基于合情推理的解题教学实践

摘 要：作为教师，要站在学生的思维起点上看问题，不能忽视学生合情推理能力的教学培养，要把解题经验与学生的思维活动衔接起来，才能达到最佳的教学效果.

关键词：合情推理；解题教学

■讲与不讲的讨论

最近在高三的一次学情调研检测中，笔者遇到了这样一道压轴填空题：

题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=_______.

笔者任教的理科班56名学生，解答正确的只有2人，其正确率几乎为0，笔者私下找了他们2人，了解了一下他们的答题情况，他们表示不会做，是胡乱猜到答案的. 在接下来的集体备课中，备课组在讨论这份试卷的评讲问题时，又谈到了这道压轴填空题讲与不讲的问题，以下是当时部分教师的看法.

教师A：这道题的难度很大，学生的正确率十分低，我认为可以放弃这道题的评讲，不要浪费时间. 试想一下，我们讲了这道题之后，能保证产生什么效益？能保证以后再碰到类似这样的问题，学生就会做吗？

教师B：这道题的难度确实很大，但也可以评讲一下，让班上少数成绩好的学生了解一下方法，对他们以后的解题可能会有些帮助，当然，我们不要期望评讲了这道题后会带来多大的效益，对95%的学生来讲是没有用的.

教师C：教师A与教师B的观点基本上是一致的，讲与不讲没有太大的区别，我认为如果要讲，也不要花太多的时间，让几个学生了解一下方法即可，我看可以这样办，找几个成绩好的学生，与他们单独谈一谈解题方法，课堂上不讲.

对这道题的评讲问题，笔者在集体备课会上由于思考没有成熟，也就没有表态发言. 但讲与不讲的问题，会后笔者仍在继续思考，笔者也同意以上几位教师的观点，讲了之后，如果不能带来什么效益，确实不如不讲；如果要讲，那么就要产生效益. 我们是否可以从解题教学上下工夫而产生效益呢？为此，笔者对这道题的解题教学作了一个优化设计，并选择了相关试题对学生进行补偿训练，整体上感觉效果不错，现整理成文，与同行研讨.

■解题教学的分析

1. 函数的构造过程

对于条件a3-3a2+5a=1与b3-3b2+5b=5，如何构造函数？大多数学生往往会构造函数f（x）=x3-3x2+5x，从而有f（a）=1与f（b）=5，这时教师应引导学生怎样构造出更好的函数，使f（a）与f（b）有较强的联系. 教师可以适当地点拨学生，最终达到的目的是构造出函数f（x）=x3-3x2+5x-3，从而使得f（a）=-2且f（b）=2，但学生又随后发现函数f（x）不是奇函数，这时教师还要继续给学生指明方向，函数值f（a）与f（b）为相反数，接下来我们解决问题的关键是什么呢？学生自然会想到要研究函数f（x）的性质，教师应追问：我们有什么办法发现函数f（x）的性质呢？

2. 性质的发现过程

如何发现函数f（x）=x3-3x2+5x-3的性质？是合情推理中的归纳法！在教学中，教师应指引学生如何发现问题的一个解题策略：先猜后证，并且要强化此解题策略，因为大多数学生只有在含有探究字眼的题目中，才能想到运用此策略.

在这次教学中，笔者首先用问题引导学生，“我们在高一学习指数函数、对数函数时，是怎么得到这两个函数的性质的？”学生大多数会答“描点法”，继而又问“我们通过描出函数图象的部分点，得到函数图象，从而发现了函数的性质，这里用了什么样的数学方法？”通过引导，学生就知道归纳法了，还可以进一步强调，“对一些特殊的数列，我们是怎么发现它的规律的”，学生容易回答“是由a1，a2，a3等归纳出来的”. 如此，学生自然而然地就会继续处理这道题了，他们能求出f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，f（4）=33，可能有少数学生需要教师点拨，提示他们再求出f（-1）=-12，f（-2）=-33，从而最终师生共同发现函数f（x）关于点（1，0）中心对称，所以a+b=2.

3. 本质的揭示过程

通过归纳法，学生发现了函数的性质，再揭示问题的本质就不是太困难的事情了，我们可以从以下几个角度来引导学生证明.

法1：（坐标转移法直接验证）f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+5（1+x）-3+（1-x）3-3（1-x）2+5（1-x）-3？摇？摇=2[（1+x）2-（1+x）（1-x）+（1-x）2]-3（1+x）2-3（1-x）2+4= -2（1+x2）-2（1-x2）+4=0.

总结重现：函数f（x）关于点（m，n）对称，即f（m+x）+f（m-x）=2n.

法2：（与二项式定理联系）结合二项式定理，考虑系数关系，由于x3，x2的系数为1，-3，从而联想到（x-1）3的二项式系数，于是可将函数的系数配成f（x）=x3-3x2+3x-1+2x-2=（x-1）3+2（x-1），所以函数f（x）是由奇函数y=x3+2x向右平移1个单位得到的，它关于点（1，0）中心对称. 这个处理方法比较简洁，但不太容易想到，需要教师合理的引导.

法3：（平移的视角与奇函数联系）与学生分析，利用归纳的手段很容易得到函数f（x）关于点（1，0）中心对称，而奇函数是关于原点对称的，这说明只要将函数f（x）向左平移1个单位，我们就会得到奇函数. 于是，由函数f（x）的解析式，可转化到函数g（x）=（x+1）3-3（x+1）2+5（x+1）-3=x3+2x为奇函数，故函数f（x）关于点（1，0）中心对称. 由此教师可以说明命题者是怎样设计这道试题的：他是先选择了奇函数g（x）=x3+2x，然后将其向右平移1个单位后得到函数f（x）=x3-3x2+5x-3关于点（1，0）对称，最后运用函数值f（a）=-2，f（b）=2，整理得出了条件，要求学生求出a+b的值. 命题者的高明之处就是把函数的性质隐藏在平移中，使我们不容易看出来.

4. 练习的反馈过程

为了了解学生对这道压轴填空题评讲后的掌握程度，也为了进一步强化归纳法在解题中的策略性应用，笔者通过反复寻找，最后看中了2012年高考数学四川卷理科数学第12题，由学生当场练习反馈.

题目2 设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为■的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5=（ ）.

A. 0？摇 B. ■π2

C. ■π2？摇？摇？摇 D. ■π2

大多数学生能用数学归纳法得到答案.

投影展示一学生的解答：由函数可求出f（0）=-1，f■=π，f（π）=2π+1，f■=3π，f（2π）=4π-1，f-■=-π，f（-π）=-2π+1，由此归纳出函数f（x）关于点■，π对称，根据条件{an}是公差为■的等差数列，知a1，a2，a3，a4，a5关于a3对称，且f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=2·■-cos■■-■-■·■+■=■π2.

教师追问：能不能揭示这道高考题的本质呢？

也有不少学生想到了函数的转换：由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得f（a1）-π+f（a2）-π+…+f（a5）-π=0， 所以f（x）-π=2x-cosx-π=2x-■-cosx=2x-■+sinx-■，若以x代替x-■，则f（x）-π可转化为g（x）=2x+sinx，所以函数g（x）是由函数f（x）向左平移■个单位，再向下平移π个单位得到的，另外容易验证：g（-x）=-g（x）且g′（x）>0，即函数g（x）在R上为奇函数且为增函数.

令an-■=bn，则g（b1）+g（b2）+…+g（bn）=0，且{bn}也是以■为公差的等差数列. 由奇函数的对称性以及g（x）为增函数可知，b3有且只有一解0，于是a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=■π2.

教师点评：与原题一样，我们通过归纳法发现了这道高考题中函数的性质，于是有些学生就有目的地将原函数进行转换，最终揭示了这道高考题的本质，是命题者将一个单调递增的奇函数通过左右、上下平移形成的新函数，再结合等差数列的对称性命制的，我们从解题实践的角度出发，还是要想办法先发现结论，作为平时学习也需要通过论证来揭示本质.

■教学实践的感悟

1. 不能忽视学生合情推理能力的教学培养. 本文中题目1与题目2从考查的要求来看，考生只需具有本文中大胆归纳猜想处理手段即可. 从大的方面来讲，合情推理能够让我们发现问题，给数学的持续发展提供保障；在高中数学的教学实践中，要培养学生的数学归纳猜想的意识，培养学生的数学归纳猜想的方法，也只有如此，才能让我们的学生也能发现新的数学结论，才能真正地激发他们的学习兴趣，学生的学习才能是轻松快乐的事.

2. 教师要把解题经验与学生的思维活动衔接起来. 长期的教学活动，使得教师往往有很丰富的解题经验，很多题目一拿到手，立即就能看出问题的本质，很快就能找出解决问题的办法，迅速得出结论，但这些问题对学生而言，它们都是陌生的，因而我们的学生要从零开始思考. 教学中，如果不能把教师的解题经验与学生的“零思考”衔接好，就会使部分学生跟不上学习步伐，就会使他们丧失学习兴趣，就会使他们的学习产生困难. 作为教师，要站在学生的思维起点上看问题，要充分了解学生的思维过程，要充分估计学生在解决问题中可能遇到的困难，再结合自身解题的优势，设计出合理的教学过程，以突破学生的思维障碍，从而才能达到最佳的教学效果.