层状场地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下三维地震响应分析

（1.天津大学土木工程系，天津300072；2.滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室（天津大学），天津300072）

层状场地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下三维地震响应分析

巴 振 宁1，2，梁 建 文1，2

（1.天津大学土木工程系，天津300072；2.滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室（天津大学），天津300072）

采用以移动斜线荷载动力格林函数为基本解的2.5维间接边界元方法求解了层状场地中凹陷地形对斜入射Rayleigh波的三维散射问题。方法将总波场分解为自由波场和散射波场，自由波场是通过将层状场地三维精确动力刚度矩阵行列式取为零形成频散方程，采用搜索迭代方法求得频散曲线，进而求得自由波场。散射波场则通过施加在凹陷表面各离散斜线单元上的虚拟移动均布斜线荷载产生的动力响应来模拟，虚拟荷载的密度可通过凹陷表面的零应力边界条件建立方程求得。通过与二维散射结果的比较验证了方法正确性，并以均匀场地和基岩上单一土层场地中凹陷地形为模型，分别在频率和时域内进行了计算分析，研究了Rayleigh波斜入射下凹陷地形周围三维散射的基本规律。研究表明凹陷地形对Rayleigh波的三维散射取决于凹陷的界面形状、斜入射角度、入射频率以及层状场地的频散和多模态特性，层状场地中存在Rayleigh的高阶模态在某些频率处的位移幅值会显著大于其他模态及均匀场地位移幅值的现象。

凹陷地形；Rayleigh波；三维散射；层状场地；格林函数

引 言

局部地形对地震动的幅值及其空间分布有着显著影响，这已在多次的强震观测和震害调查中得以证实。同时近年来在中国长大桥梁、超高大坝及高速铁路等大型重要工程不断涌现，其中许多工程位于场地条件复杂的高烈度地震区，这些工程的规划建设及抗震设防亟需精确可靠的设计地震动参数，因此研究局部地形对地震动的影响有着显著的理论意义和工程参考价值。

凹陷地形作为常见的局部地形，其对地震波的散射问题是一直是国内外学者关注的热点问题，自Trifunac［1］开创性地给出了凹陷地形对SH波的散射解析解后，诸多学者针对该问题进行了研究。现有研究包括凹陷地形对SH波的二维平面外散射［1-4］，凹陷地形对P，SV和Rayleigh波的二维平面内散射［5-14］，二维凹陷地形对斜入射地地震波的三维散射［15-19］和三维凹陷地形对地震波的散射［20-24］。

地震波包括在地球内部传播的体波（SH，P和 SV）和沿地表传播的面波。对于远场，相对于体波，面波振幅较大，波长较长，携带能量较多，是造成震害的主要原因。然而分析以上文献发现，关于凹陷地形对地震波散射的研究主要是针对体波，关于面波散射的研究非常有限，尤其是层状场地Rayleigh波的传播存在频散和多模态特性，目前鲜有研究，仅文献［6］针对层状场地中凹陷地形对Rayleigh波的二维散射给出了少量结果，关于层状场地中凹陷地形对斜入射Rayleigh波的三维散射，则至今未有研究。

针对上述问题，本文考虑天然土体成层特性，同时考虑Rayleigh波斜入射下凹陷地形的三维地震反应特性，在文献［25］给出层状场地三维精确动力刚度矩阵的基础上，推导层状半空间中移动斜线荷载动力格林影响函数，并以该格林函数为基本解，建立一种新的2.5维间接边界元方法求解了层状场地中凹下地形对斜入射Rayleigh波的三维散射。该方法的特色在于荷载可直接加在边界上而不会引起奇异性，保证了该方法的精度及对复杂边界条件的适应性，同时采用层状半空间动力格林函数，求解当中无须离散自由地表和土层交界面，最大限度降低了求解的自由度。

1 计算模型和相应公式

如图1所示，截面形状沿y轴保持不变的无限长凹陷地形位于层状半空间中。层状半空间有任意层相互平行的水平土层和下卧弹性基岩组成。入射波为Rayleigh面波，相速度速为ca，圆频率为ω，入射方向与y轴成夹角为ψ（ψ=90°为垂直入射，对应二维散射情况）。在随时间简谐变化的Rayleigh波斜入射下，由于入射方向与凹陷地形轴线不垂直，凹陷地形周围的地震反应是三维的，但该三维地震反应在凹陷地形的任意两个截面上完全相同，仅因沿y轴的位置不同而相差一个相位，因此可仅取一个截面进行离散求解，得到计算截面产生的动力响应后，其余截面产生动力响应，可依据其位置和Rayleigh波视速度，通过将计算截面动力响应偏移相应相位得到，最后将所有截面结果求和，也即沿凹陷地形轴线将所有截面动力响应积分，求得最终问题的解。

图1 层状场地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下示意图Fig.1 The model of a canyon cut in a layered half-space for obliquely incident Rayleigh waves

在具体求解时，为方便求解，将总波场分解为自由波场和散射波场。对于自由波场（无凹陷地形存在），首先通过将层状场地三维精确动力刚度矩阵取为零，建立层状场地Rayleigh波传播的频散方程，然后搜索迭代方法求得层状场地Rayleigh波频散曲线，进而求得自由波场；对于三维散射波场，为了达到仅选择一个截面进行离散求解的目的，本文通过施加在沉积边界上的一组移动斜线荷载产生的动力响应分别模拟散射波场，移动斜线荷载动力响应实际上模拟了对所有截面的计算，这种方法也被称作移动格林函数方法；移动斜线荷载的密度可通过相应边界条件求得，最后叠加自由场波场和散射波场得到总波场，便可求得层状半空间中凹陷地形对斜入射Rayleigh波的三维散射解答。

1.1 自由波场求解

由于Rayleigh波在层状场地中的传播存在频散和多模态特性，求解自由波场的关键便是求解层状场地中Rayleigh各阶模态的频散曲线。本文首先建立层状场地的三维精确动力刚度矩阵，然后令其行列式为零求得频散方程，再由搜索迭代法求得各阶模态下频率-视速度的关系曲线。为此首先介绍层状场地三维精确动力刚度矩阵。频域内位移u（x，y，z）eiωt，ν（x，y，z）eiωt和w（x，y，z）eiωt表示的动力平衡方程为

式中ω为圆频率，λ*=λ［1+2isgn（ω）ζ］和μ*=μ［1+2isgn（ω）ζ］为复Lamb常数。λ和μ为材料给的2个Lamb常数，ζ为滞洄阻尼比。U=｛u，ν，w｝T为位移向量。假定土体中标量波（纵波）和矢量波（横波）的势函数分别为φ和ψ，由Helmholtz定理，土体中的位移满足下式

将式（2）代入式（1），可求得势函数φ和ψ的表达式，将势函数ψ进一步分解成势函数ψ1和ψ2，这样可以假定任一土层中都包含上行波势函数φ1，ψ11，ψ12和下行的波势函数φ2，ψ21，ψ22。将上行波和下行波势函数表达式带回式（2），可得任一土层上下表面处的位移与6个势函数幅值之间的关系。土层上下表面处仅有应力τzx，τzy和σz，由本构关系同样可求得土层上下界面处6个应力与6个势函数幅值之间的关系，再令土层上表面处外荷载幅值=-，=-和=-，土层下表面处外荷载幅值¯Px2=，=和=，则可得到土层上下表面处外荷载幅值与6个势函数间的关系式。将势函数的幅值消去，便可求得土层上下表面的外荷载与位移幅值间的关系间矩阵，即土层三维动力刚度矩阵SLP-SV-SH。对于基岩半空间，由于Sommerfeld辐射条件仅包含下行的波势函数，采用同样思路可求得基岩半空间刚度矩阵SRP-SV-SH。刚度矩阵的具体元素及更为详细的求解过程可参考文献［25］。

集整各土层刚度矩阵SL，jP-SV-SH（j=1，2…，N）和下卧基岩半空间动力刚度矩阵SRP-SV-SH，可得层状场地的整体动力刚度矩阵SP-SV-SH，这样层状场地的离散动力平衡方程可表示为式中和为地表及各土层交界面处的位移幅值xjyj和（j=0，1，2，…，N）为施加在地表及各土层交界面处的外荷载幅值。

对于入射Rayleigh面波，荷载向量为零，令式（3）中SP-SV-SH的行列式为零则可得到频散方程，它确定了不同振型的相速度ca与频率ω的关系ca（ω）。由行列式为零求得的频散方程是超越的，需采用搜索迭代法进行求解。对于第1阶模态，无截止频率问题，初始相速度为ca=为下卧基岩半空间Rayleigh波速），增大ω的同时减小ca，通过牛顿 迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相应的ca（ω），即为第1阶模态的频散曲线。对除第1阶模态以外的模态则存在截止频率问题，首先令其初始相速度ca=（为下卧基岩半空间剪切波速），并令ω由小到大进行搜索，每出现一次|SP-SV-SH|=0，即求得某一阶模态的截止频率，然后对每一阶模态，增大ω的同时减小ca，通过牛顿迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相应的ca（ω），即为该阶模态的频散曲线。对所有模态采取同样的计算，即可求得所有模态对应的频散曲线，也即频散曲线族。具体可参考文献［27］。

求得各阶模态的频散曲线后，将成对的（ω，ca（ω））代入整体刚度矩阵SP-SV-SH，可求得相应的特征向量，即为位移幅值向量｝T，然后针对任一土层，由文献［25］中式（8a）可求得相应土层内上下行波的幅值系数，进而可求得该土层内任意位置的位移和应力幅值，即为Rayleigh波入射下层状场地的自由波场。

1.2 散射波场模拟

对于由于凹陷地形的存在引起的三维散射波场，通过层状场地中移动斜线荷载动力格林影响函数来模拟。图2给出了作用在x，y和z方向的移动均布荷载。由于荷载仅作用在部分土层上，在荷载的上下节点处引入附加交界面。首先假定作用荷载的土层固定在2个交界面上，计算满足条件的相应反力（外力）这个分析仅在作用荷载土层上进行。然后将反力以相反方向作用到整个层状场地上，由直接刚度法求解其动力响应。最后叠加上述两个结果得到总反应。

图2 层状场地中移动斜线均匀荷载动力格林函数求解示意图Fig.2 Diagram for solving Green′s functions of moving distributed loads acting on an inclined line

假定沿y轴正方向以速度c移动荷载可表示为

式中px0，py0和pz0为沿x，y和z方向的均布荷载密度，θ（0°＜θ＜180°）为斜线与水平方向的夹角，δ为狄拉克函数。采用傅里叶变换将荷载变换到频率-波数域中后，荷载幅值可表示为

设位移u，ν和w在在频率-波数域内的形式为

式中p=｛px0，py0，pz0｝T为荷载向量。假定方程（7）的特解（以上标“p”表示）如下式所示

将式（8）代入式（7），可得关于系数a1，a2和a3的表达式

矩阵A的具体元素见文献［26］，求解式（9）可得系数a1，a2和a3，再将其反代回式（8），并令z=0和z=d，可得固定土层上下表面处的位移特解和，进而可求得固定土层上下表面处的反力特解

叠加特解固定断面处特解反力和齐解反力并取负号，可得作用于层状场地的总外荷载为

将式（11）代入式（3），可求得任意土层上下表面的位移幅值，再由式（2a）可求得土层内上下行波的幅值系数Aj，Bj，Cj，Dj，Ej和Fj（j=1，2，…，N），进而由式（2a）和（2b）可求得层状场地任意点的位移和应力幅值。

上述计算过程是在波数域内进行的，空间域内结果可以通过傅里叶逆变换来完成

其中，k＇y=ω/c（kx，k＇y，z，ω）为波数域中位移或应力幅值，F（x，y，z，ω）为空间域内动力响应，也即所求移动均布斜线荷载动力格林影响函数。

求得移动均布斜线荷载动力格林函数后，散射波场便可通过分别施加的虚拟移动斜线荷载产生的动力响应来模拟。移动速度由图1和文献［27］知为Rayleigh波沿y轴的视速度c=|ca|2/（Re（ca）· cosψ）。这样散射波场产生的位移和应力可分别表示为：

式中gu（S）和gt（S）为位移和应力格林函数。txg，tyg和tzg表示沿坐标x，y和z方向的应力。｛px，py，pz｝T为求解散射波场而施加在凹陷边界上的荷载向量。

1.3 边界条件

凹陷表面S上零应力边界条件可表示为

式中 ［txf（s），tyf（s），tzf（s）］T为自由场应力向量，W（s）为权函数矩阵，可取为单位矩阵，使积分在每个单元上都能独立进行。将式（13）代入式（14）可得

由式（15）可求得｛px，py，pz｝T，将其代入式（13）可求得散射波场。最后叠加散射波场和自由波场，可求得位移幅值

上述给出的是频域内的三维动力响应解答，对于时域内动力响应可由傅里叶逆变换求得

2 方法验证

以层状半空间中凹陷地形对Rayleigh的二维散射结果来验证本文方法的正确性。本文方法在ψ=90°时即可退化为二维解答。图3给出了本文结果与文献［6］给出二维散射结果的比较。基岩上单一土层中梯形凹陷如文献［6］中图4所示。基岩与土层剪切波速比为cRS/cLS=2.0，密度比为ρR/ρL= 1.0，基岩与土层泊松比均为νR=νL=1/3，基岩阻尼比为ζR=0.02，土层阻尼比为ζL=0.05，入射Rayleigh波水平位移幅值u0=0.5，无量纲频率η=ωL/πcLS。图3中第1模态为对应相同频率相速度最小模态，第2模态为相应相速度次之模态。从图3中可以看出，无论是第1模态在频率为η=2.0时的位移幅值，还是在第2模态η=4.0时的位移幅值，本文结果均与文献［6］结果吻合良好，说明了本文方法的正确性。

图3 本文结果与文献［6］给出二维散射结果的比较Fig.3 Comparisons of results obtained by the present method with those of article［6］

3 算例与分析

3.1 频域结果

为研究入射角度的影响，以均匀半空间中半椭圆凹陷地形为例，模型如图4（a）所示，图5给出了Rayleigh波斜入射下凹陷周围地表位移幅值。均匀场地泊松比为ν=1/3，阻尼比为ζ=0.01。椭圆凹陷的短轴与长轴之比为h/a=0.5。入射角度分别为ψ=0°，45°和90°。定义无量纲频率为η=2a/λs=ωa/（πcS），其中λs和cS为剪切波波长和波速。计算参数为η= 0.5，1.0和2.0。图中u，ν和w分别为x，y和z方向的位移幅值，而u0和ν0为相应的自由场位移幅值。

图4 半椭圆凹陷模型Fig.4 Model of semi-elliptical canyon

从图5中可以看出，入射角ψ=0°（波沿y轴入射）时，位移幅值关于凹陷轴线对称分布，x方向位移仅来自于散射波场，幅值较小，y和z方向位移幅值空间分布较为简单，且几乎不受频率的影响；ψ=90°时，波入射方向与凹陷轴线垂直，本文结果退化为二维情况，此时无沿y方向位移幅值，x方向位移幅值在凹陷左交点附近显著放大，η=2.0时达到2.54；比较ψ=45°与ψ=90°的结果发现，两者的位移幅值最大值在x和z方向上均较为接近，但ψ=45°入射下同时带来了较大的y方向水平位移幅值；另外凹陷左侧位移幅值在空间分布上差异较大，ψ=45°对应空间分布较ψ=90°时要简单，说明入射角度越大，凹陷左侧波含较多的高频成分。以上分析表明Rayleigh波入射角度对位移幅值有着显著的影响，同时也说明凹陷地形对Rayleigh波二维散射（ψ=90°）和三维散射（ψ=0° 和45°）有着明显的差异。从图中还可以看出，由于凹陷地形对Rayleigh波传播的“屏障”效应，波入射一侧地表位移幅值较大，空间分布较为复杂。随着入射频率的增大，波入射一侧位移幅值振荡更为复杂。

为研究截面形状对地震效应的影响，以均匀半空间上三角、梯形和半椭圆三种截面凹陷为例，图7给出了入射频率η=0.5，1.0和2.0时凹陷周围地表位移幅值的比较。模型如图4（a）和图6所示。三种截面深度均为h/a=0.5，对梯形截面，底部宽度b/a=0.5。入射角度取为ψ=45°。均匀场地参数以及无量频率的定义方式均同图5。

从图7中可以看出，三角、梯形和半椭圆对应的最大位移幅值依次增大，这种现象随着入射频率的增大更为明显，如三角、半椭圆和梯形x方向最大位移幅值在η=0.5时分别为1.40，1.49和1.54，η=1.0时分别为1.52，1.81和1.87，η=2.0时分别为1.43，2.25和2.63。同时，对应三种截面情况，凹陷左侧位移存在相位偏移，三角、梯形和半椭圆对应的波长依次增长。另外发现梯形和半椭圆对Rayleigh波的隔振效果要强于三角形情况，这种现象也随着入射频率增大更为明显。以上分析说明凹陷左角点的角度越小，也即凹陷左侧越“陡峭”，位移幅值最大值越大，对Rayleigh的阻碍作用越强。

为研究凹陷深度对地震效应的影响，以均匀场地中三角凹陷为例，图8给出了入射频率η=0.5，1.0和2.0时凹陷周围地表位移幅值的比较。模型如图6（b）所示。三种截面深度均为h/a=0.5，1.0 和2.0，入射角度取为ψ=45°。均匀场地参数以及无量纲频率的定义方式均同图5。

从图8中可以看出，随着凹陷深度的逐渐增大，最大地表位移幅值逐渐增大，且这种现象受入射频率的影响明显，如h/a=0.5，1.0和2.0三种深度凹陷x方向最大位移幅值在η=0.5时分别为1.40，1.60和3.16；η=1.0时分别为1.52，2.29和2.77；η=2.0时分别为1.43，2.37和3.14。同时随着凹陷深度的逐渐增大，凹陷对Rayleigh的隔振作用越强，这种现象也受入射频率的影响明显，如η=2.0时，h/a=1.0和2.0两种凹陷的隔振作用基本一致（凹陷右侧位移幅值基本一致），这也说明频率为η=2.0的Rayleigh在h/a=1.0的深度已经衰减到很小。另外还可以从图中看到较深的凹陷（h/a= 2.0）在Rayleigh波入射下，左侧x方向位移会出现明显的驻波现象（位移幅值在某些点位处近似为零，看似始终静止），且随着频率的增大驻波点（位移幅值近似为零点）逐渐增多。

图5 Rayleigh波入射角度不同情况下凹陷附近地表位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different incident angles

图6 梯形和三角形凹陷模型Fig.6 Model of trapezoid and triangle canyons

图7 Rayleigh波斜入射下不同截面形状凹陷地形附近地表位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon cross section

图8 Rayleigh波斜入射下不同深度凹陷地形附近地表位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon depth

3.2 层状半空间结果

为研究层状场地中凹陷地形对斜入射Rayleigh波的散射以及探讨其与均匀场地情况的差异，以基岩上单一土层场地和均匀场地中半椭圆凹陷地形为例。模型如图4（a）和4（b）所示，椭圆短轴与长轴之比h/a=0.5。层状场地中基岩与土层的剪切波速比为cRS/cLS=2.0，质量密度比ρR/ρL=1.0，泊松比νR=νL=1/3，基岩阻尼比为ζR=0.02，土层阻尼比为ζL=0.05。土层厚度则取为H/a=1.0和H/a=2.0两种情况。均匀场地土体泊松比ν=1/3，阻尼比ζ=0.05。Rayleigh波入射角度取为ψ=45°，无量纲频率定义为η=2a/λLs=ωa/（πcLS）。由于Rayleigh波在层状场地中的传播存在多模态和频散特性，采用上述搜索迭代法，图9给出了两种不同厚度基岩上单一土层场地Rayleigh波前三阶模态的频散曲线，包括相速度实部Re（ca/cLS）、有效阻尼比lm（ca）/ Re（ca）和竖向与水平位移幅值比。

图9 层状场地中Rayleigh波的频散曲线Fig.9 Disperse curves of Rayleigh waves in a layered half-space

图10 层状场地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土层厚度H/a=1.0）Fig.10 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=1.0）

图10首先给出了土层厚度H/a=1.0场地在频率η=1.0和2.0时前三阶模态对应位移幅值，同时为方便比较，图10中也包含了相应均匀场地结果。对应不同频率，前三阶模态Rayleigh波的相速度如图9所示。比较层状场地与均匀场地结果发现，层状场地中凹陷周围地表位移幅值与均匀场地情况存在显著的差异，这种差异取决于不同频率处Rayleigh的频散情况（Rayleigh波的相速度），层状场地相速度在η=1.0时的第1模态和第2模态以及η=2.0时的第2和第3模态，均与均匀场地相速度（均匀场地ca=0.933cS）相差较大，位移幅值相差较大，而层状场地相速度在η=2.0时的第1模态与均匀场地相速度非常接近，位移幅值也非常接近。比较层状场地不同模态的结果发现，地表位移幅值有着明显的差异，尤其在η=2.0时，对应第2模态的x，y和z方向的位移幅值分别达到3.19，3.46和4.38，远大于其他模态及均匀场地对应的位移幅值。从图中还可以看出，对应相同频率，随着模态的逐渐增大，Rayleigh波波速逐渐增大，位移沿深度方向逐渐减慢，层状场地中凹陷地形对Rayleigh波的阻碍作用逐渐减弱。

图11 层状场地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土层厚度H/a=2.0）Fig.11 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=2.0）

图11进一步给出了土层厚度H/a=2.0场地在频率η=0.5，1.0和2.0时前三阶模态位移幅值。场地前三阶模态Rayleigh波的相速度如图9所示。从图11中结果看出，在η=1.0时对应第2模态的位移幅值显著大于其他模态，x，y和z方向的位移幅值分别达到3.41，4.22和3.84；在η=2.0时对应第3模态的位移幅值显著大于其他模态，x，y和z方向的位移幅值分别达到5.32，5.92和8.45；而图9中η=2.0时对应第2模态的位移幅值显著大于其他模态。分析以上数据发现，在给定频率处，出现位移幅值明显较大的模态对应的有效阻尼比较大且大于均匀场地情况，同时对应的自由场竖向与水平位移幅值比也较大且大于均匀场地情况。以上分析表明，在研究层状场地中凹陷地形对Rayleigh波的散射问题时，应充分考虑该层状场地Rayleigh的模态和频散情况。

3.3 时域结果

为研究凹陷地形在Rayleigh波入射下的时域地震反应，以均匀场地和基岩上单一土层场地中梯形凹陷为例，进行了Ricker时程输入下，凹陷附近地表位移时程的求解。模型如图4（a）所示，凹陷深度为h/a=0.5，底部半宽为b/a=0.5。基岩上单一土层场地也取为H/a=1.0和H/a=2.0两种情况。层状场地和均匀场地参数同图9和图10。地表共81个观测点均匀分布在x从-4a到4a的范围内。输入Ricker时程的形式为u（τ）=（-1）·exp，特征频率定义为ηc=ωa/（πcS）（对层状场地ηc=ωa/（πcLS）），计算中所有情况ηc= 1.5。时域动力响应通过对频域内动力响应积分求得。通过对Ricker输入波频谱的分析，计算中无量纲频率范围为η=0～5.0。考虑到频谱的振荡特性，采用分段高斯积分完成，共取积分点116个。

图12首先给出了均匀场地Rayleigh波入射角度为ψ=45°和90°时凹陷附近地表位移时程。u，ν和w分别表示沿x，y和z方向的位移时程序，而u0，ν0和w0分别表示自由场表位移时程。从图11中可以看出，由于凹陷地形对Rayleigh波的散射，使得凹陷左侧位移幅值相对于自由场有着显著的放大，这与频域中结果一致。但凹陷地形对Rayleigh波传播的影响从时域结果中可以更为清晰地观测到，如ψ=45°时，Rayleigh首先到达凹陷左侧x=-4a位置，然后传播到凹陷左角点（角点1），在凹陷左角点处形成散射Rayleigh波，一部分返回到凹陷左侧x=-4a位置，另一部分沿爬过凹陷表面到达凹陷右角点（角点2），波在该角点处又产生新的散射Rayleigh波，一部分返回凹陷右侧，一部分继续向凹陷右侧继续传播。比较ψ=90°时凹陷附近地表时程与ψ=45°度时程，发现ψ=90°时凹陷左角点产生的散射波中除了有Rayleigh波成分外，还有明显的P波成分，图11中显示为P波成分以更快的波速（P波波速大于Rayleigh波波速）先于Rayleigh波返回凹陷左侧地表各观测点，同时P波成分也以更快的速度先于Rayleigh波爬过凹陷表面，传播到凹陷右侧各观测点。以上分析表明Rayleigh波的入射角度对Rayleigh波在凹陷角点处的波形转换有着显著的影响，这也说明了在研究凹陷地形对Rayleigh波散射时，为使结果更为精确，应充分考虑Rayleigh波入射角度的影响。

图13进一步给出了层状场地情况（H/a=1.0和H/a=2.0）凹陷附近地表位移时程，层状场地的频散关系曲线取第1模态（如图9所示），u0，ν0和w0仍为自由场位移。比较图13中层状情况时程与图12中均匀场地情况时程发现，层状场地中时程与均匀场地情况存在明显的差异。这是由于层状半空间中Rayleigh波的传播存在频散特性，对应不同频率，Rayleigh波的相速度不同，尤其在较低频率时，Rayleigh波的相速度大于土层对应的Rayleigh波速（也即图12中均匀场地Rayleigh波速），使得不同频率的Rayleigh波相互作用，Rayleigh波达到各观测点的时间要早于均匀场地情况，同时土层和凹陷地形的之间存在相互作用，也使得层状半空间中地表各观测点的位移时程较均匀半空间情况复杂，在持续时间上也更长，尤其在凹陷表面。比较土层厚度为H/a=2.0的场地与H/a=1.0的场地时程发现，由于厚度为H/a= 2.0的场地Rayleigh波相速度随频率增加更快地衰减到与土层对应的Rayleigh波相速度，厚度为H/a= 2.0的场地位移时程与均匀场地情况更为接近。

图12 均匀场地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各观测点位移幅值时程Fig.12 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a uniform half-space

图13 层状场地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各观测点位移幅值时程Fig.13 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a layered half-space

4 结 论

针对凹陷地形对Rayleigh波的三维散射问题，建立了以移动斜线荷载动力格林影响函数为基本解的2.5维间接边界元方法进行了求解，分别以均匀场地和基岩上单一土层场地给出了频域结果和时域结果，得到了以下主要结论。

（1）波的入射角度对地震反应有着显著的影响，Rayleigh波斜入射时在平面内位移幅值与二维情况较为接近的情况下，同时带入了较大的凹陷轴线方向位移幅值。

（2）凹陷的截面形状对位移幅值有着明显的影响，波入射侧凹陷越“陡峭”，位移幅值最大值越大，对Rayleigh波的阻碍作用越强。随着凹陷深度的逐渐增大，地表最大地表位移幅值逐渐增大，且深度较大的凹陷，在波入射侧存在明显的驻波现象。

（3）由于层状场地中Rayleigh波的传播存在频散和多模态现象，层状场地中凹陷地形对Rayleigh波的散射与均匀场地情况有着显著差异，层状场地情况，存在Rayleigh波高阶模态在某些频率处的位移幅值会显著大于其他模态的现象。在时域内由于层状场地中Rayleigh的频散，不同频率的产生波相互作用，使得地表位移时程在形式上更为复杂，在持续时间上更长。

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3-D seismic resp onses for oblique incident Rayleigh waves of a canyon cut in a layered half-space

BA Zhen-ning1，2，LIANG Jian-wen1，2
（1.Department of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.Key Laboratory of Coast Civil Structure and Safety（Tianjin University），Ministry of Education，Tianjin 300072，China）

The three-dimensional（3-D）seismic responses of a canyon cut in a layered half-space for oblique incident Rayleigh waves are studied by using the 2.5D indirect boundary element method（IBEM）.The total wave fields are decomposed into the free fields and the scattered fields for convince of calculation.The searching and iteration methods are employed to obtain the dispersion curves by solving the dispersion equation，which is derived by letting the determinants of the 3-D dynamic stiffness matrix of the layered site equal to zero，and then the free fields are obtained by using the direct stiffness method.The scattered fields are simulated by applying a set of virtual uniformly distributed loads on inclined lines，which form the free surface of the canyon.The densities of the virtual loads can be obtained by introducing the boundary conditions on the surface of the canyon. The accuracy of the method is verified by comparing the reduced results of the presented method with those of the published 2-D results，and numerical calculations are performed both in the frequency and in the time domain by taking the canyon cut in a homogenous and layered half-space as models，and the 3-D seismic responses for oblique incident Rayleigh waves are studied. Numerical results show that the 3-D responses highly depend on the cross-section of the canyon，the incident angle，the incident frequency，and in particular，the multi-modal and dispersion characteristics of Rayleigh waves in a layered site，and the displacement amplitudes at some frequencies corresponding to the higher modes can be significantly higher than those of the lower modes and of the homogenous site.

canyon；Rayleigh waves；three-dimensional scatting；layered half-space；Green′s functions

P315.9；TU 311.3

A

1004-4523（2015）05-0809-13

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.017

巴振宁（1980—），男，副教授。电话：13752331405；E-mail：bazhenning-001@163.com

2014-09-16；

015-03-30

国家自然科学基金资助项目（51578373，51578372）