等效线化方法分析亚音速壁板非线性极限环颤振

唐怀平，杨翊仁

（西南交通大学力学与工程学院，四川成都610031）

等效线化方法分析亚音速壁板非线性极限环颤振

唐怀平，杨翊仁

（西南交通大学力学与工程学院，四川成都610031）

研究了受集中质量与非线性运动约束联合作用下的二维亚音速壁板的极限环颤振问题。采用Galerkin方法将非线性壁板运动方程离散为常微分方程组。分析了集中质量大小及其位置对壁板系统失稳特性的影响；采用等效线化方法研究了系统的分叉特性及极限环颤振稳定性。结果表明：系统会产生颤振失稳，质量块的大小及其位置对颤振临界速度有着重要的影响；系统会经历超临界的 Hopf分叉而处于稳定的极限环运动；等效线化方法可在一定范围内较为精确地对极限环稳定性及其幅值进行判定。

壁板；亚音速流；等效线化；Hope分叉；极限环颤振

引 言

近些年，随着高速铁路运行速度的不断提升，列车的气动弹性问题也越来越突显，并已经成为高速列车中亟待解决 的关键基 础问题 之 一［1-2］。由 于高速列车采用流线型的设计，因此列车车体中存在着大量的蒙皮等壁板结构。这些壁板结构在列车高速运行时会产生明显的振动，如武广客运专线试验中，当列车运行速度达到350 km/h时，列车车身蒙皮和车窗的振动非常显著，并会产生很大的辐射噪声。因此有必要对这类特殊壁板的气动弹性问题进行相关研究。

就现有高速列车的运行速度而言，其基本上属于低亚音速范围（马赫数约为0.3）。针对亚音速气流中壁板的气动稳定性问题，文献［2］曾指出两端简支的壁板会在马赫数为0.125时发生颤振失稳，并得到了风洞吹风试验的证实。而文［3-6］却指出，两端固定支撑的壁板在亚音速气流中并不会发生颤振失稳，而仅会出现发散失稳；而一端固支一端自由的壁板却会出现颤振失稳。除了壁板的气动失稳问题，亚音速壁板结构在失稳后的复杂非线性运动特性也是学者们关注的焦点。现有的研究较为广泛地考虑壁板大变形而产生的几何非线性对系统失稳特性的影响。文［7-9］均针对该非线性作用下的壁板的稳定性及极限环响应进行了研究。事实上，由于生产、安装过程中的误差，壁板结构常常还会受到其他结构非线性因素的作用。这些非线性因素会约束壁板结构的位移并导致壁板呈现出复杂动力学特性。Li等［10-11］考虑 支撑松动产生的接触非线 性因素，研究了亚音速壁板的极限环颤振及混沌响应。相比于几何非线性而言，针对壁板在位移约束下的研究还比较欠缺。另外，上述研究主要是以理论模型分析为主，均未涉及到实际的风洞模型。事实上，对于实际风洞实验中的壁板而言，不可避免地需要对壁板结构施加某些必要的集中质量，以满足模型设计要求及数据测试要求，例如在壁板关键位置安装有一定质量的传感器及某些必要的实验挂件等。这些额外的重量对壁板的动力学行为，尤其是对非线性极限环运动有何影响，也是需要关注的一个重要问题。

因此，本文综合考虑非线性约束及集中质量两个因素的影响，对壁板的稳定性及极限环响应进行分析。文中采用Galerkin方法对非线性亚音速黏弹性壁板的运动方程进行离散；采用等效线化方法研究壁板的非线性运动特性。着重考察集中质量对系统稳定性及极限环运动的影响，并采用数值方法进行积分验证。

1 壁板颤振模型

考虑一端固支一端受位移约束的悬臂二维黏弹性壁板，如图1所示。壁板长度为l，厚度为h，且h≪l，壁板单位长度的质量为ρs。壁板上表面作用有沿x方向的亚音速不可压缩气流，来流速度为U∞，空气密度为ρ∞。壁板在lm处作用有一质量为m的集中质量块；壁板在端部受到的非线性运动约束fnon可以表示为

式中w为壁板的横向振动位移，K1和K3为非线性运动约束的控制参数。

图1 亚音速悬臂壁板的几何模型Fig.1 Schematic diagram of a cantilevered plate in subsonic flow

利用Hamilton原理可得壁板的横向振动方程［10-11］

式中D=为板的弯曲刚度，E为板的弹性模量，gs为黏性阻尼系数，ν为泊松比，ΔP为作用在壁板上表面的气动压力载荷。

而壁板的边界条件为

由文［3-4，10］可知作用在壁板单侧的气动力

引入如下无量纲参数

可得壁板的无量纲运动方程

在下面的计算中，选取如下的基本参数：E= 70 GPa，ρs=2 750 kg/m3，ρ∞=1.25 kg/m3，l= 1.0 m，h=2.0 mm，υ=0.3，gs=0.000 5。

文献［12］的研究表明采用系统前两阶模态可以得到较为满意的定性和定量的分析结果。本文的目的在于定性分析和展示系统所蕴含的典型的非线性特性，因此选取悬臂梁的前两阶模态对方程（6）进行离 散［12］，即

采用Galerkin方法对式（6）进行离散化，可得

引入如下变换

式（8）变为

在选定的基本参数情况下，式（8）的各系数为：

式（10）的各系数为

2 颤振边界分析

首先，考察集中质量及运动约束刚度对系统颤振稳定性的影响。为计算系统的临界颤振速度，将式（10）写作状态空间形式

采用数值方法计算式（11）在零平衡点的雅克比矩阵的特征值，并依据特征值得特性对系统的颤振临界速度进行判定。

图2给出了当附加质量块位于端部，即em=1时，不同端部支撑刚度k1对应的临界颤振速度λf与集中质量¯m的变化关系。由图2可知，随着集中质量的增加，颤振临界速度呈现下降趋势，系统的颤振临界速度随着刚度的增加而增加。有趣的是，当集中质量较小时，刚度对颤振临界速度影响较为明显；而当集中质量增加至0.5左右时，不同刚度对应的系统颤振临界速度将趋于相同的值。

图3给出了当无量纲集中质量=0.1，不同刚度k1时，系统颤振临界临界速度与集中质量的位置ξm之间的变化关系。图3中的点划线对应的是无集中质量时系统的颤振临界速度。由图3可知：不同刚度时系统的颤振临界速度随位置的变化呈现相

图2 不同集中质量时系统颤振边界Fig.2 Flutter boundary for different

图3 不同集中质量位置时系统颤振边界Fig.3 Flutter boundary for different

似性；系统的颤振临界速度随位置的变化呈现非线性关系。特别值得指出的是：不同刚度对应的颤振边界与点划线的交点有着相同的横坐标，即

当＜＜时，集中质量会提高系统的临界颤振速度并增加系统的稳定性；而当＜或ξm＞ξmB时，集中 质 量却 起 到了相 反 的作 用；而 在ξm=ξmA及ξm=ξmB两点处，集中质量对系统的颤振稳定性没有影响。

图4给出了=0.1，k1=5.0，λ=49.29时，不同集中质量位置对应的系统线性的响应相图。从图可知：即使在相同的动压下，由于不同集中质量的放置位置，系统也会呈现出截然不同的稳定特性。

图4 不同集中质量位置时线性系统的运动响应相图Fig.4 Phase plots for differentξm

3 极限环颤振分析及讨论

在上一节中，已经分析了系统的颤振失稳。下面就针对系统在颤振失稳后可能呈现的非线性极限环运动进行分析。采用等效线化方法来分析极限环颤振（LCO），已有许多重要的成果发表。文献［11，13-14］均基于等效线化方法对机翼系统中的极限环颤振运动进行了研究。这种方法为定性及定量分析壁板系统的极限环颤振提供了指导。因此本文也采用等效线化方法对极限环运动进行分析。在下面的计算中进一步给定如下参数：k1=5，k3=2，¯m= 0.1。

针对本文中的立方非线性而言，依据等效线化方法，式（11）中的非线性可以表示为

式中Keq=，A为系统（11）的极限环运动分支p1的幅值。

将式（13）代入至方程（11）后，非线性系统（11）将变成线性系统，其状态方程可以写作

下面考察ξm=0.7和ξm=1.0两个特殊位置的颤振边界曲线，结果分别如图5（a）和（b）所示。从图5可知，随着等效刚度的增加两组颤振临界速度都呈现单调增加趋势。

图5 系统颤振速度随等效刚度的变化关系Fig.5 Curves of critical flutter dynamics pressure vs.equivalent linearized stiffness

下面以ξm=1.0为例说明如何依据等效刚度-幅值-颤振临界动压三者的耦合图（如图6所示）对系统极限环的稳定性进行判定。首先，假设动压λt对应的极限环幅值为As，依据耦合图可知，当其有一个正的增量ΔAs时，等效刚度及颤振临界速度都将会增大，系统将呈现稳定的收敛到幅值为As的运动。而当幅值有负的增量——ΔAs时，由于等效刚度及颤振临界速度都将降低，系统也将呈现收敛于幅值为As的运动。因此，无论对于正的或者负的幅值增量，系统都将最终稳定于幅值为As的稳定极限环运动。因此，系统在λ=λf处产生超临界的Hopf分叉。同理，针对ξm=0.7这一工况，也会得到相同的结论。

图6 极限环稳定性判定耦合图Fig.6 A coupled scheme for the stability of LCOs

图7（a）及（b）分别给出了当动压λ=40（小于颤振速度λf=41.5）时及λ=43时，系统的运动相图。由图7（a）及（b）可知，系统分别处于收敛运动和稳定极限环运动，这也与理论预测的一致。图8给出了ξm=0.7时系统稳定极限环幅值随动压的变化曲线图，图8中圆圈表示数值模拟的结果，而实线代表等效线化的分析结果。由图8可知：当动压较小时（Ⅰ区域），等效线化的分析结果与数值模拟结果吻合较好；但当动压较大（Ⅱ区域）时，两者的相差较大。这主要是由于在Ⅱ区域内系统已经处于非周期运动，如混沌等复杂运动（如图9所示）。而等效线化分析方法却只能对周期运动进行分析。对于混沌等运动的研究可参见文献［10］，而本文暂不涉及。

图7 不同动压时系统的运动相图Fig.7 Phase plots for differentλ

图9 λ=55时系统运动相图Fig.9 Phase plots forλ=55

图10（a）及（b）分别给出了ξm=0.7及ξm=1.0时，系统处于稳定的极限环运动时壁板的振动形态图。从图10可知看出，虽然在两种不同位置时壁板均呈现极限环运动，但其运动的形态已经有了很大的不同。相比于图10（b）而言，图10（a）中在ξ=0.7附 近 显示 出 了明 显 的节 点［10-11］。

4 结束语

本文利用等效线化方法分析了受集中质量和位移约束作用的亚音速黏弹性壁板的极限环颤振运动。结果表明：系统的颤振临界速度随着集中质量位置及位移约束刚度的增大而分别呈现减小和增大的趋势（如图2，3所示）；不同的集中质量位置会导致不同性质的运动响应（如图4所示）；集中质量的位置对系统的极限环振动的节点及其位置有着显著的影响（如图10所示）；系统经历超临界的Hopf分叉而处于稳定的极限环运动（如图7（b）所示）；等效线化方法可在一定范围内（如在图8中的Ⅰ区域）对极限环运动稳定性（如图6所示）及极限环的运动幅值进行比较精确地分析。但需要特别指出的是，当壁板处于幅值相对较大的极限环运动时，壁板将不可避免地受到其自身大变形几何非线性的约束并影响到其非线性运动特性，这也是后续理论及实验工作研究的重点。

［1］ Schetz J A.Aerodynamics of high-speed trains［J］. Ann.Rev.Fluid.Mech.，2001，33：371—414.

［2］ 李鹏，杨翊仁，鲁丽.气动力作用下高速车辆横向稳定性分析［J］.振动与冲击，2010，29（11）：135—138. Li Peng，Yang Yi-ren，Lu Li.Lateral stability of a high-speed train under aerodyanmic force［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（11）：135—138.

［3］ Dugundji J，Dowell E H，Perkin B.Subsonic flutter of panels on continuous elastic foundations［J］.AIAA Journal，1963，5：1 146—1 154.

［4］ Kornecki A，Dowell E H，O’Brien J.On the aeroelastic instability of two-dimensional panels in uniform incompressible flow［J］.Journal of Sound and Vibration，1974，47：163—178.

［5］ 李鹏，杨翊仁，鲁丽.外激励作用下亚音速二维壁板的分叉及响应研究［J］.力学学报，2011，43（4）：746—754. Li Peng，Yang Yi-ren，Lu Li.Bifurcation and responses analysis of two-dimensioan panel with external excitation in subsonic flow［J］.Chinese Jouranl of Theoretical and Applied Mechancis，2011，43（4）：746—754.

［6］ 李鹏，杨翊仁，鲁丽.微分求积分析二维亚音速壁板的失稳问题［J］.动力学与控制学报，2012，10（1）：11—14. Li Peng，Yang Yi-ren，Lu Li.Instability analysis of two-dimensional thin panel in subsonic flow with differential quadrature method［J］.Jouranl of Dyanmics and Control，2012，10（1）：11—14.

［7］ YAO G，LI F M.Chaotic motion of a composite lami-nated plate with geometric nonlinearity in subsonic flow［J］.International Journal of Non-Linear Mechancis，2013，50：81—90.

［8］ Ellen C H.The non-linear stability of panels in incompressible flow［J］.Journal of Sound and Vibration，1977，54：117—121.

［9］ Matsuzaki Y.Reexamination of stability of a two-dimensional finite panel exposed to an incompressible flow［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1981，48：472—478.

［10］Li P，Yang Y R.On the stability and chaos of a plate with motion constraints subjected to subsonic flow ［J］.International Journal of Non-Linear Mechancis，2014，59：28—36.

［11］Li P，Yang Y R.Hopf and two-multiple semi-stable limit cycle bifurcations of a restrained plate subjected to subsonic flow［J］.Journal of Sound and Vibration，2015，335：286—303.

［12］Jin J D，Stability and chaotic motions of a restrained pipe conveying fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，208：427—439.

［13］Yang Z C，Zhao L C.Analysis of limit cycle flutter of an airfoil in incompressible flow［J］.Journal of Sound and Vibration，1988，123（1）：1—13.

［14］Yang Y R.KBM method of analyzing limit cycle flutter of a wing with an external store and comparison with a wind-tunnel test［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，187（2）：163—178.

图8 系统极限环幅值随动压的变化关系
Fig.8 The curve of the amplitudes of LCOs vs.dynamic pressure

Analysis of nonlinear limit cycle flutter of a subsonic plate based on equivalent linearized method

TANG Huai-pin，YANG Yi-ren
（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The limit cycle flutter of a subsonic plate with a concentrated mass and subjected to nonlinear motion constraints is addressed in this paper.The Galerkin method is used to transfer the partial differential equation of motion of the plate to a set of ordinary differential equations.The theoretical analysis of the bifurcations and the stabilities of the limit cycles are conducted with the help of the equivalent linearized method.Results show that the system undergoes flutter instability；the mass and its location has significant effect on the flutter critical dynamic pressure；the system undergoes stable limit cycle oscillations （LCO）due to the supercritical Hopf bifurcation；the results obtain by equivalent linearized method are in good agreement with the numerical ones.

plate；subsonic flow；equivalent linearized method；Hope bifurcation；limit cycle flutter

U270.1+1

A

1004-4523（2015）05-0748-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.009

唐怀平（1967—），男，博士研究生，副教授。电话：（028）87600797；E-mail：thp-vib@163.com

2014-11-28；

：2015-04-28

国家自然科学基金资助项目（11302183；11072204；11102170；11102172）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（2013TD0004）