关于解三角形问题的思考

何旦

摘    要： 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，可以解决各种类型的三角形问题。在解三角形的过程中，两个定理同时使用的情况屡见不鲜。所以，学生如何正确地使用两个定理是教师课堂教学中的难点。定理使用不正确，有时会导致问题的复杂化，甚至产生错解。

关键词： 解三角形    正弦定理    余弦定理

在学习解三角形的内容中，我们学到最重要的两个工具——正弦定理和余弦定理，并且归纳出正弦定理和余弦定理的使用情况。目的是让学生能够更准确地使用两个定理，但是一旦根据条件解出一个条件之后，再利用什么定理求解，教师并没有特别强调。所以在学生完成作业的过程中出现了这样一个问题：

已知a=2，b=1+■，c=60°，求c，∠A，∠B.

正解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵cosA=■=■=■

∴∠A=45°

∠B=180°-45°-60°=75°

错解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵■=■

∴■=■

∴sinB=■

∵0°

∴∠B=75°或105°

当∠B=75°时，∠A=45°

当∠B=105°时，∠A=15°

∵b>c

∴∠B>∠C

∴两解均可

起初看到这样的求解，觉得是计算错误，才会出现这样的情况。后来经过验算发现，从公式运用到推理说明都没有任何问题。先求出边c后运用正弦定理先求角B的度数，然后用“大边对大角”的方法进行检验。只是这个检验不能删去多余的错误结果。

如果换个做法，求出边c后还是用正弦定理先求角A的度数，那么也能舍去一解，从而得到正确答案。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∵a

∴∠A<∠C

∴∠A=45°

∴∠A=75°

这样的问题说明：解三角形的问题在正弦定理和余弦定理都能用的情况下，如果没有选择正确，就会影响问题解决的速度和运算的难易程度，甚至会产生错误的结果。同样还有一例，也有类似的情况。

已知AB=6，BC=2■，∠C=60°，求AC.

分析已知件属于“两边一对角”，首先选用正弦定理解决。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∴AB>BC

∴∠C>∠A

∴∠A=45°

∴∠B=180°-45°-60°=75°

接下来求AC边的长，又有方案1。

方案一使用正弦定理

∵■=■

∴■=■

∴AC=■+3■

根据这两个例子求解的过程，可以注意到在解决解三角形问题时，如果已知条件多，正弦和余弦定理均可以使用时要注意正确地取舍。特别地，如三边已求出要求角，就要用余弦定理解决，可以回避解出两个解的可能，省去检验的过程，防止错解产生;如三个角已求出要求边长，就要用正弦定理，可以省去开根号运算的麻烦，从而提高解题速度。