例谈高考复习教学中的类比

摘 要：数学学习是一个螺旋式上升的学习过程，新教材正是按照学生学习接受能力循序渐进的原则而开发. 在学习或者探索知识的途径中，类比和猜想是我们接受新知常常使用的方式，其不仅在课堂教学中对知识的理解有着引导作用，更对解题教学有重要的思维迁移作用.

关键词：数学；类比；高考；复习；教学

数学新知的自我建构往往需要合理揣测，高考创新型问题的解决往往需要猜想和类比，因此鼓励学生对问题进行大胆的类比、猜想，是培养学生数学素养和能力的一种方式. 物理学家爱因斯坦曾说：“发现一个问题比解决一个问题来得更为重要，问题的发现有时缘自猜想和类比.” G·波利亚也曾说道：“类比是一个伟大的领路人.”

就高中数学而言，类比猜想能力的运用在高中数学解题教学中占有重要的地位，但要培养学生的类比猜想的能力，还受到诸如学生的数学水平、认知能力的发展、数学认知结构和数学素养等因素影响，因此教师可以通过课堂教学、解题教学来引导学生进行尝试和探索，既解决数学知识又激发学生数学学习的兴趣，并通过正确理论指导下的教学，高效培养学生学习能力，提高教学的有效性. 本文例谈数学类比和猜想的实践和思考，与大家交流.

■特殊与一般的类比

类比是G·波利亚首先提出的，他认为个人会依据存在的事实和已经获得的正确结论为前提（包括各种各样的经验和外部成果），以及个人的直觉猜测去推理未知问题. 这样的推理从观察、分析、猜测出发，依据个人的数学直觉，通过类比、联想、归纳来提出猜想，是比较符合感性认知较强的中学生. 新课标中指出“学生通过数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展推理、类比的能力和初步演绎推理能力”.如果问题的一般情形比较难解，可以类比到特殊情形去考虑；从特殊情形可以类比到一般情形，使结论更一般化.

例1 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）·cos48°；

⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）·cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解析：（1）选择②式，sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■sin30°=1-■=■.

（2）类比猜想：三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sinα·cos（30°-α）=■.

原式=sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2-sinα（cos30°·cosα+sin30°sinα）

=sin2α+■cos2α+■sinαcosα+■sin2α-■sinαcosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.

说明：对以类比推理为主要考查对象的推理问题，我们通常以发现探测性的手段进行尝试，在此基础之上获得解决有关问题的方法，进而用理论证明的方式达到目的或否定猜想.

■三维与二维的类比

几何中类比猜想比较广泛，常常将三维空间的对象与二维平面中的对象进行类比；二维平面中的对象与一维的对象进行类比.例如：平面与直线类比；线分面与点分线类比；空间角与平面角类比；多面体与多边形类比；球和圆类比等等. 先来猜想和类比一组定理：

定理1（三点共线定理）：设O，A，B是不共线三点，对平面上任一点P，有■=x■+y■，则P在直线AB上的充要条件是x+y=1. 定理1为高中生熟知，类比得到定理2.

定理2（四点共面定理）：设O，A，B，C是不共面四点，对空间任一点P，有■=x■+y■+z■，则P在平面ABC上的充要条件是x+y+z=1.

例2 如图1，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且■=x■+y■，则x的取值范围是_________；当x=-■时，y的取值范围是_________.

■

图1

说明：这是一道比较新颖的向量试题，有很多种解法. 但笔者最近从平面向量基本定理、共线共面及斜角坐标系下线性规划的角度，并类比猜想三维情形下的问题延伸，对知识的掌握和认知有了新的认识.

解析：如图2所示：

■

图2

P点所在位置位于斜角坐标系第二象限，且点P位置夹在两直线x+y=0与x+y=1之间，用坐标系的思想，即：满足x<0，y>0，0

类比：将认识推广到三维形式，由定理2可知：对空间任一点P，有■=x■+y■+z■，则P在平面ABC上的充要条件是x+y+z=1.

类比题：如图3所示，点O∈平面A′B′C′∥平面ABC，点Q在三棱锥OABC内部运动（不含边界），记■=x■+y■+z■，则x的取值范围是多少？若x=■时，则y+z取值范围是多少？

解析：以OA→x轴，OB→y轴，OC→z轴建立空间斜角坐标系，Q点所在区域满足线性约束条件：x>0，y>0，z>0，00，z>0，故0

说明：通过以上问题可以看出，不必拘泥于坐标系的选取，单位长度的选取也可依题而定，自由度和灵活度更大，重新审视向量基本定理在共线方面与直线知识的交汇，为坐标系类比、拓宽思路提供了新的视角.

■具体与抽象的类比

特别地，对一些抽象函数用常规的方法较难解时，如果已知它的性质与具体函数的性质相似，将其类比，即利用“具体函数”帮助思考，常可化抽象为具体，使问题的求解变得简单.

例3 （抽象函数的定义域）函数f（x）的定义域为（1，2），求函数f（x+2）的定义域.

变式训练：函数f（x+1）的定义域为（-∞，1]∪[2，+∞），求函数f（x-1）的定义域.

分析：抽象函数定义域的理解对初学者而言是难点. 课堂上教师讲解例3时，强调了在抽象函数定义域解决问题中需要注意的几个关键点，学生点头称听懂了. 然后，给出变式，发现能做对变式的学生很少. 那么问题的原因在什么地方呢？从数学双基知识角度而言，定义域概念的理解并没有体现在抽象函数中，正如“工具性理解”层面停留在表象. （工具性理解是指：一种语义性理解——即符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作.）

类比：从基础知识出发，笔者以具体感知辅以抽象函数的方法通过类比解决：

函数：f（x+1）定义域为（-∞，1]∪[2，+∞），具体感知：令：f（x+1）=■——类比：即：f（x+1）中的x满足x≤1或x≥2；

函数：f（x）定义域为（-∞，2]∪[3，+∞），具体感知：则：f（x）=■——类比：即：f（x）中的x满足x≤2或x≥3；

函数：f（x-1）定义域为（-∞，3]∪[4，+∞），具体感知：则：f（x-1）=■——类比：即：f（x-1）中的x满足x≤3或x≥4.

数学思想：解决抽象函数时，关注整体思想的运用，这里（x+1），x，（x-1）的取值范围是一样的.

说明：对函数定义域概念理解的不深刻，造成了学生对抽象函数中定义域是什么不能吃透，学生往往会认为（-∞，1]∪[2，+∞）指的是（x+1）的取值范围等等. 这是双基的不扎实造成的，导致学生在工具性理解下的懂而不会. 教师需要通过类比教学的方式，使学生对抽象问题的掌握上升到更高的理解层面.

总之，笔者就上述问题对类比猜想教学产生下列思考：

（1）类比推理需要适度性：对类比与猜想的教学一般比较适合应用于选择题或填空题的教学中，抽象与具体、特殊与一般、低维与高维是推理中经常被考查的，但是推理也不是完全机械的，诸如不再统一运算范畴之内的向量：不能用a·（b·c）=（a·b）·c联想类比到多个向量的乘法a·（b·c）=（a·b）·c.

（2）类比推理需要发散性：推理可以是概念性的、定理性的、经验性的，也可以是方法性的，具备推理的发散性思维往往能够更为方便地解决实际问题；

（3）类比推理需要严密性：高考所要求的推理证明往往并不是完全严密的，是以合情推理居多的推理考查. 但我们不仅仅要培养学生合情推理的能力，也要在平时注重对问题结论的证明与判断，否则易出现学生对不正确结论没有准确鉴定的误区，因此要在教学中给予关注，防止知识的负迁移，努力使得学生形成正确的知识体系.