非均质土体中群桩纵向振动的内外域模型解

刘林超，闫启方，陈晴晴

（信阳师范学院土木工程学院，河南信阳464000）

非均质土体中群桩纵向振动的内外域模型解

刘林超，闫启方，陈晴晴

（信阳师范学院土木工程学院，河南信阳464000）

考虑土体沿径向的非均质特性，将桩周土体分为内域土和外域土两部分。基于Novak薄层法分别求解了内域土和外域土的竖向振动。考虑内域土和外域土接触面的连续性条件，求得了桩土竖向动力相互作用的等效Winkler弹簧-阻尼器模型的刚度系数和阻尼系数。根据土体竖向位移衰减函数和桩桩竖向动力相互作用因子的定义，考察了非均质土体的竖向位移衰减函数和非均质土体中桩桩竖向动力相互作用因子，进而研究了非均质土中群桩的竖向动力阻抗。研究表明，非均质土体的竖向位移衰减函数和非均质土中群桩的竖向振动可以退化到均质土的情形，忽略桩周土体沿径向的非均质特性将导致土体竖向位移衰减函数偏小而群桩竖向动力阻抗偏大，桩周土体内外域剪切模量比和桩间距等对群桩竖向振动有较大的影响。

土动力学；群桩；纵向振动；衰减函数；剪切模量比

引 言

桩基础在建筑工程基础、桥梁工程基础、动力机械基础、高速铁路基础等众多工程领域中有着较大的应用。由于桩基不但要承受静力荷载的作用，通常还要承受纵向、水平和扭转等各种形式动态激励的作用，同时由于地震等随机动态荷载的破坏性对建筑物桩基础性能的影响非常大，近几十年来关于桩基振动特性的研究越来越受到关注，并取得了很好的研究成果［1-6］，这些研究都是假设桩周土体为均质土，实际上这是一种理想化的情形。然而实际工程中所遇到的场地土一般都是成层非均质的，在振动中桩侧土将会发生部分弱化而使其刚度降低［7］。对于土体状态、力学性能或土工参数等随深度或径向发生变化的土体称之为非均质土，当前主要从两个方面来考虑桩周土体的非均质特性，一种是针对土体的竖向方向分层情况，如LU Shu-hui等［8］在考虑横向惯性效应的情况下研究了层状土中端承桩的动态响应，王珏等［9］通过在Winkler模型中引入描述地基土剪切效应的第二地基参数，采用初参数法和传递矩阵法得到了层状地基中邻桩的动力相互作用因子；另一种是考虑桩周土体沿径向的非均质特性，由于桩周土的弱化区域相对有限，通常在大于5倍桩径的区域后这种弱化就不十分明显了。所以，目前针对径向非均质土中桩基振动的研究时，在处理桩周土体时通常将桩周土划分为内域土和外域土来处理，在内域土剪切模量的处理方面有两种方法，一种是将内域土视为沿径向的非线性土体，如Hans Vaziri［10］和Chau K T［11］等假定桩周土剪切模量沿径向满足双曲本构关系对径向非均质土中单桩振动进行了研究；另一种是较为常用的方法就是将内域土剪切模量也视为常量来处理，如周铁桥等［12］研究了轴对称径向非均质土中桩的纵向振动特性，杨冬英等［13］在三维轴对称条件下，基于连续介质模型进行了纵、径双向非均质土中桩的纵向动力特性研究。本文将考虑桩周土体沿径向的非均质特性来研究非均质土体中群桩的纵向振动特性。

1 桩周非均质土层纵向振动求解

将图1所示的桩基周围的土介质视为由桩周弱化土组成的内域土和外围土组成的外域土两部分组成，内域土和外域土均为均质各向同性介质，且内域土的剪切模量比外域土的剪切模量小。假设桩长与土层厚度相等，都为H，桩身半径为r0，内域土半径为r1，G1和ρ1分别为外域土体的剪切模量和密度，ξ1为外域土体的粘滞阻尼系数，w1为外域土体z方向的位移分量，G2和ρ2分别为内域土体的剪切模量和密度，ξ2为内域土体的粘滞阻尼系数，w2为内域土体z方向的位移分量。将土体划分为无穷多的薄土层，当桩顶作用竖向简谐荷载时，桩周的薄土层也将作竖向稳定振动，根据Novak薄层法，假定薄土层的纵向振动互相独立，且忽略薄土层的径向位移和切向位移，仅考虑土体的竖向位移。对于桩周的外域土体和内域土体可分别建立其纵向振动控制方 程 为［14］

式中 i为虚数单位，ω为桩顶竖向简谐荷载的频率。首先求解外域土体的纵向振动，式（1）整理可得

对式（3）进行无量纲化，令νs1=则有

其中，q2=-。求解式（4）并考虑无穷远处土体的边界条件，则有

由此可得外域土体无量纲化的竖向剪切应力为

同样的，对内域土体的纵向振动方程（2）进行无量纲化，并整理可得

图1 管桩-土相互作用模型Fig.1 Interactional model of pipe pile-soil

2 非均质土-桩Winkler弹簧-阻尼器模型的系数

将非均质土与桩的动力相互作用用Winkler弹簧-阻尼器模型来描述，为此需要先求出Winkler弹簧-阻尼器模型的刚度和阻尼系数。设薄土层壁处（桩土接触面处）产生的无量纲化纵向位移为1，相应的边界条件为

考虑内域与外域接触面边界条件的连续性，有

应力即式（5），（6），（8）和（9），以及边界条件式（10）和（11），则有

由式（12）～（14）可得

由此可得非均质土-桩Winkler弹簧-阻尼器相互模型的刚度系数和阻尼系数分别为ks=Real（R），Cz=Imag（R）。

3 非均质土层的纵向位移衰减函数及桩-桩动力相互作用因子

主动桩在桩顶简谐激励的作用下，将引起桩周土体的振动，导致桩周土产生向外扩散的柱状波的传播，假定柱状波沿水平方向传播，考虑内域土和外域土的纵向位移式（16）和式（18），在Dobry R等人研究的基础上［15］，可知外域土和内域土的纵向位移的衰减函数分别为

图2 G不同时外域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（S/r0=12，r1/r0=10）Fig.2 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different G（S/r0=12，r1/r0=10）

图3 r1不同时外域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（S/r0=12，G=0.5）Fig.3 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different r1（S/r0=12，G=0.5）

图4 S/r0不同时外域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（G=0.5，r1/r0=10）Fig.4 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

图5 G不同时内域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（S/r0=6，r1/r0=10）Fig.5 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different G（S/r0=6，r1/r0=10）

图6 r1不同时内域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（S/r0=6，G=0.5）Fig.6 Vertical displacement attenuation function of outer inner soil varying with frequency for different r1（S/r0=6，G=0.5）

图7 S/r0不同时内域土纵向位移衰减函数随频率变化曲线（G=0.5，r1/r0=10）Fig.7 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

图2～4给出了外域土的纵向位移衰减函数随频率变化曲线，图5～7给出了内域土的纵向位移衰减函数随频率变化曲线。从纵向位移衰减函数随频率曲线可以看出，非均质土的纵向位移衰减可以退化到均质土的情况，随着频率的增大，无论是内域土还是外域土，其纵向位移衰减函数随频率的增大都将趋近零，这是由于频率过大时土体位移还没来得及发生反应外界激励就向相反方向作用了。从图2可以看出，均质土的纵向位移衰减函数随频率变化曲线的峰值最小，峰值对应的频率最大；随着内域土体剪切模量的增大，外域土的纵向位移随频率的衰减函数越小（如图2所示），但峰值对应的频率越大。内域土范围越大（即r1/r0越大），外域土的纵向位移随频率的衰减函数越大而峰值对应的频率也越小（如图3所示）。可见，如果忽略桩周土体沿径向的非均质特性而将土体视为均质土的话将导致纵向位移衰减函数偏小。桩间距（S/r0）对外域土的纵向位移衰减函数也有影响，桩间距（S/r0）越大纵向位移衰减函数越小，主动桩振动产生的柱状波随着桩间距的增大将逐渐衰减。内外域土体剪切模量比对内域土纵向位移衰减函数（如图5所示）的影响较外域土纵向位移衰减函数（如图2所示）要大。对于内域土，剪切模量越小时，内域土的纵向位移衰减函数随频率的变化曲线在低频范围内存在轻微的波动，这是由于内域土剪切模量较小时，其对土体的约束作用过小导致的波动。内域土体的范围对桩周土纵向位移衰减函数的影响较小（如图6所示），这是由于桩周土体的弱化主要在桩周附近大约4倍桩径范围［13］，当r1/r0小于4时，即r1/r0=3时，相互作用因子虚部随频率变化曲线峰值较大，而峰谷较小。对于内域土体，桩间距（S/r0）对内域土纵向位移衰减函数的影响很大（如图7所示），桩间距（S/r0）越大，内域土的纵向位移衰减函数越小，衰减函数随频率变化曲线的峰值对应的频率也越小。

图8 桩-桩相互作用模型Fig.8 pile-pile interaction model

为了确定图8所示非均质土体中桩桩的纵向动力相互作用因子，假定图8所示的主动桩和被动桩的几何尺寸、材料性质、半径、长度都相同，半径为r0，桩长为H，都为端承桩。忽略主动桩和被动桩的径向尺寸以轴线代替，主动桩与被动桩的轴线间距为S。主动桩在桩顶简谐激励作用下产生的振动波仅沿水平方向传播，进而引起被动桩的振动。被动桩在水平振动波作用下引起的纵向位移与主动桩纵向位移之比即为桩桩纵向动力相互作用因子。

非均质土与桩之间的动力相互作用利用Winkler弹簧-阻尼器模型来描述，其刚度系数和阻尼系数由式（20）确定。对于主动桩可建立如下无量纲化的纵向振动方程

式中yp1（）为主动桩无量纲纵向振动位移幅值，对于端承桩，主动桩上下两端无量纲化后的边界条件为

由主动桩纵向位移式（25）可以求得桩身任一点分布力，再由桩顶作用力和桩顶纵向位移可以得到单桩桩顶的竖向动态复刚度

主动桩的纵向振动将引起周围土体的纵向位移，进而引起被动桩桩周土体的动态响应，由非均质土的纵向位移衰减函数式（21）和（22）知被动桩处引起的土体纵向位移为ψ，考虑式（20）同样可以建立被动桩的无量纲纵向振动方程为

根据相互作用因子的定义考虑主动桩和被动桩桩顶纵向位移，可得非均质土中桩桩纵向动力相互作用因子的表达式为

4 非均质土中群桩竖向动力阻抗

设n×n群桩中各根桩的几何尺寸、材料属性等相同，且对称分布。忽略扭转作用的影响，仅考虑竖向轴力作用。设群桩桩顶作用有简谐荷载，无量纲化后的纵向荷载幅值设为Pq，第i根桩的轴力设为Ni，第i根桩在自身竖向轴力Ni作用下和其余n-1根桩的影响下产生的位移记为WGi（0），群桩的无量纲竖向位移记为WG（0）。考虑承台的约束作用以及承台处的平衡条件则有

由式（30）和（31）可求得群桩的竖向位移WG（0）和各单桩分担的纵向荷载Ni。考虑群桩纵向动力阻抗的定义，则有

为了便于比较，群桩纵向动力阻抗的实部和虚部同除以n2倍的单桩刚度，引入群桩的纵向动刚度和动阻尼，即

5 3×3群桩纵向动力阻抗数值分析

这里以图9所示3×3群桩为例来分析非均质土中群桩的纵向动力阻抗，这里主要考虑两种情形，一种是被动桩全部在主动桩内域的情形，一种是被动桩全部在主动桩外域的情形。对于部分被动桩在主动桩内域，部分在主动桩外域的情形，需要根据每根被动桩相对主动桩所处位置的不同，分别求出其对应的相互作用因子，然后再在求出的相对因子的基础上求解群桩动力阻抗，但计算量相对要大得多。

图9 群桩模型Fig.9 Pile group model

图10和11分别给出了内域土与外域土剪切模量比和桩间距不同时，被动桩全部在主动桩内域范围的情形；图12和13为被动桩全部在主动桩外域的情况，从图上可以看出群桩纵向动力阻抗考虑土体非均质性相对均质土的差别较大。可以看出，不论是被动桩群在主动桩内域还是外域，在低频时，非均质土中群桩纵向振动的动刚度变化不大（如图10，12所示），此时桩基类似于埋置基础，而内域土的剪切模量较外域土剪切模量较小时，也就是桩周土弱化的越明显，动阻尼随频率的变化曲线在低频时将产生波动；在高频时，内外域剪切模量比越大，动刚度和动阻尼越大，且动刚度和动阻尼随频率变化曲线峰值对应的频率越大。桩间距对非均质土中群桩纵向动力阻抗的影响如图11和13所示，桩间距对动刚度和动阻尼的影响相对较大且较为复杂，桩间距对群桩纵向动力阻抗的影响与频率有一定的关系，桩间距对群桩纵向动力阻抗的影响与均质土的情况不同［16］，在整个频率内动刚度和动阻尼随频率变化曲线没有均质土的情况平缓，且在低频时非均质土动阻尼随频率变化曲线有较大的波动。对比图10和12可以看出，内域范围r1/r0=30时相对内域范围r1/r0=3时，r1/r0=3时的情况反而更接近均质土的情形，这是因为此时桩间距较大，被动桩全部在主动桩外域范围内，由于r1/r0→1时和r1/r0→∞同样都是接近均质土的情形。而r1/r0=3相对r1/r0=30更接近均质图的情形，所以图12中非均质土和均质土的结果相对图10更接近。可见，在进行群桩设计时，忽略桩周土沿径向的非均质特性是不合适的，同时还需要综合考虑被动桩的范围和桩间距等的影响，其设计相对均质土要复杂得多。

图10 被动桩全部在内域时群桩纵向动力阻抗（S/r0= 4，r1/r0=30）Fig.10 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（S/r0= 4，r1/r0=30）

图11 被动桩全部在内域时群桩纵向动力阻抗（G= 0.5，r1/r0=30）Fig.11 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（G=0.5，r1/r0=30）

图12 被动桩全部在外域时群桩纵向动力阻抗（S/r0= 10，r1/r0=3）Fig.12 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（S/r0= 10，r1/r0=3）

图13 被动桩全部在外域时群桩纵向动力阻抗（G= 0.5，r1/r0=3）Fig.13 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（G=0.5，r1/r0=3）

6 结 论

在考虑桩周土体沿径向非均质特性的情况下，研究了非均质土体的纵向位移衰减函数，并在桩桩动力相互作用因子和桩桩叠加原理的基础上研究了非均质土中群桩的纵向振动特性。通过数值算例得到如下结论：非均质土中群桩的振动解可以退化到均质土体的情形；内外域土剪切模量比和桩间距等参量对土体纵向位移衰减函数和群桩纵向振动有较大影响；在外界频率较低的情况下，群桩的纵向振动类似于埋置基础；由于桩周土沿径向的非均质特性对土体纵向位移衰减函数和群桩纵向动力阻抗有较大影响，在实际工程应用中尽量考虑土体的非均质特性。最后，需要指出的是，文中虽然通过将桩周土划分为内域土和外域土的方法考虑了每根桩桩侧土的非均匀性，且只考虑了被动桩完全在主动桩内域或外域的特殊情况，在更复杂群桩工况的分析方面还存在着不足，与工程实际还有一定的差距，为此需要开展这方面的进一步研究。

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Solution of vertical vibration of pile groups for inner and outer regions model of heterogeneous soil

LIU Lin-chao，YAN Qi-fang，CHEN Qing-qing
（School of Civil Engineering，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China）

Considering the heterogeneous characteristics along the radial direction of the soil around the pile，the soil is divided into two regions：the inner region and the outer region.The vertical vibrations of the inner region soil and outer region soil are solved based on the Novak′s layer method，and the stiffness and damping coefficients of equivalent Winkler spring-damper model of the dynamic interaction of pile-soil is obtained by considering the inner region and outer region contact surface continuity conditions.According to the definitions of vertical displacement attenuation function and pile-pile vertical dynamic interaction factor，the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and pile-pile vertical dynamic interaction factor are investigated，and the vertical dynamic impedance of pile groups in heterogeneous soil is also analyzed.The results indicate that the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil can be degenerated into the case of homologous soil；ignoring the heterogeneity of the soil around the pile along the radial direction will result in a smaller vertical displacement attenuation function of soil and a smaller vertical dynamic impedance of pile groups.The shear modulus ratio of inner region and outer region soil，the pile spacing distance have great effects on the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil.

soil dynamics；pile groups；vertical vibration；attenuation function；shear modulus ratio

TU435；TU473.1

A

1004-4523（2015）05-0822-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.018

刘林超（1979—），男，博士，副教授。电话：（0376）6391575；E-mail：llc109@126.com

2014-04-16；

：2015-04-08

国家自然科学基金资助项目（U1504505）；河南省科技发展计划项目（112300410105，142102210063）；河南省高等学校重点科研项目（15A560036）；河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目（2013GGJS-121）；信阳师范学院重大课题预研项目（2013ZDYY19）；信阳师范学院青年科研基金资助项目（2014-QN-063）；信阳师范学院青年骨干教师资助计划（2012007）