伽利略的自由落体路程模型

作者简介：东北师范大学教授，博士生导师，曾任东北师范大学校长。全国人大代表，国务院学科评议组成员，国家级教学名师，中国教育学会副会长，科技委数理学部委员。义务教育数学课程标准修订组组长，普通高中数学课程标准修订组组长。

编者按：在2014年5月6日召开的国家社科基金教育学重点课题《中小学理科教材难度的国际比较研究》成果报告会上，史宁中教授送我一本近期大作《数学思想概论——自然界中的数学模型》。利用5月至6月的闲暇，我匆匆拜读了此书，在阅读中不时为一个杰出数学家对物理学相关模型的理解而感叹，很受启发！此书是史宁中教授“数学思想概念书系”的第五册，涉及四讲内容，分别为：基于原始符号的模型，关于时间的模型，关于空间的模型，关于力和运动的模型。其中，第四讲涉及了静态平衡状态下的力的模型，重力和引力的模型，万有引力的模型，基于场论的引力模型，广义相对论的数学模型，原子世界的力学模型等内容。本文选自第四讲中的重力与引力模型的部分内容。将此内容推荐给大家，以期让大家获得来自不同研究视角的启示。

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思维模式的改变，伽利略完全改变了传统的研究模式，他开始研究自由落体下落过程中的路程模型。首先，伽利略假设了一个基本事实：物体下落的速度随下落的时间而增加，这称为加速度，加速度与时间成正比例关系。这个假设是来源于直觉的，当然，正如我们下面将要讨论的那样，后来伽利略通过实验验证了这个假设，但那个实验更重要的目的是为了得到比例常数，从而得到加速度的大小。这个假设是非常重要的，这个假设是构建模型的前提。并且，在后面的一系列的讨论中我们将会进一步看到，加速度这个概念是运动学和动力学最为基础的概念，这个基础概念导致所有关于运动学和动力学的数学模型最终都可以写成二阶微分方程的形式。

基于这个假设，如果用字母g表示加速度，那么，我们似乎可以设想：物体下落的路程s就是加速度g和时间t的函数，这样，我们就可以把这个函数写成

s=f（g，t） （1）

在今天看来，得到这个结论是那样的简单，是那样的合情合理。但在伽利略时代，问题却要复杂得多。这是因为，为了使得这个式子成立还需要一个前提，那就是：物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。这个前提可能成立吗？事实上，关于这个问题的答案，在物理学界曾经引起过很大的争论，这个争论一直影响到今天。争论的起因在于伽利略写在那本书里的一段话②：

亚里士多德宣称在同一介质中重量不同的物体以与其重量成比例的速度前进，因为迄今为止，亚里士多德所说的运动是依赖于重量的。

争论的焦点是伽利略是否误解了亚里士多德的观点，也就是说，亚里士多德的原意是不是像伽利略上面所说的那样。大部分学者认为，伽利略正确地理解了亚里士多德的观点③。但笔者仔细阅读了亚里士多德的原文，得到的结论是：伽利略在很大程度上误解了亚里士多德。伽利略所说的“亚里士多德宣称”的那段话出现在亚里士多德所著《物理学》第216页中。这段话很难翻译，笔者请东北师范大学历史文化学院的张强教授参照古希腊文、古拉丁文以及英文翻译如下④：

因此，关于运动是如何受其所在介质的影响，可以得到如下结论：运动的不同取决于物体本身。我们看到，有较大动能⑤——重的向下，轻的向上——的物体（假如它们的形状相同）在相同距离内会运行得更快，而且其速度比等同于质量比。但认为穿过虚空的情况亦然，这是不可能的。那么，是什么原因导致更快的运动呢？在充满介质之中，必然是因为动能大的物体穿过介质的速度更快。其速度或取决于物体的形状，或取决于自然运动或者被动运动的物体所具有的动能。因此，在虚空中所有物体的速度是相同的，但这是不可能的。

所以，如果有虚空存在，那么，我们推出的结论恰好与主张有虚空存在的那些人所持的立论依据相反。……通过上面的分析可知，不存在可以分离的虚空。

通观原文的前后意思，亚里士多德在这里要讨论问题的核心是“虚空是否存在”。亚里士多德认为虚空是不存在的，即空间不可能分离出一块是虚空的，一块是有介质的。论据就是物体下落的速度不同，这个速度与物体的形状和质量有关，这就是因为介质存在的缘故。因此他得到结论：只有在虚空中物体的速度才可能相等，但这是不可能的。这样，亚里士多德就认为自己证明了“虚空不存在”。由此可见，亚里士多德只是通过物体运动速度的不同来阐述虚空的不存在，而不是专门论述物体运动速度的问题。通过上面的分析可以知道，亚里士多德所说的反命题是：如果虚空存在，在虚空中物体的速度是相等的。事实上，伽利略得到的结论与亚里士多德的反命题是一致的。至于亚里士多德所说的“其速度比等同于质量比”，正如伽利略用较大篇幅论证的那样：亚里士多德并没有为此做过实验。

毫无疑问，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关，比如，因为空气阻力的原因，人们总不会认为在现实世界中鸡毛与铅球的下落速度是一样的。因此，关于这个问题的完整思路应当是这样的：只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计；如果这个条件成立，物体下落的速度与物体的形状以及与物体的质量无关，因此（1）式成立。

如果物体的下落速度与物体的形状以及物体的质量无关，我们称这个物体为自由落体。对于自由落体，根据我们在前面叙述过的伽利略关于正比例关系的假设，加速度g意味着：下落1秒时的速度为g，下落2秒时的速度为2g，……，下落t秒时的速度为tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度为v=tg/2。这样就可以得到（1）式的具体表达式，即由路程=速度×时间，可以得到自由落体运动路程模型为

在上面的证明过程中，虽然伽利略用了很大篇幅讨论了为什么“三角形ABC”应当等于“物体下落的距离”，但总是让人感觉到他的解释有些牵强附会。笔者想，这个牵强附会是可以理解的，因为在伽利略的时代微积分还没有被发明出来。可以看到，伽利略的直观能力非常强，事实上，在他的直观解释中已经说出了积分的核心思想。笔者尝试用现代语言述说伽利略的思考⑥：图1中的垂直线段AB上的点表示的是物体下落过程中的时刻；每一条一段在AB上的横线，表示的是那个时刻物体的下落速度；因为是匀加速运动，所以线段的另一端都必然在线段AC上。下面考虑下落速度为a时的一个非常微小的时间段△t，那么通过的距离应当为：△t×a，即是一个小矩形的面积。我们把时间段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面积看成所有这样的小矩形的面积相加得到的，于是就得到结论：“三角形ABC”的面积等于“物体下落的距离”。可以看到，这个证明思路完全是微积分的想法。由此也可见想象，从伽利略的时代开始，微积分的出现是必然的，只是时间早晚的事情。

无论如何，上面的所有述说仅仅是一些逻辑思考而已，因此，所有的结论正确与否都必须得到经验的验证，就像爱因斯坦所说的那样：一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。那么，应当如何设计实验来验证这个结果呢？许多书中都讲到伽利略利用比萨斜塔安排了他的试验，这样的述说故事性很强，但不可信，因为自由落体的速度太快，在那个没有钟表的时代（我们在第二讲中曾经谈到，钟表是在伽利略发现单摆的等时性以后才由惠更斯发明的），不可能进行精确的数据记录，进而根据数据进行验证。事实上，伽利略的试验是在斜面上进行的。

首先，伽利略在那本书的定理3中证明了这样的结论：同样的高度、同样的重物沿垂直和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比，这就说明可以利用斜面来进行自由落体的试验。然后，伽利略用一块12码长的木板，在中间划出1英寸宽的光滑的沟槽，让一个光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。他试验了不同的斜度，又试验了不同长度的木板，先后100多次的试验结果均显示：黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似成正比例关系。在试验过程中，为了解决度量时间的问题，伽利略利用水通过一个管子留到杯中的流量进行时间度量。之所以可以这样度量的理由是：物体下落的时间与杯中水的重量成正比例关系。这样，伽利略自由落体实验的结论就是用“秤”称出来的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被称为“重力加速度”，我们将在下一个话题专门讨论这个非常重要的量。在上面的讨论中，我们无区别地使用了“重量”和“质量”这样的名称，事实上，这两个名称之间是有区别的。在下面的讨论中将会看到，有了重力加速度这个概念之后，就可以讨论这两个名词之间的区别了，这个区别就在于引力的作用。

（栏目编辑 廖伯琴）

作者简介：东北师范大学教授，博士生导师，曾任东北师范大学校长。全国人大代表，国务院学科评议组成员，国家级教学名师，中国教育学会副会长，科技委数理学部委员。义务教育数学课程标准修订组组长，普通高中数学课程标准修订组组长。

编者按：在2014年5月6日召开的国家社科基金教育学重点课题《中小学理科教材难度的国际比较研究》成果报告会上，史宁中教授送我一本近期大作《数学思想概论——自然界中的数学模型》。利用5月至6月的闲暇，我匆匆拜读了此书，在阅读中不时为一个杰出数学家对物理学相关模型的理解而感叹，很受启发！此书是史宁中教授“数学思想概念书系”的第五册，涉及四讲内容，分别为：基于原始符号的模型，关于时间的模型，关于空间的模型，关于力和运动的模型。其中，第四讲涉及了静态平衡状态下的力的模型，重力和引力的模型，万有引力的模型，基于场论的引力模型，广义相对论的数学模型，原子世界的力学模型等内容。本文选自第四讲中的重力与引力模型的部分内容。将此内容推荐给大家，以期让大家获得来自不同研究视角的启示。

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思维模式的改变，伽利略完全改变了传统的研究模式，他开始研究自由落体下落过程中的路程模型。首先，伽利略假设了一个基本事实：物体下落的速度随下落的时间而增加，这称为加速度，加速度与时间成正比例关系。这个假设是来源于直觉的，当然，正如我们下面将要讨论的那样，后来伽利略通过实验验证了这个假设，但那个实验更重要的目的是为了得到比例常数，从而得到加速度的大小。这个假设是非常重要的，这个假设是构建模型的前提。并且，在后面的一系列的讨论中我们将会进一步看到，加速度这个概念是运动学和动力学最为基础的概念，这个基础概念导致所有关于运动学和动力学的数学模型最终都可以写成二阶微分方程的形式。

基于这个假设，如果用字母g表示加速度，那么，我们似乎可以设想：物体下落的路程s就是加速度g和时间t的函数，这样，我们就可以把这个函数写成

s=f（g，t） （1）

在今天看来，得到这个结论是那样的简单，是那样的合情合理。但在伽利略时代，问题却要复杂得多。这是因为，为了使得这个式子成立还需要一个前提，那就是：物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。这个前提可能成立吗？事实上，关于这个问题的答案，在物理学界曾经引起过很大的争论，这个争论一直影响到今天。争论的起因在于伽利略写在那本书里的一段话②：

亚里士多德宣称在同一介质中重量不同的物体以与其重量成比例的速度前进，因为迄今为止，亚里士多德所说的运动是依赖于重量的。

争论的焦点是伽利略是否误解了亚里士多德的观点，也就是说，亚里士多德的原意是不是像伽利略上面所说的那样。大部分学者认为，伽利略正确地理解了亚里士多德的观点③。但笔者仔细阅读了亚里士多德的原文，得到的结论是：伽利略在很大程度上误解了亚里士多德。伽利略所说的“亚里士多德宣称”的那段话出现在亚里士多德所著《物理学》第216页中。这段话很难翻译，笔者请东北师范大学历史文化学院的张强教授参照古希腊文、古拉丁文以及英文翻译如下④：

因此，关于运动是如何受其所在介质的影响，可以得到如下结论：运动的不同取决于物体本身。我们看到，有较大动能⑤——重的向下，轻的向上——的物体（假如它们的形状相同）在相同距离内会运行得更快，而且其速度比等同于质量比。但认为穿过虚空的情况亦然，这是不可能的。那么，是什么原因导致更快的运动呢？在充满介质之中，必然是因为动能大的物体穿过介质的速度更快。其速度或取决于物体的形状，或取决于自然运动或者被动运动的物体所具有的动能。因此，在虚空中所有物体的速度是相同的，但这是不可能的。

所以，如果有虚空存在，那么，我们推出的结论恰好与主张有虚空存在的那些人所持的立论依据相反。……通过上面的分析可知，不存在可以分离的虚空。

通观原文的前后意思，亚里士多德在这里要讨论问题的核心是“虚空是否存在”。亚里士多德认为虚空是不存在的，即空间不可能分离出一块是虚空的，一块是有介质的。论据就是物体下落的速度不同，这个速度与物体的形状和质量有关，这就是因为介质存在的缘故。因此他得到结论：只有在虚空中物体的速度才可能相等，但这是不可能的。这样，亚里士多德就认为自己证明了“虚空不存在”。由此可见，亚里士多德只是通过物体运动速度的不同来阐述虚空的不存在，而不是专门论述物体运动速度的问题。通过上面的分析可以知道，亚里士多德所说的反命题是：如果虚空存在，在虚空中物体的速度是相等的。事实上，伽利略得到的结论与亚里士多德的反命题是一致的。至于亚里士多德所说的“其速度比等同于质量比”，正如伽利略用较大篇幅论证的那样：亚里士多德并没有为此做过实验。

毫无疑问，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关，比如，因为空气阻力的原因，人们总不会认为在现实世界中鸡毛与铅球的下落速度是一样的。因此，关于这个问题的完整思路应当是这样的：只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计；如果这个条件成立，物体下落的速度与物体的形状以及与物体的质量无关，因此（1）式成立。

如果物体的下落速度与物体的形状以及物体的质量无关，我们称这个物体为自由落体。对于自由落体，根据我们在前面叙述过的伽利略关于正比例关系的假设，加速度g意味着：下落1秒时的速度为g，下落2秒时的速度为2g，……，下落t秒时的速度为tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度为v=tg/2。这样就可以得到（1）式的具体表达式，即由路程=速度×时间，可以得到自由落体运动路程模型为

在上面的证明过程中，虽然伽利略用了很大篇幅讨论了为什么“三角形ABC”应当等于“物体下落的距离”，但总是让人感觉到他的解释有些牵强附会。笔者想，这个牵强附会是可以理解的，因为在伽利略的时代微积分还没有被发明出来。可以看到，伽利略的直观能力非常强，事实上，在他的直观解释中已经说出了积分的核心思想。笔者尝试用现代语言述说伽利略的思考⑥：图1中的垂直线段AB上的点表示的是物体下落过程中的时刻；每一条一段在AB上的横线，表示的是那个时刻物体的下落速度；因为是匀加速运动，所以线段的另一端都必然在线段AC上。下面考虑下落速度为a时的一个非常微小的时间段△t，那么通过的距离应当为：△t×a，即是一个小矩形的面积。我们把时间段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面积看成所有这样的小矩形的面积相加得到的，于是就得到结论：“三角形ABC”的面积等于“物体下落的距离”。可以看到，这个证明思路完全是微积分的想法。由此也可见想象，从伽利略的时代开始，微积分的出现是必然的，只是时间早晚的事情。

无论如何，上面的所有述说仅仅是一些逻辑思考而已，因此，所有的结论正确与否都必须得到经验的验证，就像爱因斯坦所说的那样：一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。那么，应当如何设计实验来验证这个结果呢？许多书中都讲到伽利略利用比萨斜塔安排了他的试验，这样的述说故事性很强，但不可信，因为自由落体的速度太快，在那个没有钟表的时代（我们在第二讲中曾经谈到，钟表是在伽利略发现单摆的等时性以后才由惠更斯发明的），不可能进行精确的数据记录，进而根据数据进行验证。事实上，伽利略的试验是在斜面上进行的。

首先，伽利略在那本书的定理3中证明了这样的结论：同样的高度、同样的重物沿垂直和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比，这就说明可以利用斜面来进行自由落体的试验。然后，伽利略用一块12码长的木板，在中间划出1英寸宽的光滑的沟槽，让一个光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。他试验了不同的斜度，又试验了不同长度的木板，先后100多次的试验结果均显示：黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似成正比例关系。在试验过程中，为了解决度量时间的问题，伽利略利用水通过一个管子留到杯中的流量进行时间度量。之所以可以这样度量的理由是：物体下落的时间与杯中水的重量成正比例关系。这样，伽利略自由落体实验的结论就是用“秤”称出来的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被称为“重力加速度”，我们将在下一个话题专门讨论这个非常重要的量。在上面的讨论中，我们无区别地使用了“重量”和“质量”这样的名称，事实上，这两个名称之间是有区别的。在下面的讨论中将会看到，有了重力加速度这个概念之后，就可以讨论这两个名词之间的区别了，这个区别就在于引力的作用。

（栏目编辑 廖伯琴）

作者简介：东北师范大学教授，博士生导师，曾任东北师范大学校长。全国人大代表，国务院学科评议组成员，国家级教学名师，中国教育学会副会长，科技委数理学部委员。义务教育数学课程标准修订组组长，普通高中数学课程标准修订组组长。

编者按：在2014年5月6日召开的国家社科基金教育学重点课题《中小学理科教材难度的国际比较研究》成果报告会上，史宁中教授送我一本近期大作《数学思想概论——自然界中的数学模型》。利用5月至6月的闲暇，我匆匆拜读了此书，在阅读中不时为一个杰出数学家对物理学相关模型的理解而感叹，很受启发！此书是史宁中教授“数学思想概念书系”的第五册，涉及四讲内容，分别为：基于原始符号的模型，关于时间的模型，关于空间的模型，关于力和运动的模型。其中，第四讲涉及了静态平衡状态下的力的模型，重力和引力的模型，万有引力的模型，基于场论的引力模型，广义相对论的数学模型，原子世界的力学模型等内容。本文选自第四讲中的重力与引力模型的部分内容。将此内容推荐给大家，以期让大家获得来自不同研究视角的启示。

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思维模式的改变，伽利略完全改变了传统的研究模式，他开始研究自由落体下落过程中的路程模型。首先，伽利略假设了一个基本事实：物体下落的速度随下落的时间而增加，这称为加速度，加速度与时间成正比例关系。这个假设是来源于直觉的，当然，正如我们下面将要讨论的那样，后来伽利略通过实验验证了这个假设，但那个实验更重要的目的是为了得到比例常数，从而得到加速度的大小。这个假设是非常重要的，这个假设是构建模型的前提。并且，在后面的一系列的讨论中我们将会进一步看到，加速度这个概念是运动学和动力学最为基础的概念，这个基础概念导致所有关于运动学和动力学的数学模型最终都可以写成二阶微分方程的形式。

基于这个假设，如果用字母g表示加速度，那么，我们似乎可以设想：物体下落的路程s就是加速度g和时间t的函数，这样，我们就可以把这个函数写成

s=f（g，t） （1）

在今天看来，得到这个结论是那样的简单，是那样的合情合理。但在伽利略时代，问题却要复杂得多。这是因为，为了使得这个式子成立还需要一个前提，那就是：物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。这个前提可能成立吗？事实上，关于这个问题的答案，在物理学界曾经引起过很大的争论，这个争论一直影响到今天。争论的起因在于伽利略写在那本书里的一段话②：

亚里士多德宣称在同一介质中重量不同的物体以与其重量成比例的速度前进，因为迄今为止，亚里士多德所说的运动是依赖于重量的。

争论的焦点是伽利略是否误解了亚里士多德的观点，也就是说，亚里士多德的原意是不是像伽利略上面所说的那样。大部分学者认为，伽利略正确地理解了亚里士多德的观点③。但笔者仔细阅读了亚里士多德的原文，得到的结论是：伽利略在很大程度上误解了亚里士多德。伽利略所说的“亚里士多德宣称”的那段话出现在亚里士多德所著《物理学》第216页中。这段话很难翻译，笔者请东北师范大学历史文化学院的张强教授参照古希腊文、古拉丁文以及英文翻译如下④：

因此，关于运动是如何受其所在介质的影响，可以得到如下结论：运动的不同取决于物体本身。我们看到，有较大动能⑤——重的向下，轻的向上——的物体（假如它们的形状相同）在相同距离内会运行得更快，而且其速度比等同于质量比。但认为穿过虚空的情况亦然，这是不可能的。那么，是什么原因导致更快的运动呢？在充满介质之中，必然是因为动能大的物体穿过介质的速度更快。其速度或取决于物体的形状，或取决于自然运动或者被动运动的物体所具有的动能。因此，在虚空中所有物体的速度是相同的，但这是不可能的。

所以，如果有虚空存在，那么，我们推出的结论恰好与主张有虚空存在的那些人所持的立论依据相反。……通过上面的分析可知，不存在可以分离的虚空。

通观原文的前后意思，亚里士多德在这里要讨论问题的核心是“虚空是否存在”。亚里士多德认为虚空是不存在的，即空间不可能分离出一块是虚空的，一块是有介质的。论据就是物体下落的速度不同，这个速度与物体的形状和质量有关，这就是因为介质存在的缘故。因此他得到结论：只有在虚空中物体的速度才可能相等，但这是不可能的。这样，亚里士多德就认为自己证明了“虚空不存在”。由此可见，亚里士多德只是通过物体运动速度的不同来阐述虚空的不存在，而不是专门论述物体运动速度的问题。通过上面的分析可以知道，亚里士多德所说的反命题是：如果虚空存在，在虚空中物体的速度是相等的。事实上，伽利略得到的结论与亚里士多德的反命题是一致的。至于亚里士多德所说的“其速度比等同于质量比”，正如伽利略用较大篇幅论证的那样：亚里士多德并没有为此做过实验。

毫无疑问，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关，比如，因为空气阻力的原因，人们总不会认为在现实世界中鸡毛与铅球的下落速度是一样的。因此，关于这个问题的完整思路应当是这样的：只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计；如果这个条件成立，物体下落的速度与物体的形状以及与物体的质量无关，因此（1）式成立。

如果物体的下落速度与物体的形状以及物体的质量无关，我们称这个物体为自由落体。对于自由落体，根据我们在前面叙述过的伽利略关于正比例关系的假设，加速度g意味着：下落1秒时的速度为g，下落2秒时的速度为2g，……，下落t秒时的速度为tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度为v=tg/2。这样就可以得到（1）式的具体表达式，即由路程=速度×时间，可以得到自由落体运动路程模型为

在上面的证明过程中，虽然伽利略用了很大篇幅讨论了为什么“三角形ABC”应当等于“物体下落的距离”，但总是让人感觉到他的解释有些牵强附会。笔者想，这个牵强附会是可以理解的，因为在伽利略的时代微积分还没有被发明出来。可以看到，伽利略的直观能力非常强，事实上，在他的直观解释中已经说出了积分的核心思想。笔者尝试用现代语言述说伽利略的思考⑥：图1中的垂直线段AB上的点表示的是物体下落过程中的时刻；每一条一段在AB上的横线，表示的是那个时刻物体的下落速度；因为是匀加速运动，所以线段的另一端都必然在线段AC上。下面考虑下落速度为a时的一个非常微小的时间段△t，那么通过的距离应当为：△t×a，即是一个小矩形的面积。我们把时间段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面积看成所有这样的小矩形的面积相加得到的，于是就得到结论：“三角形ABC”的面积等于“物体下落的距离”。可以看到，这个证明思路完全是微积分的想法。由此也可见想象，从伽利略的时代开始，微积分的出现是必然的，只是时间早晚的事情。

无论如何，上面的所有述说仅仅是一些逻辑思考而已，因此，所有的结论正确与否都必须得到经验的验证，就像爱因斯坦所说的那样：一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。那么，应当如何设计实验来验证这个结果呢？许多书中都讲到伽利略利用比萨斜塔安排了他的试验，这样的述说故事性很强，但不可信，因为自由落体的速度太快，在那个没有钟表的时代（我们在第二讲中曾经谈到，钟表是在伽利略发现单摆的等时性以后才由惠更斯发明的），不可能进行精确的数据记录，进而根据数据进行验证。事实上，伽利略的试验是在斜面上进行的。

首先，伽利略在那本书的定理3中证明了这样的结论：同样的高度、同样的重物沿垂直和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比，这就说明可以利用斜面来进行自由落体的试验。然后，伽利略用一块12码长的木板，在中间划出1英寸宽的光滑的沟槽，让一个光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。他试验了不同的斜度，又试验了不同长度的木板，先后100多次的试验结果均显示：黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似成正比例关系。在试验过程中，为了解决度量时间的问题，伽利略利用水通过一个管子留到杯中的流量进行时间度量。之所以可以这样度量的理由是：物体下落的时间与杯中水的重量成正比例关系。这样，伽利略自由落体实验的结论就是用“秤”称出来的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被称为“重力加速度”，我们将在下一个话题专门讨论这个非常重要的量。在上面的讨论中，我们无区别地使用了“重量”和“质量”这样的名称，事实上，这两个名称之间是有区别的。在下面的讨论中将会看到，有了重力加速度这个概念之后，就可以讨论这两个名词之间的区别了，这个区别就在于引力的作用。

（栏目编辑 廖伯琴）