 在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑; 在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化，用于认识现实中的问题。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质。建模能力的基础就是数学素养。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法、好场所。数学的思想方法中严格推理，它属于"演绎"的范畴，其实，数学修养中也有对偶的一面――"归纳"，称之为"合情推理"或"常识推理"，它要求我们培养和运用灵活、猜想和活跃的思维习惯。本文将利用一道例子谈点看法：

在不等式第二讲的比较法中的例2：若用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为ab.若在上述不饱和溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数为a+mb+m.将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。

1.感受、体验

创设舒适的情境，可让学生更好的参与到课堂的教学过程，感受数学，体验数学知识的生成，体验数学的发生，发展过程。这种数学问题情境来源于现实生活。

体验1：由生活经验，我们知道糖水是越加糖越甜的。可学生比较难以完成这个由具体到抽象概括，"提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决"，这是著名的加糖不等式，设a为糖，b为水（满足a0）的糖后糖水中糖的质量分数，因为糖的质量分数大小（浓度大小）可以直观地由甜度来反映，在数学式子上，就是a+mb+m>ab。这就是：雪剑定理：已知a，b，m都是正数，且aab。

体验2：我们也可从已有的认知：分数的角度分析：写出任意2个正的真分数，给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到2个新的分数：比较每个分数与对应新分数的大小，是否可以得出下面的结论：一个真分数是ab（均为正数），给其分子，分母同加一个正数，得a+mb+m，则2个分数的大小是a+mb+m>ab？当a

体验3：如果我们继续用浅显的例子：若a是学校的女生人数，然后b是全校学生人数，那么a / b是女生比例;那么如果某一天新转来m个女生，这个时候原来的男生们一定会觉得欣喜若狂，因为女生比例a+mb+m又大了 ，在愉悦中感受着"数学是自然地"是很有人情味的。也可借此从另外一个角度两个数的大小清楚地说明男生开心的原因了。进一步让学生体验到："数学是有用的""数学是清楚地"。在不同的问题情景中给学生。

2.理解、消化

从该问题属于比较大小，可引导学生"从一个有网络化的知识体系中提取相关的信息，有效的解决问题"：

理解1：比较法：证明：

，因为a，b，m都是正数，且a0，不等式a+mb+m-ab成立。

理解2：分析法，证明：要证a+mb+m>ab，由于a，b，m都是正数，去分母，只要证ab+mb>ab+ma。等价化简，即证mb>ma，因为m>0，即证b>a。这已经由题目给出，是题目的条件，又由于分析过程中均为恒等变形，步步均可逆，所以原不等式得证。

理解3：数形结合法：由分式联系斜率，证明：画一个矩形OABC，长b宽a，然后将这个矩形的长宽都延长m，得到一个大矩形ODEF。连接BE，则有：线段BE的斜率为1，线段OB的斜率为a/b ，线段OE的斜率a+mb+m，因为，aab

理解4：单调性法，构造函数F（x）=a+xb+x=b+x+（a-b）b+x=1+a-bb+x，F（x）在（0，∞）是增函数，得证

3.应用、拓展

有关部门规定，居民住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十，并且这个比值越大采光越好，现有一居民宅窗户为a，地板面积为b（a小于b），若同时增加相等的窗户和地板的面积m（m大于0）. 问住宅采光条件是变好还是变坏了？请运用相关知识分析。

分析：窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十即：ab≥0.1，采光条件变好还是变坏取决于a+mb+m与ab的大小关系，其实还是前面已证明的不等式而已。

拓展1：若aab，则m的取值范围

提示：a+mb+m>ab，a+mb+m-ab>0，m（b-a）b（b+m）>0，因为a

所以有m（b+m）<0，所以有m>0且b+m<0，或m<0且b+m>0（该情况不存在）所以只能有m>0且m<-b所以m的取值范围为{m|0

拓展2：a1，a2，b1，b2，∈R+，a1b1

拓展3：对于任意自然数n，若a1b1

4.享受、欣赏

利用浩瀚的知识和信息，使数学知识条理化，深入浅出，循序渐进，引导学生牢固掌握知识，在边看，边听，边思中使学生产生利用已有知识积极寻求解题方法的欲望。在归纳，联想，推理，直觉判断等思维享受"科学发现"的喜悦。设置情境让学生全面，开阔视野感受到生活处处事数学，使自己越学越有兴趣。享受自己成功的喜悦。欣赏数学的简约美、对称美。让学生自有学习乐在其中，提升自己的数学素养。