2012年高考四川理科第15题的解法及其一般性探究

摘 要：文章分别用代数方法和几何方法对2012年高考四川理科第15题进行了解答，同时对其进行了一般性探究，给出了一个结论.

关键词：对称；周长；面积

题目 椭圆■+■=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是____________.

解法一：将x=m代入■+■=1得：y=±■■（-2

不妨记Am，■■，

由对称性得△FAB的周长L=2FA+AB=2■+■=m+4+■（-2

所以L′=1-■.

所以由L′=0得2■-6m=0，解得m=1.

所以当-20；当1

所以m=1时，△FAB的周长L有最大值8，此时AB=■=3.

左焦点F到直线x=m的距离为2c=2，所以△FAB的面积为S=■×2×3=3.

解法二：不妨设A（2cosα，■sinα）（α∈（0，π）），

由对称性得△FAB的周长L=2FA+AB

=2■+2■sinα

=2■+2■sinα

=2（cosα+2）+2■sinα

=4sinα+■+4.

由△FAB的周长L有最大值8，得α=■，此时A1，■，

所以AB=■=3.

左焦点F到直线x=m的距离为2c=2，所以△FAB的面积为S=■×2×3=3.

解法三：设直线x=m与x轴的交点为C，F1为右焦点，直线x=1与椭圆相交于点A1，B1.

由对称性得△FAB的周长L=2FA+2AC.

当-2

L=2FA+2AC<2FA+2F1A=2FA1+2F1A1=8；

当-1

当1

综上所述，当m=1时，△FAB的周长L有最大值8，此时A1，■，AB=■=3，左焦点F到直线x=m的距离为2c=2，所以△FAB的面积为S=■×2×3=3.

对试题进行进一步探究，有以下一般性结论：

椭圆M：■+■=1（a>b>0）的焦点F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长有最大值4a时，△FAB的面积为定值■.？摇？摇

以上结论在椭圆M：■+■=1（a>b>0）中也成立.

证法一：记F为左焦点.

将x=m代入■+■=1（a>b>0）得y= ±■■（-a

不妨记Am，■■，

由对称性得△FAB的周长L=2FA+AB=2■+■■=■+■■（-a

所以L′=■-■.

所以由L′=0得2ac■-2abm=0，解得m=c.

所以当-a0；当c

所以m=c时，△FAB的周长L有最大值4a，此时AB=■=■.

焦点F到直线x=m的距离为2c，所以△FAB的面积为S=■×2c×■=■.

证法二：记F为左焦点.

不妨设A（acosα，bsinα）（α∈（0，π）），由对称性得△FAB的周长L=2FA+AB=2■+2bsinα=2■+2bsinα=2（ccosα+a）+2bsinα=2asin（α+φ）+2atanφ=■.

由△FAB的周长L有最大值4a时，得α=■-φ，此时Ac，■，

所以AB=■，

焦点F到直线x=m的距离为2c，

所以△FAB的面积为S=■×2c×■=■.

证法三：记F为左焦点.设直线x=m与x轴的交点为C，F1为右焦点，直线x=c与椭圆相交于点A1，B1. 由对称性得△FAB的周长L=2F1A+2AC.

当-a

当-c

当c

综上所述，当m=c时，△FAB的周长L有最大值4a，此时AB=■=■，左焦点F到直线x=m的距离为2c，所以△FAB的面积为S=■×2c×■=■.

上述三种解法（或证法）中的一和二是代数方法，代数法运算量大，对运算能力的要求较高. 特别在方法一中，利用椭圆的普通方程求解时，要利用导数，涉及无理方程的解法，对学生来说难度还是很大的.方法二利用椭圆的参数方程求解，稍容易一些. 方法三用几何方法求解，结合椭圆的第一定义，利用图形直观地探究出直线x=m通过椭圆■+■=1（a>b>0）的另一焦点时，△FAB的周长L有最大值4a，进而求出△FAB的面积为定值■. 在教学中强化此类问题的不同解法，有助于学生的逻辑思维能力和直觉思维能力的培养，同时对提高学生的解题能力也是很有好处的.？摇