高中学生数学解题经验对解题思路的影响

宗志宏

任何形式的问题解决，都离不开一定的解题经验.当然这些解题经验必须是相对较为熟悉的，或至少是能够被调用起来的.特别是在考试过程中，解题，经验对于常规问题的解决起着比数学思维能力、数学思维方法等更为重要的作用.同时，解题经验亦会干扰甚至阻碍问题的解决，特别是解题经验较为模糊或者是错误的时候，过于强化的经验会形成思维定势，使思维局限于某一熟悉的范围而难以扩散.在高中数学教学的实践中，应充分重视培养学生把问题与已有经验相联系的思维习惯，有意识地丰富学生的解题经验.

一、解题经验的含义

人在社会实践中对于他所遇到的各种问题及所采取的处理方法、处理结果，都会形成自己的经验.当他遇到类似的情形时，就会受其已有的与此情形有关的经验的影响而采取与其相关经验有关的措施.与问题有关的经验的积累以及经验之间的相互作用，会构成一个人解决问题的观念、方式、方法等一系列的系统性的知识.

数学解题是一个问题解决的过程，具有鲜明的实践性和探索性的特征，数学学习者通过解题实践能够促进基本知识的理解和消化，促进基本技能、基本方法的掌握和熟练，同时促进思维品质的优化.所谓解题经验，就是基本知识、基本方法与条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败同样能够从反面提供有效的有序组合的启示.

二、高中学生的数学解题经验：构成及特征

一个人由于生活环境、自身特点及经历的不同，因而与某事相关的知识、经验或操作系统，均使得每个人的经验都有区别.如对于同一个问题，每个人的相关经验有丰富与贫乏之分.但是在一个共同体中的成员之间，经验却有许多相似之处.由于我国目前高中数学教育形式主要是班级授课制，所以在相同的教材、相同的教师、相同的要求及类似的生活学习环境下，高中学生的解题经验具有高度的相似性.具体表现为，同班学生对于某种题型的熟悉程度类似，解法也基本相同，对典型条件的理解程度和应用方式方法也基本相同.包括每一个条件的使用方法，由每一个条件所能够得出的结论；对于这种问题所采用的一般解法；甚至包括一些关键词的理解，如：“恒成立”、“至少”、“存在”等；对于应用题，还包括对问题所描述的实际背景的知识，以及对数学思想方法的具体应用的经验，对某一类问题所采用的方法的熟练程度，甚至是具体的解题技巧的熟练程度.如对于数列求和用裂项法，具体怎么用；哪一种最值问题可以用数形结合以及和哪种图形结合等.

三、解题经验对解题思路的影响

在问题解决过程中，解题者首先对问题进行研究分析，即波利亚解题表中所谓的弄清问题.在弄清问题之后，解题者会根据其对问题的理解制订出解题计划，这里的计划也是解题思路，即对解题方法的设想、计划.不同的解题者会有不同的解题思路，同一个解题者的解题思路也可能有多种，有正确的，当然也会有错误的.也有可能解题者并没有真正理解问题，或对问题非常陌生，以至于没有任何思路.也有的解题者即使弄清了问题也没有明确的解题思路，而是根据条件在不知不觉中得到问题的答案.这个过程既是问题解决的过程，同时又是寻找解题思路的过程.本文中所说的常规问题的解题思路，既包括波利亚所说的解题计划，又包括上面所说的没有明确的解题计划但在不知不觉中得到答案的那种思路.这里的常规问题指的是难度基本上不超出高考难度，且不属于开放题、探索题等近几年出现的新题型，而是传统的题目.

不同层次的学生虽然在解题能力上有明显区别，但是在读完题目后最初思维却非常类似，即在理解题意时，都是把题目所蕴涵的语义纳入到其经验中去理解，对题意进行加工，从而建构起其自己所理解的题意.并在此过程中对题目进行模式识别，寻找思路.由于个人能力不同，对题意的理解有所区别，因而会对解题思路的寻找和选择产生影响.能力较强的学生，能够迅速抓住题目的要害，对题目类型作出判断，并能迅速确定解题方法，找出答案.而对于能力较差的学生，由于其理解能力和基本知识的缺陷，在理解题意时就可能产生困难，或者无法理解题意，或者曲解题意，当然也就无法找到解题思路甚至采用错误的解法.即使这部分学生正确理解了题意，也可能会因为对题目类型的生疏或解题思想方法的缺少而无法找到合适的解法；或者由于对题意理解的深度不够而导致解法的繁琐，最后陷入困境或出现失误.比如这样一个数学问题：“不等式x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .”首先需要学生理解在数学中“恒成立”的含义，如果学生没有见过“恒成立”这一条件，就很难把握准其含义，所以解题经验在这里对题意的理解起了关键作用，再者就是此种问题的处理方式、解题思路都是要有相应的解题经验作基础的.

显然，造成这种差异的原因除了个人的天赋、能力等以外，主要表现在解题经验方面的差异、解题经验的熟练程度、近期被调用的频率等原因上.对于不同的学生，由于其先天的生理结构及后天的生活环境、受教育的程度、思维方式的不同导致其智力结构存在差异，从而影响其解题经验的积累速度、整理的效果、及系统性和完善程度.如对某种题型的解法要达到相同的熟练程度，不同的学生所需要练习的次数往往有所区别，对某个数学概念或某个思想方法的理解，不同学生需要揭示、体会的程度亦是有区别的.根据建构主义理论，不同的学生对知识和方法的理解不可能完全相同，这些因素都会造成学生经验的差异，从而影响到解题能力的差异.

四、解题经验与影响常规问题解题思路的其他因素的关系

影响常规问题解题思路的其他因素主要包括解题者对波利亚的启发法的应用能力、对数学思想方法的掌握情况、解题者的元认知能力，以及解题者对数学的信念等方面.

1.解题经验与元认知能力的关系

影响问题解决的重要因素不仅有数学启发法，还有解题者对方法的选择、对解题过程的控制、感悟及对前景的估计能力，即元认知能力.有关研究证实，专家与新手之间的元认知能力有明显差别.对于数学领域内的问题解决来说，解题能力强的人其元认知能力也比较强，在解题过程中，能够对常规问题的解题思路的前景迅速作出准确的判断，因此能够比新手更快地找到正确的常规问题解题思路.同时，元认知能力强的解题者能够对解题的进程作出准确的分析，并作出相应的调整.所以，提高解题者的元认知能力能够有效提高问题解决能力.需要指出，元认知能力的提高并非短期训练的结果，而是长期的解题经验积累的结果.通过长期的积累，解题者能够根据问题迅速找出相关的方法，并对方法的使用非常熟悉，能够判断出使用某种方法可以达到目标.同时，解题者积累了一定的解题经验后，能够形成大量的思维模块，帮助解题者缩短思维过程，由条件直接延伸到更多更远的结果.比如这样一道三角化简问题：已知tanα=-2，求1+sin4α-cos4α1+sin4α+cos4α的值.这道题中要求值的式子比较复杂，特别是与条件差别较大，但是解题经验较丰富、元认知能力较强的学生能够很快看出解题思路并且对解题过程作出准确的判断，而对于这种形式三角比化简经验不足的学生可能就会因采取的endprint