局部波动特征分解及其在齿轮包络分析中的应用

张 亢，吴家腾，廖力达

（长沙理工大学能源与动力工程学院，湖南 长沙410076）

局部波动特征分解及其在齿轮包络分析中的应用

张 亢，吴家腾，廖力达

（长沙理工大学能源与动力工程学院，湖南 长沙410076）

提出了一种新的自适应非平稳信号分析方法——局部波动特征分解（Local Oscillatory-Characteristic Decomposition，LOD），该方法以信号本身的时间尺度特征为基础，并采用微分、坐标域变换、分段线性变换等运算手段将信号分解为一系列瞬时频率具有物理意义的单一波动分量（Mono-Oscillatory Component，MOC），非常适合于处理多分量信号。在详细说明 LOD分解原理的基础上，通过对仿真信号的分析将 LOD和经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）进行了对比，结果表明了LOD的优越性。同时，针对多分量调制的齿轮故障振动信号在包络分析中的特点，将LOD应用于齿轮故障振动信号的分析，对齿轮实验信号和实际信号的分析结果表明，LOD可以有效地应用于齿轮的包络分析。

故障诊断；齿轮；时间尺度特征；局部波动特征分解；包络分析

引 言

齿轮故障诊断的关键是从齿轮故障振动信号中提取故障特征，而当齿轮发生故障时，其振动信号表现为以啮合频率及其谐波为载波，故障齿轮转频为调制频率的多分 量调制特 征［1-2］。要从 此类 信 号中提取故障特征，需要对其进行解调，包络分析是目前常用的解调方法。然而，在传统的包络分析中，由于齿轮故障振动信号的载波频率和调制范围难以确定，因此带通滤波时，滤波器的中心频率和带宽的选择具有很大的主观性。对此，采用一种信号分解方法先分解出齿轮故障振动信号的各种频率成分，再进行包络分析，是合理的思路。

目前，小波变换、经验模态分解、局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）等方法，常被用于各类信号的分解［3-7］。其中，小波变换最大的缺陷是缺乏自适应性，体现在分解过程中基函数和时频结构是固定不变的；EMD和LMD都是以信号本身的时间尺度特征为基础的自适应信号分解方法，能将信号分解为若干个固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）或乘积函数（Product Function，PF），不需要任何的先验知识，每一个IMF或PF都代表了原信号的一种时间尺度特征。只是对于这两种分解方法具体所采用的运算手段不同，而在实际中，正是由于运算手段本身的某些固有缺陷，导致了无法对多分量信号进行快速准确地分解，如EMD中利用三次样条函数插值形成包络线而导致过包络、欠包络和产生虚假分量的问题，LMD中通过平滑迭代得到均值函数和包络函数导致计算量大、采用解调方式得到纯调频信号可能导致信号局部突变的问题等，这些问题仍然处在研究当中［8-12］。

在借鉴EMD和LMD的自适应分解思路的基础上，提出了一种新的自适应信号分解方法——局部波动特征分解，该方法具体运用了微分、坐标域变换和分段线性变换等运算手段，能够自适应地、快速地将一个复杂信号分解为一系列单一波动分量之和，在理论上具有分解结果稳定、计算效率高、实时性强的特点。利用LOD对具有非平稳、多分量特点的齿轮故障振动信号进行自适应分解，可以为后续准确的包络分析打下基础。本文在提出LOD方法的基础上，通过仿真信号将LOD与EMD进行了对比分析，结果表明LOD在运算时间、端点效应等方面要优于EMD，更加适合于实时在线分析，同时将LOD应用于齿轮的包络分析，对齿轮实验信号和实际信号的分析结果表明，该方法可以有效地应用于齿轮的包络分析。

1 局部波动特征分解

LOD沿用了EMD和LMD的基本思路，即根据信号本身的局部波动特征对信号进行自适应分解，得到一系列瞬时频率具有物理意义的单分量信号。具体的LOD算法包含了3种基本运算：①微分运算。即对原始信号进行微分，然后从微分信号获得原信号的初始均值函数，由于微分能放大信号的局部波动特征，从而可以使分解结果更加真实地反映原信号的局部波动特征；②坐标域变换运算。即将原始信号的坐标通过预先定义的变换式从原数据域变换到锯齿域，继而在锯齿域进行每一步迭代，由于在锯齿域改变了信号不同位置的数据点的稀疏程度，从而可以减小算法的分解误差；③分段线性变换运算。即以相邻极值点之间的数据为一段对原信号进行分段线性变换，同时以分段线性变换计算均值曲线，这样大大提高了LOD算法的计算效率与实时处理性。采用LOD自适应地将一个信号分解为若干个分量信号，因为每个分量信号理论上代表了一种波动形式，所以将其称为单一波动分量MOC。LOD的具体分解步骤如下：

1）找到信号x（t）的所有极值Xk，k=1，2，…，M及其对应的时刻值τk，k=1，2，…，M，在任意两个相邻极值点 ［Xk，Xk+1）之间对x（t）进行线性变换，得到分段线性函数s1（t），线性变换式为

为了减小算法的分解误差，定义锯齿变换函数，将原数据域坐标（t，x）转换成锯齿域坐标（u，s），变换公式为

图1为某信号的坐标变换示意图，图中实线为原数据域曲线，实心点为其采样点；虚线为锯齿域曲线，空心点为其采样点。可以看出变换式（2）和（3）并不会改变信号的幅值（纵坐标），只是对时间轴（横坐标）进行了压缩或扩展，实际效果是：在不改变信号数据点数量的情况下，增大了信号极值点附近的数据点密度，而减小了信号其他位置的数据点密度，这样可以在不影响算法运算时间与空间的情况下获得信号极值点处更加精确的信息，这对以信号极值点信息为分解基础的LOD来说可以提高其分解精度。

另外，值得说明的是锯齿域变换不会改变信号局部极值点的坐标位置和稀疏程度，而局部极值点的位置和稀疏程度决定了信号的频率特征，因此，锯齿域变换理论上不会改变原信号的频率特征，也不会引入虚假频率特征。

图1 信号变换示意图（实线：数据域信号x（t）；虚线：锯齿域信号s（u））Fig.1 Schematic diagram of the signal transformation （solid line：data domain signal x（t），dotted line：sawtooth domain signal s（u））

2）对x（t）求微分得到x＇（t），找到x＇（t）的极值所对应的时刻值τk′，k=1，2，…，N，并找出原始信号x（t）中对应于时刻值τk′的函数值Xk′，k=1，2，…，N，然后在锯齿域利用线性变换将Xk′，k=1，2，…，N线性连接得到m1（u）。m1（u）实际上就是均值函数（即低频成分），线性变换式如下

引入微分运算的说明：假设某信号x（t）由两种成分组成，表达如下

式中A1，A2为幅值，频率f1＞f2，那么为振幅比。

对x（t）进行微分运算后得

3）将原始信号的锯齿域函数s1（u）减去锯齿域均值函数m1（u），得到c1（u）。c1（u）为一高频波动函数

4）利用反变换将c1（u）的坐标从锯齿域还原到原数据域c1（t），即

理想地，如果c1（t）为一个瞬时频率具有物理意义的单分量信号，则c1（t）为x（t）的第1个MOC分量MOC1（t）；

5）如果c1（t）不是一个瞬时频率具有物理意义的单分量信号，则将c1（t）作为原始信号重复步骤1）～4），循环m次，直至得到瞬时频率具有物理意义的单分量信号cm（t）。cm（t）即为信号x（t）的第一个分量MOC1（t）。

6）将MOC1（t）从x（t）中分离出来，得到一个新的信号r1（t），将r1（t）作为原始数据重复步骤1）～5），重复循环n次，直到rn（t）为一单调函数为止。这样便可以将x（t）分解为n个MOC分量和一个余量rn（t）之和，即x（t）=+rn（t）。

从上述迭代分解过程可以看出，LOD是基于信号本身的局部波动特征的，即是自适应的；另外LOD是基于线性变换的，且每次线性变换只需任意两个相邻极值点之间的信息，无需整个原始数据的信息，因此，LOD算法计算效率高，具有较强的实时处理性。而对于LOD的分解结果MOC分量，由于分解过程中不但保证了相邻极值点间的单调性，而且迭代过程中采用了减去均值曲线的方式，也就保证了其包络的局部对称性，因此，理论上MOC分量是满足瞬时频率具有物理意义的条件的［5，7］。

2 仿真信号分析

考察如下所示的仿真信号x（t）

x（t）由3个正弦分量组成，其时域波形和组成分量波形如图2所示。

图2 仿真信号x（t）的波形Fig.2 Waveform of the simulation signal x（t）

在LOD中，首先需要确定信号局部极值点，然而信号两端点有可能既不是极大值点，也不是极小值点，因此，LOD和EMD一样，需要对端点进行处理。

采用自 适应 波形匹配 延 拓 法［14］对仿真信 号x（t）进行延拓，以减小端点效应。对延拓后的信号分别采用LOD和EMD进行分解，分解过程中采用标准差（Standard Deviation，SD）判据［5］作为迭代终止条件，即通过计算连续两次迭代结果的标准差值，并与预先确定的阈值进行比较，以此决定迭代的终止点。此次分解，LOD和EMD都设定SD＜0.3作为迭代终止条件，x（t）的LOD分解结果如图3所示，共得到了3个MOC分量和1个余量，3个MOC分量很好地对应了仿真信号x（t）的3个组成分量，每一个MOC分量都具有物理意义，说明了LOD的自适应分解特性；从图4的EMD分解结果可以看＞出，各个IMF分量也较好地对应了仿真信号的组成分量，但对比图3和4可以看出LOD分解的余量的幅值要小于EMD的，说明此次LOD分解的整体效果要优于EMD。

图3 LOD分解结果Fig.3 Results of the LOD decomposition

图4 EMD分解结果Fig.4 Results of the EMD decomposition

另外，为了比较LOD和EMD算法的计算效率，将两种算法在同一台计算机上各运行了50次，LOD和EMD算法得到前3个分量的平均运行时间分别为=0.381 s和=4.719 s，两者相差了12倍。以上说明，在相同迭代终止条件下，与EMD相比，LOD在计算效率方面较EMD有了大的提高，对于数据量大的信号，这种优势会更加凸显。

3 在齿轮故障诊断中的应用

当齿轮发生故障时，其振动信号一般为多分量的调制信号，要提取故障特征需要对其进行解调，包络分析是目前常用的解调方式，但运用包络分析首先需要将多分量的调制信号分解为单分量信号。由于LOD的本质是将多分量信号自适应地分解为若干个单分量信号，因此本文首先采用LOD将齿轮故障振动信号分解为若干个单分量（即MOC分量）信号，然后利用Hilbert变换对包含故障信息的MOC分量进行包络分析，得到Hilbert包络谱，从而提取齿轮故障振动信号的故障特征。

3.1 实验信号分析

在图5所示的旋转机械故障实验台上进行齿轮断齿故障实验。实验用的主动齿轮和从动齿轮均是模数为2.5 mm，齿数为37的标准直齿轮，通过激光切割切掉从动齿轮上的一个齿来模拟断齿故障，信号采集设备为比利时LMS公司的40通道振动和噪声数据采集系统。实验时输入轴转频fr= 7 Hz，即啮合频率fs=259 Hz。图6为采集到的断齿齿轮振动加速度信号的时域波形，采样频率为1 024 Hz。

图5 旋转机械故障实验台Fig.5 Rotating machinery fault test rig

图6 齿轮断齿故障振动信号Fig.6 Fault vibration signal of the broken teeth gear

对图6所示的断齿齿轮振动信号进行LOD分解，共得到9个MOC分量和1个余量，限于篇幅列出了前5个MOC分量的时域波形如图7所示，可以看出信号从高频到低频得到了自适应的分解。进一步进行包络分析，由于信号采样频率为1 024 Hz，即最大分析频率为512 Hz，因此，该齿轮振动信号中，只包含1个以啮合频率为中心的频率分量，对应着第1个MOC分量MOC1（t）。对MOC1（t）进行Hilbert变换，得到Hilbert包络谱如图8所示，可以看出，在转频fr=7 Hz处存在明显谱线，可以判断该齿轮存在局部故障，与实际情况相吻合。图9和图10分别是采用EMD分解断齿齿轮故障振动信号的前5个IMF分量的时域波形图以及第1个IMF分量的Hilbert包络谱，可以看出EMD的分解效果较好，且Hilbert包络谱也能提取出故障特征，但统计LOD和EMD得到前5个分量的_平均运算时间（运行50次）分别为=0.049 s和=0.263 s，表明LOD更加适合应用于实时在线分析。

另外，引入正交索引（Index of Orthogonality，IO）［5］评价分解结果的正交性，表达式如下

式中 当为LOD分解时，ci（t）和cj（t）代表MOC分量；当为EMD分解时，ci（t）和cj（t）代表IMF分量，i，j=k+1时，表示分解得到的余量。理论上分解结果正交性越好，则IO越接近于0。本次LOD 和EMD分解结果的IO分别为0.086 3和0.145 7，说明本次LOD的分解结果的正交性要优于EMD的。

将同型号的正常齿轮替换断齿齿轮，并在同样的工况下进行实验。图11是采集到的正常齿轮振动加速度信号的时域波形，按照前面同样的方式，对其进行基于LOD的Hilbert包络谱分析，其中第1 个MOC分量MOC1（t）的时域波形，以及Hilbert包络谱分别如图12和13所示。可以看出，在转动频率fr=7 Hz及其倍频处均无明显的谱线，与实际情况相符，验证了方法的有效性。

图7 LOD分解结果Fig.7 Results of the LOD decomposition

图8 第1个MOC分量的Hilbert包络谱Fig.8 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

3.2 实际信号分析

如图14是岳阳鹰山石油化工公司的凉水塔风机齿轮箱结构示意图，图中齿轮1，2，3，4的齿数分别为11，31，25，53；转轴Ⅰ的转速n1=980 r/ min，转轴Ⅰ、转轴Ⅱ、转轴Ⅲ的转频分别为fⅠ≈16.3 Hz，fⅡ≈5.8 Hz，fⅢ≈2.5 Hz。2003年6月24日，在线监测系统发现该齿轮箱振动异常，振动加速度的最大值偏大较多，在停机检修中发现该齿轮箱的4个齿轮都发生了不同程度的磨损和齿面胶合问题，齿轮1和齿轮2的磨损情况尤为严重。为了验证基于LOD的Hilbert包络谱的有效性，将其运用于当日测得的一段振动加速度信号的分析。该信号的时域波形如图15所示，其采样频率为1 024 Hz，采样长度1 024点。首先采用LOD进行分解，迭代终止条件取SD＜0.5，得到的前5个MOC分量如图16所示。进一步对各个MOC分量进行Hilbert包络谱分析，其中前3个MOC分量的Hilbert包络谱分别如图17～19所示。从图17中可以看出，在转频fⅠ的2倍频处存在幅值很大的谱线；在图18中，在转频fⅠ的1，2，3，4倍频处以及转频fⅡ的1，2倍频处都存在明显的谱线；在图19中，在转频fⅡ的2倍频处以及转频fⅢ的1，2倍频处存在谱线，根据上述谱线分布情况和谱线幅值大小可以判定齿轮箱3根轴上的齿轮都存在一定的故障，且以齿轮1和齿轮2的故障程度更为严重，而齿轮3和齿轮4的故障程度较轻，这与实际开箱检查的情况相符，验证了LOD方法的有效性。

图9 EMD分解结果Fig.9 Results of the EMD decomposition

图10 第1个IMF分量的Hilbert包络谱Fig.10 Hilbert envelope spectrum of the first IMF

图11 正常齿轮振动信号Fig.11 Normal gear vibration signal

图12 正常齿轮振动信号的第1个MOC分量Fig.12 The first MOC of normal gear vibration signal

图13 第1个MOC分量的Hilbert包络谱Fig.13 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

为了验证MOC分量的瞬时频率是否具有物理意义，也即是否为单分量信号，根据文献［5］中提出的判断信号是否为单分量信号的充分条件予以验证。表1列出了图16中前3个MOC分量的极值点和过零点数目，可以看出最多相差了30，另外3 个MOC分量的包络均值也不等于0。这主要是对于机械故障振动信号这类复杂信号（与简单的仿真信号对比），由于受到非线性干扰、包络估计误差、端点效应、迭代终止条件等因素的影响，一般很难满足Huang N E提出的理论条件，在EMD中也存在该问题。不过虽不能得到严格的单分量信号，但一般能得到接近单分量信号的结果，对于工程分析来说已能满足需求，这从本文风机齿轮箱振动信号的LOD分析结果可以看出。

图14 风机齿轮箱结构示意图Fig.14 Fan gearbox structure schematic diagram

图15 风机齿轮箱振动信号Fig.15 Fan gearbox vibration signal

图16 风机齿轮箱振动信号的LOD分解结果Fig.16 LOD decomposition results of the fan gearbox vibration signal

图17 第1个MOC分量的Hilbert包络谱Fig.17 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

图18 第2个MOC分量的Hilbert包络谱Fig.18 Hilbert envelope spectrum of the second MOC

图19 第3个MOC分量的Hilbert包络谱Fig.19 Hilbert envelope spectrum of the third MOC

表1 极值点和过零点数目Tab.1 The number of extrema and zero-crossings

4 结 论

根据EMD和LMD方法的思路，提出了一种新的自适应非平稳信号分解方法——局部波动特征分解，通过仿真信号将LOD与EMD进行了对比分析，同时将LOD应用于齿轮的包络分析，得出了以下结论：

（1）LOD算法效率高，分解时间短。在LOD算法中采用了分段线性变换的方式，即每次只需知道信号任意两个相邻极值点之间的信息，所以在同一时刻，可以并行处理不同“段”的信号，而EMD必须知道信号所有的信息后才能进行处理；另外，LOD通过线性变换获得均值函数，避免了EMD采用三次样条线形成上、下包络线，以包络平均线作为均值函数，这样大大减少了计算量。因此，相比于EMD，LOD具有更高的计算效率，更有利于信号的实时在线分析。

（2）针对齿轮故障振动信号的多分量调制特点，采用LOD对齿轮实验信号和实际信号进行了分析，并与EMD分解结果进行了对比，结果表明基于LOD的Hilbert包络谱可以有效地提取齿轮故障振动信号的故障特征，并且效果优于EMD方法。

LOD方法拥有一些优点，但作为一种新提出的方法，要得到广泛应用，还有一些理论问题需要研究和完善，如MOC的单分量性质的严格证明、LOD的分解能力、微分运算对调制信号的影响等。随着这些问题的深入研究，LOD将得到更广泛的应用。

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Local oscillatory-characteristic decomposition and its application to gear envelope analysis

ZHANG Kang，WU Jia-teng，LIAO Li-da
（School of Energy and Power Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China）

A new self-adaptive nonstationary signal analysis method named local oscillatory-characteristic decomposition（LOD）is proposed.This method is based on time-scale characteristics of signal itself，and it uses kinds of operations such as differential，coordinates domain transformation and piecewise linear transformation to decompose the signal into a series of mono-oscillatory components（MOC）whose instantaneous frequency has physical meanings，and thus especially suitable for multi-component signal processing.On the basis of illustrating the decomposition principle of LOD in detail，the LOD is compared with the empirical mode decomposition（EMD）by analyzing the simulated signal.The results show the advantages of LOD.Meanwhile，taking account of the characteristics of multi-component modulated gear fault vibration signal in envelope analysis，the LOD is applied to the gear fault vibration signals analysis.The analytical results from experimental gear signal and actual gear signal demonstrate that the LOD apply to gear envelope analysis effectively.

fault diagnosis；gear；time-scale characteristic；local oscillatory-characteristic decomposition；envelope anslysis

TH165+.3；TN911.7

A

1004-4523（2015）05-0846-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.21

张亢（1983—），男，讲师。电话：13786161238；E-mail：zhangkang513@163.com

2014-05-09；

：2014-12-29

国家自然科学基金资助项目（51305046）；能源高效清洁利用湖南省高校重点实验室开放基金资助项目（2013NGQ007）