高中数学中基本不等式的最值问题

摘 要：本文通过基本不等式的典型题目的教学，让学生体会到如何在数学题目的千变万化中，抓住数学思想的本质内涵，以不变应万变，灵活地解决数学问题，从而更好地提高课堂效率，减轻学生负担.

关键词：基本不等式；最值；方法？摇

高三的复习课对课堂效率提出了更高的要求，老师需要对课堂进行准确的调控，对复习题进行合理的安排，以更好地提高课堂教学效率，减轻学生的学习负担. 在课前的准备中，题目的选取是其中关键的一步，而题目的选取又取决于题目难度的循序渐进，既要考虑到学生对已有知识的掌握程度，又要考虑到学生能否通过典型题目的练习与训练，达到温故而知新的目的，加深学生对题目的理解程度，从而提高学生对数学学习的兴趣，锻炼学生思维的深度与广度.

在教学基本不等式时，学生对于概念的掌握比较轻松，ab≤■（a>0，b>0），能够总结三点要求，做到一正，即a>0，b>0；二定，即a+b能取到最小值时，ab为定值，或者ab能取到最大值时，a+b为定值；三相等，当且仅当a=b时，等号成立. 在熟练掌握了这三个条件后，要求学生能够顺利解决各类基本不等式的问题. 但是，实际上，有些问题在运用基本不等式时，会有多种解题方法与思路，而有些解题方法看似简单，实则不具有解题的完备性和代表性，这里充分体现了基本不等式知识点的灵活性. 其中有一类基本不等式问题，形式相似，但是却遇到了适合各自的不同的解题方法，不妨看下面几道题目.

例1 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b的最小值.

解法一：由a+b-ab=0？圯a+b=ab. 因为a+b≥2■，所以ab≥2■？圯ab≥4.所以a+b≥4，当且仅当a=b时，等号成立.

解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，则a+b=（a+b）■+■=1+■+■+1≥4. 当且仅当■=■，即a=b时，等号成立.

解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则a+b=■+b=■=■=b-1+■+2≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立.

解法一中，直接利用基本不等式，由已知条件出发，利用不等式的传递性，直接找到已知条件与求解之间的关系，学生比较容易想到，属于解基本不等式中的基本方法. 解法二中，在运用基本不等式时借助了“1”的代换，也是从已知条件出发，结合求解式子的特征，巧妙地运用了基本不等式特殊的结构，在这儿虽然“1”的代换的方法具有一定的技巧性，但是便于学生掌握和运用，学生也乐于接受，另外一方面也体现了数学的整体思想. 解法三中，通过减元的思想，把二元转化为一元，再利用基本不等式求解. 对于解法三，虽然学生比较好理解，但是，开始的时候，学生却不喜欢运用这种方法，主要是因为解题过程比较繁琐，计算结果又容易出错，吃力还不一定讨好. 所以，尽管学生能够接受这样的方法，但是很少有学生采纳，在实际的解题过程中，真正运用这种方法的学生很少，而在后面的解题过程中，学生就会体会到这种方法的重要性. 再看第二例.

例2 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求3a+2b的最小值.

这道题目的已知条件与第一题一样，结论由原来的a+b改成了现在的3a+2b，这么微小的变化，会不会影响到解题的方法呢. 不妨用上面的三种解法依次解下去，看看解题过程中，发生了什么样的变化.

解法一：由a+b-ab=0？圯ab≥4，而3a+2b≥2■≥4■.

解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，

所以3a+2b=（3a+2b）■+■=3+■+■+2≥5+2■.

当且仅当2b2=3a2？圯b=■a时，等号成立.

解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则

3a+2b=■+2b=■=■=2（b-1）+■+5≥5+2■，当且仅当b=■+1时，等号成立.

通过观察，上面三种解法，与例1的三种解法一模一样，但是，这道题目的三种解法却出现了不一致的结果——解法一与解法二、三的结果不一致. 很明显，解法一出了问题，问题的关键是，解法一的问题出在哪里是否有问题？在此，笔者稍作停顿，留出时间给学生思考；然后，笔者让学生四人一个小组进行讨论，尽量让他们自己发现问题，这个地方要做到尽量让学生自己找到问题，在必要的时候做出适当的引导，提醒学生从基本不等式成立的条件出发. 学生的反应还算比较快，通过学生的思考与讨论，有的小组已经发现了问题，稍做整理后，小组代表站起来发言：因为在运用基本不等式解决问题时，需要做到“一正二定三相等”，解法一实际上用了两次基本不等式，两次中虽然都具备了“一正”，但“二定”与“三相等”不能够保持一致. 第一次由已知条件推出结论的基本不等式等号成立的条件是a=b，而第二次由求解推出的基本不等式等号成立的条件是3a=2b，前后出现矛盾，所以结果是错误的，此方法不对. 可见，在运用基本不等式时，它的三个限制条件是很重要的，从这道例题，学生体会到了条件三的重要性. 基本不等式并不是想象中的那么简单，当且仅当两个量相等的时候，不等式才能成立，从例2很明显可以看出来，解法一看似简单，实则容易出现混乱，简单的问题里面所蕴含的东西其实不简单. 就在笔者准备拿出第三个例题时，这时又有位同学站起来说：我这儿还有个方法，我们小组内一致认为方法是对的. 他把解题过程写到黑板上，书写如下：

a+b-ab=0？圯a+b=ab，a+b≥2■？圯ab≥2■？圯ab≥4（当且仅当a=b时，等号成立），因为a>0，b>0此时a=2，b=2，所以3a+2b的最小值为10.

开始的时候，大家觉得很有道理，刚才不是说当且仅当a=b时，基本不等式能够成立吗，现在不就是只有一次相等的条件吗？实际上，大家不难发现，在这位学生的解题过程中，实际是在求a+b的最小值，而题目要求的是3a+2b的最小值，所以此方法是不对的. 如果按照刚才这位学生的说法，题目应该改写如下：已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b取得最小值时3a+2b的值. 所以这位学生的解法可以说是偷换了概念. 就在笔者刚刚解释完时，又有一个小组提出新的解法：因为3a+2b≥2■，当且仅当3a=2b时，等号成立，而a+b-ab=0，可与3a=2b组成方程组，解出a与b的值了. 再代入2■，则3a+2b的最小值也就解出来了. 虽然结果与上面的正确答案不符，但是，看着这样一个很完备的解题过程，大家一时找不到推翻他的理由，当这位学生写完后，大家又开始激烈地讨论起来，很快，有的小组发现了问题，有了结果：“一正”有了，可是“二定”不满足，在用基本不等式时，ab的值不是定值，所以此方法不行，如果要这样解题，题目就要改成：当ab=3时，求3a+2b的最小值. 而原题中的解法二和解法三的乘积都是定值，这样看来，通过大家的实践与讨论，大家对基本不等式的认识已经越来越深刻. 在用解法一解决第一个例题时，很简单，学生也容易接受，但是，在用同样的解法解决第二个例题时，却出现了错误，通过这样的对比，学生能够对基本不等式有更加清晰的认识. 可见，在解决不等式的问题时，不仅仅要注意解题的方法，更要注意解题的方法的多样性. 再看第三例：

例3 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求a+b的最小值.

解法一：由a>0，b>0，a+b+ab=1，可得ab=1-（a+b）；又由a+b≥2■可得ab≤■，即1-（a+b）≤■，解一元二次不等式，可得a+b≥2■-2.

或者：由a>0，b>0，a+b+ab=1，a+ab+b+1=2？圯a（b+1）+（b+1）=2？圯（b+1）（a+1）=2，

由a+1+b+1≥2■可得a+b≥2■-2.

解法二：■+■+1=■？圯■+■-■=-1？圯a+b=（a+b）-■-■+■=-1-■+■-■-1+■，能够看出来，解法二在这里不能解决问题了.

解法三：a+b+ab=1？圯a=■，可得a+b=■+b=■+b+1-2≥2■-2，当且仅当b=■-1时等号成立.

例4 已知a>0，b>0，a+b+ab=1，求3a+2b的最小值.

如果还用上面的解法一，肯定不行. 再来模仿上面的解法二，两边同时除以ab得到■+■+1=■？圯■+■-■=-1，则3a+2b=（3a+2b）-■-■+■=-3-■+■-■-2+■.

很明显，利用基本不等式已经不可以继续解决问题了. 看来，在这里解法二也行不通，

那么，解法三如何呢，不妨试一试：由a+b+ab=1？圯a=■，代入3a+2b=■+2b=■=■=2（b+1）+■-5≥4■-5，当且仅当b=■-1时等号成立.

第一道例题可以运用三种方法；第二道例题仅仅是结论发生了变化，解题方法就已经受到了限制，只能用解法二和解法三解决；第三道例题的fc3958be13bdd08f7078b822fde599ab8eed4bc490b56e91b64fbfd87c5ca0ac结论与第一道例题一样，仅仅是条件的0改成了1，就只能运用解法一和解法三了；第四道例题的要求更高，只能运用解法三了. 如果仅仅从形式上来看，这四道题目如果不仔细观察，很难看出他们的区别，但是，解题方法却发生了很大的变化. 仔细推敲解题过程当中发生的变化，不难发现在运用解法一时，受到基本不等式的条件的限制比较大，特别是对结论的形式要求比较高，所以不能够适用于后面的其他题目；解法二对于题目条件的要求比较高，而且解法二具有一定的技巧性，不具有解题的代表性；而解法三，对于上面的四道例题全部适用，显示出了解题的通法通解. 可以看出来，在基本不等式里，运用减元的思想，具有解题的普遍性. 这四道题目，通过仔细推敲他们的相同点和不同点，发现虽然题目的形式结构类似，但解题的方法要求却越来越高，有同学只掌握了解法一，但在用这个方法解第二与第三题时，遇到困难；同样，有同学只掌握了解法二，但在用它解决第三题时，也遇到了困难，体现了思维的单一性. 总之，无论哪一种方法，都各有它的优势，可见，平时在练习题目时，不仅要重视解题方法的简洁化，更要重视解题方法的多样性和灵活性；不仅要重视思维的广度，更要重视思维的深度. 这样，学生在遇到不同类型的题目时，才能灵活地采取不同的策略，优化解题的思路，提炼思维灵活度，达到快速解题的目的. 当然，数学题目是千变万化的，要能够在变化中找到解题的一般规律，就要在平时的解题中多观察，多发现，多思考，多比较，才能够练出解题的火眼精心.