基于改进数学形态谱的齿轮箱轴承故障特征提取

高洪波，刘 杰，李允公

（1.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳110819；2.辽宁省交通高等专科学校机电工程系，辽宁 沈阳110122）

基于改进数学形态谱的齿轮箱轴承故障特征提取

高洪波1，2，刘 杰1，李允公1

（1.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳110819；2.辽宁省交通高等专科学校机电工程系，辽宁 沈阳110122）

特征提取是实现故障模式识别的关键环节。针对传统数学形态谱在计算速度及故障模式区分能力上的不足，将数学形态腐蚀运算引入到形态谱计算中，提出一种基于改进数学形态谱的特征提取方法，该方法可以表征信号不同分析尺度下的形态特征，进而区分信号所反映的运行状态。引入仿真信号对该方法的有效性进行对比验证，结果表明：与传统数学形态谱相比，改进的数学形态谱可以有效地区分机械设备的不同故障状态，稳定性强、计算速度更快。在此基础上对不同参数的影响效果进行了分析。最后，采用实测滚动轴承振动信号验证了该方法在实际工程应用中的有效性。

故障诊断；齿轮箱；滚动轴承；特征提取；数学形态谱

引 言

齿轮箱是机械设备中一种必不可少的连接和传递动力的通用零部件，广泛应用于航空、电力、农业、运输等领域，滚动轴承是齿轮箱这一旋转机械的基本组成部件，在正常工作条件下，由于受到载荷、安装、润滑条件等因素的影响，滚动轴承难免会发生各种类型的失效，直接影响到与之相关联的轴以及安装在转轴上的齿轮的运行状态，甚至会降低整台机器设备的性能，据不完全统计，旋转机械故障中有30%是由滚动轴承引起的［1］。因此，轴承故障的监测与诊断一直是机械故障诊断领域中的研究热点。

滚动轴承振动信号具有典型的非平稳、非线性特征，如何从振动信号中提取出全面准确反映轴承运行状态的故障特征至关重要［2］，较为常用的方法包 括时 域 特征 特 征提 取 法［3-4］、频域 特 征提 取法［5］以及时频域特征提取法［6］等。随着研究的不断深入，EMD分 解［7］、信 息 熵［8-9］、形态分形［10］等 理 论 也 被引入到该领域，取得了一些理想的效果。

数学形态颗粒分析是一种以数学形态学为基础的多尺度分析方法，可以描述信号在不同尺度下的形状变化 信息，易 于从不同 层次“剖 析”信 号的 本质［11-12］，广泛应用于图 像形 状和 纹理 特征 描述、图 像分割、图像复原和 图像 降噪 等领 域［13-14］，在机 械信 号的故障特征提取方面也有一些研究［15］，本文以数学形态颗粒分析为理论基础，针对数学形态谱在计算速度及状态区分上的不足，将形态腐蚀运算引入到形态谱计算中，提出一种基于改进数学形态谱的特征提取方法。构造仿真信号，对比验证该方法的优越性，并对参数选取进行了分析。最后，以实测滚动轴承振动信号验证该方法在实际工程应用中的有效性。

1 数学形态谱相关理论

1.1 数学形态颗粒分析

数学形态颗粒分析（Mathematical Morphology Particle Analysis）是一种有效处理图像粒度和形状特征的方法，主要思想是利用不同尺寸和形状的结构元素处理图像，认识并分析其内部特征。

数学形态颗粒分析定义为一系列图像Ψ= ｛ψλ｝λ≥0变 换 的集 合 ，其 中ψλ满 足 以下 条 件［11］：

（1）ψλ是单调递增的，即∀λ≥0：X⊂Y⇔ψλ（X）≤ψλ（Y）

（2）ψλ是非外延的，即∀λ≥0：ψλ（X）≤X

（3）∀λ，μ≥0，满足：ψμ（ψλ（X））=ψλ（ψμ（X））=ψmax（λ，μ）（X）

由于数学形态开运算满足以上3个条件，因此，数学形态颗粒分析均以形态开运算为基础。假设g为单位结构元素，定义gλ为尺度λ下的结构元素

式中 ⊕为数学形态膨胀运算。

则数学形态颗粒分析可定义为

式中 “°”为数学形态开运算。

1.2 数学形态谱

数学形态谱（PS，Pattern Spectrum）以数学形态颗粒分析为运算基础，是一种反应形态颗粒尺度分布的曲线。在一维信号分析中，数学形态谱可提取信号在不同尺度结构元素下形状的变化信息［16］。

假设f（n）为时域函数，g（m）为凸的结构函数。f（n）的数学形态谱可由下式计算而得

式中λ指尺度大小，A（f）表示f在定义域内的有限面积。当λ≥0时，为开运算形态谱，记为PS+（f，λ，g），当λ＜0时，为闭运算形态谱，记为PS-（f，λ，g）。因此，数学形态谱由正负两区间构成，其中正区间表示物体本身的结构信息，负区间表示其背景信息，由于二者具有一致性，所以一般对形态谱的正区间即开运算形态谱进行研究，本文中如不作特殊说明，数学形态谱均指开运算形态谱。

对于一维离散信号，尺度大小只取连续的整数值，形态谱的定义可简化为

由于形态开运算的非扩展性，离散信号的数学形态谱值为一组非负实数序列。

2 基于改进数学形态谱的特征提取

传统的数学形态颗粒分析以形态开运算为基础，笔者通过前期研究发现，传统的数学形态谱在对不同故障模式进行区分时效果较差，针对此问题，将形态腐蚀运算推广到数学形态学颗粒分析中，进而得到改进的数学形态谱（IPS，Improved Pattern Spectrum），以此为基础，提出基于改进数学形态谱的特征提取方法。

2.1 改进数学形态谱（IPS）

将形态腐蚀运算应用到数学形态颗粒分析中，得到改进的数学形态谱（IPS），计算方法如下：

假设f（n）为时域函数，g（m）为凸的结构函数。f（n）的改进的数学形态谱定义为

式中λ指尺度大小，当λ≥0时，为广义腐蚀运算形态谱，当λ＜0时，为广义膨胀运算形态谱。由于腐蚀与膨胀运算具有一致性，所以本文广义数学形态谱均指广义腐蚀运算形态谱。由于一维离散信号的尺度大小只取连续的整数值，因此，离散的广义数学形态谱可简化为

与形态开运算相比，形态腐蚀运算亦具有非扩展性特点，因此，离散信号的改进数学形态谱值为一组非负实数序列。

2.2 基于IPS的特征提取流程

以前文所计算得IPS为基础，提出一种基于IPS的特征提取方法，其计算流程如下（如图1所示）：首先确定单位结构元素以及最大分析尺度，然后对轴承振动信号进行多尺度形态腐蚀运算，得到不同尺度下的信号分析结果，根据公式（6），得到改进的数学形态谱。根据实际效果，选择不同尺度下的谱值作为特征向量。

3 仿真分析

特征提取方法的关键就是所选取的特征能否对不同的故障特征具有稳定的区分能力。本节以滚动轴承为研究对象，分析其仿真信号，对比验证基于IPS的特征提取方法的有效性与优越性。

图1 特征提取方法流程Fig.1 The process of feature extraction method

滚动轴承是旋转机械中的重要组成部件，当其在外圈、内圈和滚动体等元件上发生渐变性磨损故障或表面损伤性故障［16］时，将会产生周期性的脉冲冲击，从而引发振动信号的调制现象，表现为在共振频率周围出现等间隔的边频带，间隔即为调制频率，也即轴承的故障特征频率［17］。根据滚动轴承的运行与故障机理，建立滚动轴承仿真信号模型［18］为：

式中α，fm，fc，T分别代表滚动轴承的指数频率、调制频率、载波频率与采样间隔。在本节的仿真分析中，α=800，fc=5 000 Hz，T=1/20 000 s，采样时间为0.1 s，为了使仿真分析结果贴近实际，在仿真信号中加入适量高斯白噪声，并分别取调制频率参数fm为80，160和240 Hz，将其理解为滚动轴承内圈、外圈和滚动体元件上的某个故障频率［17］。3种不同调制频率下的仿真时域图如图2所示。

3.1 有效性对比验证

采用改进的数学形态谱方法分析仿真信号，单位结构元素选择扁平型结构元素g=［0 0 0］，最大分析尺度为λmax=20，计算其IPS曲线，结果如图3 （a）所示，其中IPS1-IPS3分别对应fm=80，160，240 Hz时的改进数学形态谱曲线。可以看出，3条曲线均随分析尺度的增大呈现单调递减趋势，在分析尺度范围内具有良好的区分度，曲线位置由高到低分别为IPS3，IPS2，IPS1。图3（b）用柱状图定量描述了3条曲线之间的差值序列，显然，在分析尺度范围内，两组差值序列均为负值，稳定性较好。通过以上分析，改进的数学形态谱对于不同调制频率的振动信号具有良好的区分能力。

图2 不同调制频率下的仿真信号时域图Fig.2 Time domain figure for simulation signal in different modulation frequency

为了进行对比，采用传统的数学形态谱按方法分析仿真信号，单位结构元素与最大分析尺度均保持不变，3个仿真信号的PS曲线如图4（a）所示，其中PS1-PS3分别对应fm=80，160，240 Hz时的数学形态谱曲线。与图3（a）对比可以看出，随着分析尺度的增大，3条PS曲线并没有一致的变化趋势，而且呈现出上下波动，区分度较差。从图4（b）所定量描述的曲线差值序列也可以看出，两组差值并非同号，从而说明传统的数学形态谱曲线并不能区分具有不同调制频率的振动信号。

表1列出了两种算法所耗用的CPU时间。试验所采用的计算机配置为Intel Core i5-2400 CPU @3.10 Hz，内存为4GB，计算机软件为Matlab R2010b。可以看出改进的数学形态谱计算方法耗时短，略低于传统方法的1/2，这是因为在传统方法中，每进行一次形态开运算，均要执行一次形态腐蚀和形态操作，而改进的方法只需执行一次形态腐蚀操作，因此耗时大大降低，更适合应用于在线诊断领域。

图3 不同特征频率的IPS曲线Fig.3 The IPS curve for different feature frequency

图4 不同特征频率的PS曲线Fig.4 The PS curve for different feature frequency

表1 两种不同算法的CPU耗时Tab.1 CPU time cost for the two different algorithm

综上所述，与传统的数学形态谱分析方法相比，本文提出的改进的数学形态谱方法对于不同调制频率的振动信号具有较好的区分能力，且稳定性强，耗时短，作为特征向量提取方法是有效的。

3.2 参数影响分析

上节的分析验证了IPS的优越性，同时也发现了单位结构元素g以及最大分析尺度λmax对IPS计算的重要性，针对此，本节分析两个参数的影响。

3.2.1 单位结构元素类型分析

图5 不同大小的三角形结构元素IPS曲线Fig.5 The IPS curve for different triangle structural elements

保持仿真信号和最大分析尺度不变，以常用的三角形结构元素和直线形结构元素为例进行对比分析。图5描述了采用不同幅值的三角形结构元素g的IPS曲线。可以看出，图5（a）在分析尺度小于11时可以进行IPS曲线的区分，而图5（b）则在分析尺度小于5时具有IPS曲线的区分度，当分析尺度大于5时，曲线基本重合，3条曲线几乎没有区分度。其原因在于三角形结构元素在计算中对信号幅值产生影响，从而引起失真。因此，三角形单位结构元素的幅值越大，IPS曲线的区分效果越来越差。

图6描述了不同大小的直线形结构元素的IPS曲线，可以看出，直线形结构元素的大小并不会影响分析效果。因此，当确定单位结构元素类型时，应选用对效果影响较小的直线形结构元素。为了减小计算量，降低结构元素幅值对信号的影响，本文所采用的扁平形结构元素g=［0 0 0］具有良好的效果。

图6 不同大小的直线形结构元素分析效果Fig.6 The analytical effect for different line structural elements

3.2.2 最大分析尺度分析

根据多尺度数学 形 态 学 的基本 原 理［19-20］，在 多尺度形态运算中，扁平形结构元素的长度及最大分析尺度两个参数对计算结果的影响效果是一致的，其本质均是影响最大尺度的结构元素长度。因此，本节重点对最大分析尺度λmax做定量分析。

图7描述了当λmax=80时的IPS曲线分布情况。可以看出，随着分析尺度的增大，IPS的变化趋势保持不变。当λ＞66时，IPS曲线进入一个“稳定区”，如图7（b）所示，此时不同尺度的形态腐蚀运算相同，IPS取值不再发生变化。因此，为了增强特征提取的有效性，λmax的选取应该避免进入“稳定区”。为了减小计算量而又不失一般性，本文均选取λmax=20。

4 实测轴承信号分析

利用美国Case Western Reserve University［21］的轴承数据进行实例验证。该试验台包含0，0.746，1.492，2.238 k W共4种载荷状态下正常、内环故障、外环故障和滚动体故障4种运行状态。试验轴承型号为SKF 6205，采样频率为12 000 Hz，故障为直径7″的微小坑点。选用其中0.746 k W载荷下的4种运行状态数据进行分析，每种运行状态数据下采集6组样本，每组样本长度为12 000，每种运行状态下的时域波形如图8所示。

采用基于IPS的特征提取方法对实测样本进行分析，单位结构元素为g=［0，0，0］，最大分析尺度λmax=20。图9显示了24组样本的IPS曲线分布情况。可以看出，不同运行状态的样本组之间具有良好的区分性。

图8 4种滚动轴承运行状态信号Fig.8 Four kinds of running state signals for rolling bearings

图9 24组测试样本的IPS曲线分布Fig.9 The IPS curve distribution for 24 groups of testing samples

图10为其中一组典型样本的IPS曲线。随着分析尺度的增大，幅值逐渐减小，形态谱曲线呈现递减趋势。在分析尺度区间内，外圈故障曲线取值最大，内圈故障次之，正常状态取值最小。相对而言，正常状态与滚动体故障的区分度较小。与图11所示的传统数学形态谱方法相比，该方法具有明显的优越性。

图10 典型测试样本的IPS曲线Fig.10 The IPS curve for typical testing samples

图11 典型测试样本的PS曲线Fig.11 The PS curve for typical testing samples

在前文分析的基础上，以不同尺度的IPS值组成各个运行状态的19维特征向量，可将其运用于故障分类与模式识别中。以此方法对CWRU数据库中其他载荷和采样频率下的轴承数据进行分析，均可以得到类似的效果，此处不再赘述。

5 结 论

本文在数学形态学颗粒分析的理论基础上，对形态算子进行改进，得出一种改进数学形态谱的特征提取方法。本文的研究结果表明：

（1）与数学形态开运算相比，形态腐蚀运算具有不同的运算特性，因此改进的数学形态谱分析方法可以表征信号不同分析尺度下的形态特征，从而使得IPS在对设备的状态描述上具有更好的效果。

（2）改进的数学形态谱能够较好地区分滚动轴承不同的运行状态，由于方法所涉及的参数较少，所以稳定性较好。

（3）由于形态学运算只涉及简单的加减运算，改进的数学形态谱计算方法中的循环迭代规则亦能够快速收敛，因此笔者提出的特征提取方法计算代价小、效率高，可满足实际工程需要。

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图7 最大分析尺度的影响效果
Fig.7 Impact effect of the biggest analytical scale

Fault feature extraction for gearbox bearing using improved pattern spectrum

GAO Hong-bo1，2，LIU Jie1，LI Yun-gong1
（1.School of Mechanical Engineering&Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，China；2.Department of Electromechanical Engineering，Liaoning Provincial College of Communications，Shenyang 110122，China）

Feature extraction is the key point in fault diagnosis.In consideration of the disadvantages in calculating speed and faults diagnosis capability of traditional pattern spectrum，the morphological corrosion operation is brought in pattern spectrum analysis and a feature extraction approach based on the improved pattern spectrum is proposed in this paper，which can describe the signal′s morphological feature in different analysis scales，and further different working condition contained in the signal. Simulation results show that the proposed approach can distinguish different fault condition for mechanical equipment effectively，which has strong stability and fast calculating speed.On this basis，the influence of different parameters is also discussed. At last，the approach is applied to a rolling bearing data analysis which verifies its validity and feasibility.

fault diagnosis；gear box；rolling bearing；feature extraction；pattern spectrum

TH165+.3；TH133.33

A

：1004-4523（2015）05-0831-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.019

高洪波（1978—），女，博士研究生。电话：13889396719；E-mail：gaohongbo97@163.com

2014-08-06；

2015-01-09

国家自然科学基金资助项目（51275080）