环肋旋转壳声振特性分析的半数值方法

王献忠

（1.武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，湖北 武汉430063；2.武汉理工大学交通学院船舶、海洋与结构工程系，湖北武汉430063）

环肋旋转壳声振特性分析的半数值方法

王献忠1，2

（1.武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，湖北 武汉430063；2.武汉理工大学交通学院船舶、海洋与结构工程系，湖北武汉430063）

采用精细传递矩阵法结合改进波叠加法建立了加筋旋转壳水下声辐射的数学模型，推导了旋转壳的场传递矩阵和环肋的点传递矩阵，运用精细算法克服了传统传递矩阵法的数值不稳定问题，利用改进波叠加法考虑了旋转壳上声压激励的作用，考虑流固耦合边界处的连续条件，求解了加筋旋转壳的水下辐射声。分别以摆动球、脉动球、加筋圆柱壳和球壳为例，将计算的脉动球和摆动球表面声压值和相应解析解对比；还将加肋圆柱壳的水下辐射声压周向分布和文献值及实验结果进行对比；最后将球壳的振动和水下声辐射和文献值对比，验证此方法的有效性。

声辐射；旋转壳；精细传递矩阵法；波叠加法

引 言

开展潜艇和鱼雷等水下航行器的振动与声辐射研究时，往往将其中部简化为圆柱壳模型，艉部结构简化为圆锥壳模型，首部结构简化为锥壳或球壳计算模型。无论圆柱壳、圆锥壳及球壳均满足旋转壳的轴对称结构特征。在保证总重量不变的情况下，通过加筋方式能够很好地增加旋转壳强度和稳定性。因此开展加肋旋转壳结构的振动和声辐射研究显得尤为重要。

关于圆柱壳的振动和声辐射特性计算方法已经进行了大量的研究。Stepanishen［1］研究了两端有无限长圆柱型刚性障板的有限长圆柱壳的声辐射计算模型，采用模态叠加法和Green函数得到耦合振动方程。Laulagnet［2］研究了采用能量法处理肋骨，并讨论了肋骨参数对其声辐射的影响。汤渭霖［3］通过将环肋以附加阻抗的形式进行考虑，推导出了水中有限长加筋圆柱壳的辐射声解析解，并对加筋对圆柱壳振动和声辐射的影响进行讨论分析。陈美霞［4］通过单、双层环肋圆柱壳模型试验，研究了不同性质激励下壳体振动与外场声辐射的关系。由于旋转壳的双曲率特性，动力学方程比圆柱壳更为复杂，使得解析方法在求解旋转壳仍然存在一定的困难。有限元和边界元［5］理论上能够处理任意复杂的结构，但其计算精度受限于计算频段。计算频率的增加会导致计算模型网格数的急剧增加，计算效率就面临很大挑战，考虑到离散方法还存在难以进行机理性分析的问题，这些问题均限制了有限元和边界元方法的发展。因此，半解析半数值法逐渐成为进行旋转壳力学性能分析的有效办法。H Tottenh和K Shimizu［6］首次提出了一种针对圆柱壳自由振动问题的传递矩阵法。T Irie将传递矩阵法扩展应用到具有离散弹簧支 承的圆柱 壳［7］、变厚 度 锥壳［8］等各类结构在空气中的谐振问题。张敬东［9］采用弹性力学中传递矩阵方法和声学中边界元方法相结合的方式，给出水下任意形旋转薄壳振动和声辐射问题的数值预报方法，并进行了理论和实验验证。邹时智［10］导出了旋转薄壳状态向量的一阶常微分矩阵方程，实现了一种半解析半数值求解。瞿叶高［11］提出了一种区域分解法来分析任意边界条件的复合材料层合旋转壳自由振动。但是迄今尚未见到有关加筋旋转壳体结构振动和水下声辐射的半解析方法。

本文采用精细传递矩阵法和改进波叠加法相结合给出了一种分析加筋旋转壳等此类结构声振特性的半解析半数值方法。分别以脉动球、摆动球、圆柱壳及球壳等旋转壳结构形式为例，将计算结果分别与文献及实验结果进行对比，验证该方法在声振特性预报上的有效性。

1 环肋旋转壳的传递矩阵

1.1 旋转壳的控制方程

根据Flügge壳体理论，分别在s，φ，n三个方向建立力平衡方程：

式中Ns为轴向力；Nsφ为剪力；Qs为横向力；Msφ，Mφs，Mφ为弯矩和 扭矩，这些 膜力、剪力 及 其余内力参见文献［10］；A，B代表lame常数；u，ν，w分别代表s，φ，n三个方向的位移变形；ρ为材料的密度；h为壳体的厚度；ω为圆频率。同时对所有状态向量进行无量纲化，并根据其轴对称特征沿周向展开成Fourier级数形式：

式中n为周向波数；E，ν分别代表旋转壳的弹性模量、泊松比；刚度K=Eh3/［12（1-ν2）］；R为旋转壳φ方向最大曲率半径，如图1所示。

图1 环肋旋转壳模型示意图Fig.1 Geometry and coordinate for stiffened shells of revolution

为了简化分析过程，分别令ξ=sR-1，λ2=ρh R2ω2D-1对参数s及ω进行无量纲化。s为旋转壳上沿母线s方向上任意一点位置，ω为外激励频率，为抗拉刚度，λ为无量纲的频率参数。任意旋转壳的一阶控制微分方程可表示为

式中F（ξ）代表壳体受到的外界激励力，p（ξ）为壳体表面的声压。壳体的状态向量Z（ξ）=其中分别代表旋转壳母线s方向、周向φ方向、径向n方向无量纲位移值及无量纲转角。分别代表无量纲膜力、无量纲弯矩、Kelvin-Kirchhoff剪力及薄膜合剪力。系数矩阵U（ξ）就是结构状态向量的场传递矩阵，各非零元素Uij（i，j=1，2，…，8）为对φ运算后得到的参数。

1.2 环肋处点传递矩阵

假定环肋布置处母线与轴线的夹角为α时，和满足=ucosα+wsinα和=usinα+wcosα。考虑环肋与旋转壳在连接处满足位移连续条件，即环肋截面质心的位移分量与壳体中面位移分量u，ν，w之间的关系满足：

式中e为偏心距，内肋取负号，外肋取正号；Rb为肋骨形心半径，Rb=R+e；Fu，Fν，Fw和Mφ分别表示旋转壳作用在单位长度环肋截面形心上的轴向力、切向力、径向力和扭矩；分别表示环肋作用在单位长度旋转壳上的轴向力、切向力、径向力和扭矩。令=Fucosα+Fwsinα=Fusinα+Fwcosα，则壳体与环肋间相互作用的作用力满足Fw=-，Fν=-Fν，Fu=-，Mφ-。在某一环肋位置ξk处，环肋左端面ξ=ξLk、右端面ξ=ξRk的状态向量满足

1.3 谐激励作用的处理

假设旋转壳结构受到的机械激励力设为集中力，作用点为（x0，θ0），故机械激励力表达式为

将式（6）进行正交变换可得

式中fn=f0（ 2π）。因此，作用在旋转壳结构上的激励载荷可以表示为

式中frn，fan分别为给定周向波数n情况下的径向激励、纵向激励。

2 流体介质中旋转壳的声辐射

2.1 改进波叠加法

为解决传统边界元法求解声辐射时存在的问题，Koopmann［12］提出一种基于波叠加原理的虚拟边界积分方法，黄玉盈［16］提出一种求解轴旋转空穴三维声辐射问题的复数矢径虚拟边界谱方法。本文在上述研究的基础上，采用Fourier级数求和代替对积分方程进行离散化求和的办法，将虚拟源与弹性结构之间的距离d进行复数化，避免特征频率的不唯一性，并应用快速Fourier变换进行计算，最终给出了一种改进的波叠加法。

对于弹性体振动的声辐射问题，以虚拟面作为虚拟分布源，可写出辐射声场的虚拟边界积分表达 式［12］

虚拟源面上任意一点O与外辐射声场中任一点P的距离在柱坐标系下可表示为

将σ（O）和K（P，O）沿着周向进行Fourier级数展开后代入到方程（9）可得

将式（12）代入式（11）中，可知

令Kmn，将母线积分区间0～L＇进行M等分，周向积分区间（0～2π ）也进行N等分，则

辐射声压可表示为

由式（15）可知，结构是采用2的幂级数进行离散，因此计算Kmn（~P）时可采用快速Fourier变换。

2.2 流-固耦合问题的求解

对于旋转壳上任意一点P均满足流-固耦合边界条件

同理，将σ（O） 和K＇（P，O）沿周向进行Fourier级数展开，可得

式中L＇为配置曲面的母线长。将σn

同理将结构表面法向位移（w P）沿周向进行Fourier级数展开后代入式（16），壳体母线上任一点均应满足

2.2.1 外界激励作用下的振动响应

对壳体沿母线方向进行N等分离散，任何分段均满足假设分段布设有环肋，则满足

式中Tj+1为第j分段的场传递矩阵，Pj+1为第j分 段 的 非 齐 次 项。可令 传递 矩 阵Tj+1中 的为精细算法的指数矩阵/2是第j分段的平均值，进而可采用精细积分方法。式（20）的非齐次积分项可应用高斯积分进行求解。

借鉴有限元封装质量阵、刚度阵的思想，对Tj进行整合，可得

考虑壳体的两端边界条件，可得到外激励力Fk和单项广义声压Kmn下的状态向量Zfn（ξ）和（ξ）。

2.2.2 流场辐射声压的求解

根据叠加原理可知，给定周向波数n下旋转壳体表面各点的法向位移可表示为

将式（22）代入式（19）中，可得

由于任一点在给定周向波数n下均满足式（23），故沿着封闭系统母线进行配点（配点数要求q≥2m+1）可以构造线性方程组

3 数值计算

本文采用精细传递矩阵法结合改进波叠加法分别对脉动球、摆动球、环肋柱壳及球壳的声辐射进行计算，并将计算结果与解析解及实验值进行对比，验证本文方法的有效性。

3.1 脉动球与摆动球

取脉动球的半径为r0=1 m，法向表面振速为1 m/s做呼吸态脉动。外界介质阻抗为ρc，计算时分别取波数为0～10，步长为0.5。收缩系数α取0.65，复数因子γ取0.1。周向、母线方向展开Fourier级数分别取2和8，计算结果如图2所示。取摆动球的半径为r0=1 m，摆动球振动速度的幅值为ν0=1 m/s，方向为z轴，即φp=0。坐标系原点建立在球心处。摆动球表面法向振速为ν0cosφp，计算结果如图3所示。

图2 脉动球的声压分布Fig.2 Sound pressure at the pulsating sphere surface

通过对图2和图3中脉动球、摆动球的声压对比结果可知：本文方法计算结果与解析解对比吻合良好。由于本文方法对d进行复数化处理，能够有效避免采用传统波叠加法存在特征频率处解的不唯一性问题。

3.2 圆柱壳

本文圆柱壳模型1的参数为：长度L=20 m，半径R=1.0 m，厚度h=10 mm，弹性模量E=2.1× 1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。外部流体介质参数为：密度ρ=1 000 kg/m3，声速c= 1 500 m/s。分别采用本文方法和有限元对两端刚性固定时圆柱壳的固有频率进行对比计算，如表1所示。

图3 摆动球的声压分布Fig.3 Sound pressure at the swing ball surface

表1 固有频率计算结果Tab.1 Results of natural frequency（Unit：Hz）

从表1可以看出，本文提出的精细传递矩阵方法与有限元及文献计算结果吻合较好，误差小于3%，验证了本文方法的有效性。

本文圆柱壳模型2的参数：长度L=0.6 m，半径R=0.175 m，厚度h=2 mm，径向力作用在内壳（L/2，0）处，幅值为1 N。水听器安装在距壳体外面1 m处，激励频率f=4 k Hz。模型为加两根外肋圆柱壳，模型的材料都相同，肋骨等间距布置。模型2的弹性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，损耗因子取η=0.01。流体密度取ρ0=1 000 kg/m3，声速度c0=1 500 m/s。边界条件为两端简支。分别采用本文方法和B Laulgnet［2］方法求解模型2的水下辐射声压，并将计算结果与文献中的测试结果［15］进行对比，计算结果和时间对比见表2所示。

表2 水下声辐射计算结果（f=4 k Hz）Tab.2 Results of the radiated noise（f=4 k Hz）

从表2中数据可知：本文采用精细传递矩阵法结合改进波叠加法计算得到各周向角度的辐射声压与B Laulgnet［2］方法的计算结果基本吻合在一起。本文方法与实验测量值除了局部角度存在一定差异，但整体上基本吻合在一起。这说明本文方法在求解环肋柱壳时具有较好的精确度，并且能够应用于求解有限长加肋圆柱壳的水下声辐射预测。表1和表2中的数据表明，本文方法的CPU时间要小于有限元方法和B Laulgnet［2］方法，证明了本方法在求解壳体结构声振特性时具有较高的计算效率。

3.3 受均布载荷的球壳

本文球壳模型的半径R=1 m，h=0.03 m，力激励的分布角度α=36°，流场中参考点的位置为r=20 m，弹性模量E=2×1011N/m2，泊松比ν= 0.3，密度ρ=7 668.71 kg/m3，水介质的参数为：密度ρ=1 000 kg/m3，声速c=1 500 m/s。由于球壳结构受到轴对称激励，故只有n=0阶模态受到激发。计算时只需取n=0，m=10。图4给出了ka= 1和ka=2时本文方法计算球壳表面法向位移和辐射声压和文献值的对比。可以发现，在不同的无量纲频率下的位移和辐射声压与文献值吻合良好，证明本文方法在计算旋转壳结构声振特性上的有效性和可行性。

图4 球壳表面法向位移和辐射声压结果对比图Fig.4 Distribution of surface normal displacement and sound pressure of spherical shell

4 结 论

本文给出了一种精细传递矩阵法结合改进波叠加方法用于求解计算旋转壳结构的声振特性。本文在求解旋转壳的动响应时，采用精细积分方法，克服了传统传递矩阵法的数值不稳定问题；求解旋转壳的水下声辐射时，采用改进波叠加法避免了数值计算的奇异性和特征频率处解的不唯一性问题。文中分别以摆动球、脉动球、加筋圆柱壳和球壳为例，对相应模型的振动和声辐射进行计算并与文献值和实验结果进行对比，验证本文方法的有效性。

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A semi-numerical method for predicting the vib-acoustic problem of stiffened shells of revolution

WANG Xian-zhong1，2
（1.Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China；2.Departments of Naval Architecture，Ocean and Structural Engineering，School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China）

A coupled precise transfer matrix and modified wave superposition method is presented for predicting the structural and acoustic radiation responses of shells of revolution.Considering the effect of the ring-stiffeners，the field transfer matrixes of shells of revolution are obtained accurately by precise transfer matrix method which overcomes the numerical instability problem of traditional transfer matrix method.The sound pressure in fluid is described by modified wave superposition method which is employed to satisfy the fluid-solid coupling boundary condition.Then the structural and acoustic responses of shells of revolution are obtained finally.The structural and acoustic radiation responses of the pulsating sphere，swing ball，submerged cylindrical shell and spherical shell are compared with FEM results and test results，and they are quite close to each other.

acoustic radiation；shell of revolution；precise transfer matrix method；wave superposition method

O422.6；TB53

A

1004-4523（2015）05-0793-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.015

王献忠（1986—），男，博士，讲师。电话：13720383690；E-mail：xianzhongwang00@163.com

2014-08-29

：2015-04-21

国家自然科学基金资助项目（51409200）；中央高校基础科研业务费专项资金资助项目（2014-Ⅳ-022）