怎一个“不妨设”了的

摘 要：一种教材，一般要经得起千锤百炼，因为它是教师开展日常教学的依据，是学生学习仿照的模板. 因此，无论是教材的编写者还是教学的设计者，都要尽量考虑从学生的角度出发，要从学生的认知基础、认知结构去设计教学，引领学生主动地探索知识，发展其探索创新的能力与潜力.

关键词：认知结构；数学思想方法；过程性教学

■问题的提出

中等职业教育国家规划教材《数学》（基础版）中的《8.11圆与直线的位置关系》中关于直线与圆的位置关系交点个数研究有这样一段叙述：

点M（x，y）是直线l：Ax+By+C=0与圆x2+y2=r2的交点，？圳点M的坐标（x，y） 是方程组Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的实数解.

我们来讨论方程组（1）有没有实数解？有多少个实数解？

不妨设B≠0，从（1）的第一式得y= -■， （2）

将（2）式代入（1）的第二式，得x2+-■■=r2.

整理，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （3）

kfa60PyhRUE92tfXEnc0Ig==一元二次方程（3）的判别式为Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2]. （4）

于是Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■？摇 （5）

注意圆心O（0，0） 到直线l的距离d为

d=■=■. （6）

从（5）式和（6）式，得Δ≥0？圳r≥d.？摇？摇（7）

（以下解答过程从略）

■问题的探讨

很明显，在讨论方程组（1）有没有实数解，（1）的第一式y=-■时，B作为分母就有可能出现0，但编者在此用了一句：“不妨设B≠0”显然不妥，在一定程度上是编者裁减了学生的思考过程，削弱了学生思考问题的能力，丧失了训练学生数学思维能力的好机会. 为此，笔者对此问题做了详细e9EslTAACYHUJMFIkQyJUg==的研究并作了如下的改进.

■问题的改进

讨论方程组Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的实数解.

由第一式，得B2y2=[-（Ax+C）]2

由第二式，得B2y2=B2（r2-x2）.

上述两式相减， 得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （8）

因为A2+B2≠0，

所以一元二次方程的判别式为Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2].？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

当B≠0时，Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■.？摇

注意圆心O（0，0）到直线l的距离d为d=■=■.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

所以Δ≥0？圳r≥d，Δ<0？圳r

当B=0时，则（8）式变为A2x2+2ACx+C2=0 ，解得x=-■.

当-■>r时，则直线与圆相离；当-■=r时，则直线与圆相切；当-■

■问题的感悟

1. 树立“以生为本”的教学理念

根据布鲁纳的认知发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存. 作为中职教师，我们必须认识到课堂的主体仍然是学生，只有学生想学、会主动学，这样的课堂才会有效. 所以，教师在教学设计时必须充分考虑到学生的学情，要在学生的“最近发展区”处设计教学问题，缓坡度、小步伐开展数学课堂教学.

2. 落实数学思想方法的教学

数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体. 中职学生基本数学思想方法的欠缺已严重阻碍了他们的数学思维的培养. 其实很多本是初中生应具备的最基本的数学思想方法，他们却不具备或欠缺. 因此，教师在平时的教学中要注意数学思想方法的落实与渗透，特别是在定理、性质、公式的推导过程和例题的讲解过程中充分地挖掘其中所蕴涵的数学思想方法，如在上述研究的问题中就蕴涵了化归与转化、分类讨论、数形结合、特殊与一般等数学思想方法，而这些思想方法也常见于数学的每一节课中. 如果教师总是不加以充分挖掘与留意，必定会错失良机，长此以往，学生的数学思维能力终将得不到提升. 古人云：“授人以鱼，不如授人以渔”，数学思想方法就是学生思考问题、解决问题的工具，“工欲善其事，必先利其器”，数学思想方法教学就是一个提高中职课堂教学效率的很好的武器.

3. 强化过程性的学习体验

新课程强调过程性教学，提倡关注学生的学习过程，这是学生获得体验、产生学习数学积极情感的重要途径，让学生经历数学知识的发现、发生、发展的过程，帮助学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，要让学生“知其然，更要知其所以然”，而绝不能因为过程烦琐等主观原因，就任意裁减其探索过程.其实就上述问题而言，笔者在上课时就按问题改进的方法进行分析与讲解，这样不但使学生掌握了研究直线与圆位置关系的两种方法（△法与d-r法）内在的联系与转化，同时也让学生深刻体会两种方法的优劣性与思维的严谨性，这样既训练了方法，又提高了能力. 因此，中职数学教学应该提倡以知识的发生发展和认知形成的内在联系为线索，充分展现和经历其中的思维活动，使学生真正参与到发现的过程中来，使学生能够积极主动地参与学习活动，自主地学习，主动地探索知识，发展其探索创新的能力与潜力.