小学数学建模教学探析

韩俊义

【摘 要】“模型思想”是《数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心概念之一。数学学习离不开数学建模，甚至可以说数学学习就是引导学生经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。在这过程中，合情推理，举三反一，可以把发现规律系统地梳理串联，纵向成线；触类旁通，再举一反三，可以把新旧知识有机的结合起来，横向成片。线面组合，立体建构，使得数学学习更具深度、广度、高度。

【关键词】模型；数学模型；建模教学；举三反一；举一反三

谈到建模教学，首先要明白什么是“数学模型”，什么是“数学建模”？

何为“数学模型”？我以为，作为“数学结构”的数学模型和我们日常生活中见到的物品制作模型既有联系又有区别。联系是，作为“模型”二者都能由“一”派生出“很多”。不同的是，用生活中物品制作模型制造出来的东西，材料、质地、模样、外观都完全相同，比如，用矿泉水瓶模型制作出来的成千上万的瓶子都是一模一样的；而同一个数学模型，却有着丰富多样的具体形态，只不过这些具体形态中蕴含的“数学结构”又是同一的。

所谓“数学建模”，就是“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模”。细细想来，“实际问题→建立模型→解释应用”的路径早就存在于小学数学教学和儿童数学学习之中，只是以前我们没有从“建模”的角度来提，也没有提到现在的高度。

通过上述分析思考，使我想到两个耳熟能详的词语：“举三反一”和“举一反三”。“具体问题→建立模型”的过程实际上就是“举三反一”，即从一些具体的、特殊的、个别化的具体问题（“三”）的研究中发现出共性的、普遍性的数学结构、关系等（“一”）。“建立模型→解释应用”的过程实际上就是“举一反三”，即通过知识迁移，思考实践，将提炼出的数学思想、方法等（“一”）灵活变通地运用到更加丰富多样的实际问题中（“三”）。这两个过程，多样性和统一性相互交融，前后关联又螺旋上升，意蕴丰富，奥妙无穷。

一、举三反一——从具体到抽象，积累有深度

1.举三反一理解算理

关于计算教学，一般都是就算式讲算法。很多时候，学生知其然，但不知其所以然。究其原因，一是算法比较“显现”，容易把握，而算理比较“隐藏”，较为抽象；二是算法多样化受到普遍重视，但多样性中的统一性却受到冷落。事实上，在引导学生通过多种途径探寻算法的过程中，有必要提炼出共同的本质特征，建立起初步的模型。

2.举三反一发现规律

数学中规律无处不在。“找规律”在苏教版教材中也多处涉及到，在数、式子、图形排列中我们都可以看到它的身影，还单独安排了“找规律”单元。对于学生而言，直观形象的简单规律大多都能够发现，但如果是一些复杂的规律或者是需要探索出的潜在规律，学生往往很难发现。只有充分感悟，从事例中积累经验，才能有所得，有所获，掌握的规律数学模型才更有价值。

二、举一反三——从抽象到具体，迁移有广度

1.变换情境举一反三

从抽象到具体时，特别要注意这个“具体”的多样性和丰富性，而多样性和丰富性更多的来自不同的情境、不同的素材，因此，让学生由点及面，以“一”引“三”，多角度、分层次变换情境来进行模型应用，可以深化对数学模型的理解。

苏教版小学数学教材五年级下册第二单元的教学内容是“用数对确定位置”，学生在一年级已经学过用“第几个”、在二年级已经学过用“第几排第几个”以及类似的方式来描述实际情境中物体的位置，而数对则是通过二维平面轴（列，行）来确定物体在平面上的位置。学习中，我们可以将教室内学生位置主题图变成点子图、公园景点地图、方格图等，基本目标就是用“数对”表示物体的具体位置，稍作提高，可以让学生根据提示用点表示出物体的位置，可以在交叉点上，也可以是交叉格内，最后还可以让学生在象棋盘上边下棋边报棋子位置。变化了背景图的外在形式，不变的是用数对确定位置的方法，万变不离其宗，通过一系列的练习巩固，学生深刻体会到“数对”的作用与价值，加深了印象，头脑中的数学模型也更加清晰。

2.变通思维举一反三

数学是思维的体操。数学教育的本质是让学生“学会数学地思维”或“通过数学学会思维”。小学数学教学中渗透模型思想，开展建模教学，最终是要培养学生更好的模型意识，建立起基于模型的数学思维。这样的目标，需要结合具体的学习素材来不断地进行点拨、提示、强化，直至变得自然。

总的说来，不管是“举三反一”，还是“举一反三”，都是建立在遵循数学学科的特点和学生认知规律的基础上，是让学生在“举”与“反”的循环往复中不断提升技能的过程，是引导学生不断增强对数学的认识，不断获得一种基于模型的学习能量。相比而言，“举三反一”强调“积累”，“举一反三”着力“迁移”。“迁移”要以“积累”为基础，“积累”必以“迁移”为延伸。二者有机结合，相辅相成，承前启后，螺旋递进，促进数学知识体系的系统整合和数学模型思想的全面落实。

参考文献：

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中科技大学出版社，2000，第15页