一类五次Lénard系统的细中心与局部临界周期分支

马皖川， 黄文韬，2， 陈 挺

（1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；2.贺州学院 数学系，广西 贺州 542800）

0 引 言

在微分方程定性理论中，关于多项式微分系统细中心的阶数与局部临界周期分支（以下简称临界周期分支）的条件判定，文献［1］首次提出了k阶细中心和临界周期分支的概念，并讨论了一类二次系统和一类Hamilton系统的临界周期分支问题；文献［2］提出了一种复系统方法研究临界周期分支问题；通过近20多年研究，文献［3－8］解决了一些典型系统原点的临界周期分支问题。对于Lénard系统＋f（x）＋g（x）＝0，或者是它的等价二维系统原点的临界周期分支研究亦受到重视，例如：

文献［9］研究了一类三次Lénard系统的临界周期分支问题，并得到了该系统最多能分支出3个临界周期分支的结果；文献［10］解决了一类四次Lénard系统原点的临界周期分支问题。

本文考虑如下一类五次Lénard系统原点的细中心阶数和临界周期分支问题，即

其中，系数（a1，a2，a3，a4，a5，b3，b4，b5）∈R8。本文结果包含了文献［9－10］的结论。

1 预备知识

考虑原点为非退化中心，且在原点邻域解析的系统为：

其中，λ∈Λ为系统参数；k＝2，3，…。

系统在极坐标（x＝rcosθ，y＝rsinθ）下的方程为：

其中

记r（θ，h）为系统（3）式满足初始条件r｜θ＝0＝h的解。则对充分小的实数h，周期函数为：

文献［1］证明了P2k＋1＝0（k＝0，1，2，…），故在原点充分小的邻域内，（3）式过点（h，0）闭轨的最小正周期P（h，λ）的展开式为：

定义1 如果P2＝P4＝P6＝…＝P2k＝0，P2k＋2≠0，则称（2）式的原点为k阶细中心，当k＝0时称为粗中心。如果对任意的正整数m都存在P2m＝0，则原点为系统的等时中心。

文献［11］定义了（2）式对应的复系统原点的周期常数τk，并给出了它的计算方法；由文献［12］可知（2）式的第1个非零周期常数P2k与τk满足如下关系：

定义2 对于参数λ＊∈Λ，（2）式的原点是细中心，当ε0＞0时，对每一个0＜ε＜ε0和每一个λ＊的邻域W（W充分小），存在λ1∈W，使得P′（h，λ1）在U＝（0，a）内恰好有k个解，则称在λ＊系统原点有k个临界周期分支。

定义3 考虑有限个函数的集合fi：RN→R，i＝1，2，…，l。记V（f1，f2，…，fl）＝｛λ｜fi（λ）＝0（i＝1，2，…，l），λ∈RN｝。f：RN→R，称f1，f2，…，fl关于f在λ＊∈V（f1，f2，…，fl）线性无关，如果存在如下情况：

（1）λ＊的每个邻域都包含一个λ∈V（f1，f2，…，fl），使得fl（λ）f（λ）＜0。

（2）对于变量V（f1，f2，…，fj），2≤j≤l－1，如果λ∈V（f1，f2，…，fj），且fj＋1（λ）≠0，则λ的任一邻域W都包含一个点σ∈V（f1，f2，…，fj－1），使得fj（σ）fj＋1（λ）＜0。

（3）如果λ∈V（f1），且f2（λ）≠0，则λ的任一个邻域W＊都包含一个点σ，使得：

显然，若f1，f2，…，fl关于f在λ＊∈V（f1，f2，…，fl）线性无关，则f1，f2，…，fk－1关于fk在任一满足λ∈V（f1，f2，…，fk－1），且fk（λ）≠0的λ处线性无关（k＝1，2，…，l）。若向量▽f1（λ＊），…，▽fl（λ＊），▽f（λ＊）线性无关，则f1，f2，…，fl关于f在λ＊线性无关。

引理1 若（2）式关于参数λ＊的原点是一个k阶细中心，则至多有k个临界周期从原点分支出来；若原点的周期常数P2，P4，…，P2k在λ＊关于P2k＋2线性无关，则恰好有m（m≤k）个临界周期分支从原点分支出来。

2 系统的奇点量与中心条件

由此可见，一类五次Lénard系统与其共轭复系统（10）式的原点具有相同的中心条件和相同的细中心的阶数。

根据文献［11］中给出的递推算法，利用数学软件 Mathematica进行计算后化简，可以得到（10）式原点的前6个奇点量um的表达式。

定理1 系统（10）式原点的前6个奇点量为：

计算中，令u1＝u2＝…＝uk－1＝0，k＝2，3，4，5，6。

定理2 系统（10）式原点的前6个奇点量为0，当且仅当λ∈K1∪K2，其中

证明 充分性是显然的，下面证明必要性。从u1＝u2＝0得到a2＝0，a4＝a1b4，若a3＝a1b3，则有u3＝0，由u4＝0得a5＝a1b5，即条件（11）式成立；否则令b4＝0，则有u3＝u4＝u5＝u6＝0，并且由a4＝a1b4可得a4＝0，即条件（12）式成立。

定理3 系统（10）式原点为中心的充要条件为（11）式、（12）式之一成立。

证明 定理2给出了系统（10）式的原点成为中心的必要条件，下面证明充分性。

当λ∈K1时，（10）式有通积分：

当λ∈K2时，系统右端满足对称定理条件，是可逆系统。

3 细中心与局部临界周期分支

根据文献［11］中的递推算法，分别计算在K1、K2条件下的周期常数，进而得到一类五次Lénard系统原点细中心的阶数及局部临界周期分支的个数等结论。

3.1 K1 类型情形

将a2＝0、a3＝a1b3、a4＝a1b4、a5＝a1b5代入文献［11］中的递推公式进行计算，可得系统（10）式原点的前3个周期常数为：

在计算过程中，令τ1＝…＝τk－1＝0（k＝2，3）。

由周期常数表达式可得定理4。

定理4 当λ∈K1时，系统（10）式原点的全部周期常数为0的充要条件是λ∈V1，其中V1＝｛λ∈K1：a1＝b3＝b4＝b5＝0｝＝｛λ∈R8：a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝b3＝b4＝b5＝0｝。

当λ∈V1时，系统（10）式是一个平凡的线性系统，其原点为等时中心。当a1≠0∪b4≠0时，可得τ3≠0，一类五次Lénard系统的原点至多是2阶细中心。

定理5 当λ∈K1时，一类五次Lénard系统的原点至多是2阶细中心，而且原点为k（k＝0，1，2）阶细中心的充要条件是λ∈（k＝0，1，2），其中

定理6 若λ＊∈（k＝0，1，2），则在λ＊处一类五次Lénard系统的原点最多有k个临界周期分支；且在原点恰好有m（0≤m≤k）个临界周期分支。

证明 这里只证明k＝2的情形。对于定理6的前半部分，可根据引理1直接得到。证明定理6的后半部分，对任一λ＊∈，需要得到P2、P4关于P6线性无关的结论。为了不失一般性，定义3的条件（1）和条件（3）须同时成立。

对λ＊的任一邻域W1（W1∈），存在：

其中，a1≠0∪b4≠0，ε＞0且ε充分小。可得：

条件（1）得证。为证明条件（3），当λ2∈K11时，可得λ2∈V（P2），且P4≠0。取

其中，ε＞0且ε充分小。

可以得到：

条件（3）得证。

3.2 K2 类型情形

将a2＝a4＝b4＝0带入文献［11］中的递推公式进行计算，可得（10）式的前6个周期常数为：

其中

当a1≠0，a1≠1，a1≠－1，a3≠0时，经过验证，可知M1与M2没有公共根，当M1＝0时，M2≠0，即可知τ6≠0。因此，一类五次Lénard系统的原点至多是5阶细中心。

定理7 若λ＊∈（k＝0，1，2，3，4，5），在λ＊处一类五次Lénard系统的原点最多有k个临界周期分支；且原点恰好有m（0≤m≤k）个临界周期分支从原点分支出来，其中表示为：

证明 这里只证明k＝5的情形。对于定理7的前半部分可根据引理1直接得到。证明定理7后半部分，对任一λ＊∈，需要得到P2、P4、P6、P8、P10关于P12线性无关的结论。为了不失一般性，定义3条件（1）和条件（3）须同时成立。

对于λ＊的任一邻域W2（W2∈），存在：

其中，a3≠0；ε＞0且ε充分小。

可以得到：

条件（1）满足。

为证明条件（3），当λ4∈时，可得λ4∈V（P2）且P4≠0。取

对λ4的任一个邻域，存在：

可以得到：

条件（3）满足。证毕。

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