一类三角形问题的两种常规解法

摘 要：三角形的问题一直是高考的重点，纵观多年的高考试卷，很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展，如何解决这一类的问题，严谨踏实不丢分，作者凭借多年的经验提出精彩的阐述，与同行共享.

关键词：三角形；问题；常规解法

题：△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，tanC=■，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围.

这是一道高三复习三角时常选的一例，解决第一个问题时首先从条件出发求出角C大小，有如下两种常用方法：

方法1：化角：由tanC=■得■=■，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），

所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不难得到sin（C-A）=sin（B-C）.

因为A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A=-π-（B-C），即C=■或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=■.

方法2：化边：由tanC=■化至sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同时使用正弦、余弦定理得：c·■+c·■=a·■+b·■，经整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，进一步可化为c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？摇所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，

故有■=■=cosC. 因为c∈（0，π），所以c=■.

这是对第一问的两种处理方案，显然方法1较为容易. 但本文所要介绍的重点是第二个问题的处理方法.

方法1：由（1）知c=■，又外接圆直径2R=1，所以c=2RsinC=■.

又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=■，所以ab=a2+b2-■.

又由基本不等式知ab≤■，所以a2+b2-■≤■，所以a2+b2≤■，当且仅当a=b时取等号. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=■，所以a2+b2的取值范围是■，■. 这一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是■. 所用知识广而不深，处理得灵活便捷.

方法2：由（1）知c=■，外接圆直径2R=1，所以根据正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=■+■. 又A+B+C=π，C=■，B=■π-A且A∈0，■π，？摇所以原式=■+■=1-■cos2A+cos■π-2A=1-■cos2A-■cos2A-■·sin2A=1-■■cos2A-■sin2A=1+■sin2A-■.

因为A∈0，■π，所以2A-■∈-■，■，所以1+■sin2A-■∈■，■.？摇

方法2与方法1的风格截然不同，它是利用正弦定理，通过消元将目标式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k形状，再根据角的取值范围求出目标式取值范围，这一做法虽没有法1快捷，但也能把不少的三角公式——两角和差、降幂公式、辅助角公式作了考查，也不失为一个好方法.

细细体会本题，其实质是已知三角形的一角及其对边，再求相关目标式的取值范围，这类问题笔者认为均可利用类似前面的方法1、方法2加以解决. 不妨请看下面两道变题.

变式1：已知C=■，c=■，求△ABC周长l的取值范围.

分析：为求周长的取值范围，只需求出a+b的取值范围.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2-ab=■，所以（a+b）2-3ab=■，所以3ab=（a+b）2-■. 又ab≤1×■■，（a+b）2-■≤■（a+b）2，a+b≤■， 当且仅当a=b时取“=”. 同时在△ABC中，根据两边之和大于第三边得a+b>c，

所以■

方法2：因为C=■，所以c=■，所以2R=■=1，

所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin■-A=■sinA+■·cosA=■■sinA+■cosA=■·sinA+■.

因为A∈0，■π，所以A+■∈■，■π，所以a+b∈■，■.

变式2：已知C=■，c=■，求△ABC面积S的取值范围.

分析：S=■absinC，即只需要求出ab的取值范围.

方法1：因为c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=■，所以a2+b2=ab+■.

又a2+b2≥2ab，所以ab+■≥2ab，ab≤■.

所以S=■absinC≤■×■×■=■（当且仅当a=b时，取“=”）

又S=■absinC=■ab>0（当a，b两边中一边趋向于0时，S趋向于0），

所以0

方法2：同样的ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sin■π-A=sinA·■cosA+■sinA=■sinAcosA+■sin2A=■sin2A+■×■=■+■sin2A-■cos2A=■+■sin2A-■.

因为A∈0，■π，2A-■∈-■，■，所以ab∈0，■，

所以S=■absinC∈0，■.

类似的例子还有许多，在此不一一赘述，两种方法各有优劣. 方法1需对基本不等式能正确应用，对目标式的下限能灵活应对. 方法2则需对三角表述式的变形严谨踏实，不在符号、数字上出差错.