一道全国高中数学联赛试题的变式探究

摘 要：直线和圆锥曲线位置关系的相关问题是考查学生数学综合能力的主要载体，对相关问题的变式探究也是培养学生数学基本思想方法、促进数学能力形成的重要途径. 2013年全国高中数学联赛的一道关于抛物线的试题是研究与直线、与抛物线位置关系有关的度量问题及轨迹问题的好素材.

关键词：抛物线；变式探究；基本不等式

与直线和圆锥曲线位置关系有关的问题是各级竞赛及高考的热点问题，同时也是考查学生数学综合能力的主要载体，对相关问题的变式、探究是培养学生数学基本思想方法、形成数学能力的重要途径. 本文主要结合2013年全国数学联赛的一道试题重点研究与直线和抛物线位置关系有关的度量问题及轨迹问题，其基本思想方法可以类比到直线与其他二次曲线的问题中.

引例：在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在抛物线y2=4x上，且满足■·■= -4，F是抛物线的焦点，则S△OFA·S△OFB=________.

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图1

分析：借助几何直观，学生不难发现△OFA与△OFB同底，所以它们面积的乘积由A，B两点的纵坐标乘积的绝对值决定.结合已知条件，可以利用向量数量积运算的坐标表示及抛物线方程进行转化求解.

解：设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y■=4x1，y■=4x2，所以y■·y■=16x1x2. 又x1x2+y1y2=-4，所以y■y■+16y1y2+64=0，所以y1·y2=-8，所以S△OFA·S△OFB=■·OFy1y2=2.

评析：本题是2013年全国高中数学联赛一试的一道填空题，题目内容简洁清晰，以学生比较熟悉的抛物线及向量的数量积运算为背景，主要考查学生综合运用坐标法和函数与方程的思想进行分析问题、解决问题的能力，题目本身容易上手，解题思路自然流畅. 通过深入思考发现，本题的内涵丰富，对相关问题的变式分析更是培养学生探究能力的一个很好的素材.

变式1：求S△OFA+S△OFB的最小值.

分析1：利用基本不等式及引例的结论可以确定△OFA与△OFB面积和的最小值，并能指出取到最值时A，B两点的坐标.

解1：由引例可知S△OFA·S△OFB=2，所以S△OFA+S△OFB≥2■=2■.

当S△OFA=？摇S△OFB，即y1=y2=2■时取等号，不妨取A（2，2■），B（2，-2■）时“=”成立.

分析2：将面积和的问题利用公式转化为与A，B两点纵坐标有关的函数关系式，再结合基本不等式求解.

解2：因为（S△OFA+S△OFB）2=■（y1+y2）2=■（y■+y■+16）=■y■+■+16≥8，所以S△OFA+S△OFB≥2■，当且仅当y■=■，即y■=8时取“=”.

变式2：求S△AOB的最小值.

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图2

分析1：利用三角形的面积公式，将△AOB的面积用直线AB的斜率表示，进而解决其最小值问题.

解1：设直线AB的斜率为k（k≠0），其方程为y=kx+b，代入y2=4x，得k·y2-4y+4b=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=■，y1y2=■，

所以S△AOB=■AB·d=■·■·■·■.

又y1y2=■=-8，所以S△AOB=■·■=■>4■.

若直线AB没有斜率，则A，B两点关于x轴对称，易知y1=y2=2■，若取A（2，2■），B（2，-2■），则S△AOB=4■，

所以S△AOB≥4■，

即S△AOB的最小值为4■.

分析2：由A，B两点纵坐标之间的关系及韦达定理可知直线AB恒过定点，由此可将△AOB分割为两个同底的小三角形，进而将面积的最值问题转化为与基本不等式有关的最值问题.

解2：由y1y2=■=-8，得b=-2k，所以直线AB的方程可化为y=k（x-2），这说明直线AB有斜率时恒过定点C（2，0）. 若直线AB没有斜率，由y1y2=-8，知A，B两点的坐标可取A（2，2■），B（2，-2■），此时直线AB也过定点C（2，0），所以S△AOB=■OC·y1+y2？摇=■=■≥4■，当且仅当y1=y2=2■时取等号，不妨取A（2，2■），B（2，-2■）时“=”成立.

变式3：求坐标原点在直线AB上的投影的轨迹.

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图3

分析：联想到直线AB恒过定点C（2，0），则容易判断坐标原点在直线AB上的投影的轨迹是以线段OC为直径的圆，同时可以利用坐标运算推得其轨迹方程.

解：设坐标原点在直线AB上的投影为M（x0，y0），直线AB的斜率为k（k≠0），其方程为y=kx+b，易知b=-2k，且■·k= -1，所以y0=-■（x0-2），即（x0-1）2+y■=1（y0≠0）. 当直线AB没有斜率时，M的坐标为（2，0），满足方程，所以坐标原点在直线AB上的投影的轨迹方程为（x0-1）2+y■=1，表示以抛物线y2=4x的焦点F（1，0）为圆心，1为半径的圆.

变式探究是激发学生学习兴趣、培养学生探究能力、渗透数学思想的重要途径. 本文通过对一道竞赛试题结论的变式，举一反三，旨在引导学生能够从多角度、多层次地思考问题，在探索“变”与“不变”的过程中加深对数学概念的理解，巩固所学的知识和技能，使学生所学的数学知识能够融会贯通，深刻体会蕴涵其中的数学思想.