谈波利亚学习三原则对高中数学教学的启示

摘 要：著名数学教育家提出的教学观点值得我们去研究，最起码要反思自己的教学有没有做到，而这一反思又是建立在对“三原则”有所理解的基础上的，事实证明，如果仅限于字面的理解而忽略了与实际教学的结合，那这样的理解是不能称之为真正的理解的.

关键词：三原则；启示

G·波利亚是著名数学家，其教育思想对中国数学教育有着相当广泛的影响，笔者日前在阅读其有关数学教学的论述中，汲取了其关于学习三原则的论述，感觉对实际教学有着很大的启发作用，这三条原则分别如下：第一，要注重学生的学习过程；第二，要强调数学学习中的猜想与发现；第三，学习者要了解学习的方法与途径. 粗看起来，这些观点与当下课程改革的一些观点有一致的地方，但从另一个角度来看，当一位著名的数学教育家都提出这样朴素的教学观点时，就值得我们去研究了. 最起码的要反思自己的教学有没有做到这三点，而这一反思又是建立在对这三个原则有所理解的基础上的，事实证明，如果仅限于字面的理解而忽略了与实际教学的结合，那这样的理解是不能称之为真正的理解的. 因此，笔者在对这三个原则进行仔细揣摩的基础上，将其与自己的教学实践、与观摩过的优秀同行的教学课例、与对未来数学教学的一些畅想联系在一起，形成了一个相对系统的理解.本文将这一理解呈现出来，以期与高中数学教学同行交流.

■原则一：要注重学生的学习过程

传统的数学教学是不太关注学生的学习过程的，到新DIHE37vLq9nlaAnI0ykWBQ==课程改革之后，关注学生的学习过程更多地也只是一种理念，在实际教学中并没有得到真正的落实. 这其中有两个原因：一方面是由于高考的压力，教师教学的重点还是落在培养学生的解题能力上，大题量的训练仍然是高中数学教学的主线；另一方面，由于教师能力方面的原因，即使想去关注学生的学习过程，也不知道从哪里关注，应当如何关注 .因此，波利亚这一学习原则背后还有许多值得我们琢磨和研究的地方.

以笔者观摩到的一节数学课为例，教师讲解的是“抛物线弦的性质”复习课这一内容. 这一内容是高二年级学生的学习内容，教学过程基本经历了这样一些环节：首先，教师向学生呈现了一个问题：某直线l与给定的抛物线y2=2px（p>0）相交于A，B两点. 如果直线经过定点M（t，0），试证明：OA·OB为定值.

当这一问题呈现出来之后，相当一部分学生都感觉到有困难，于是教师让学生进行合作学习，而教师则仔细观察学生的思路. 后来在课后评课时，这位教师说到在参与学生的讨论中发现了学生的思路在哪儿出了问题，于是调整了当时的教学思路，将原来设计好的讲授法传授学生的解题思路改变成了追溯这道习题的来源. 事实也确实如此，因为他呈现出的教学设计与当时的课堂是不一样的，课堂上我们看到的是这样的教学环节.

教师：大家都觉得这道题目有困难，是因为没有发现这道习题的本来面目.事实上这道习题与我们以前做过的一道题目是一脉同源的. 大家还能想出是哪一道题目吗？

学生此时自然是想不到的，于是教师呈现了一道题目：某直线l：y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求OA·OB的值.

这是一道学生比较熟悉的简单的题目，课堂上学生一下子就反映出来了本题的解题思路，可当教师引导学生去发现这一习题与上面呈现的习题之间的关系时，学生还是表现出了一定的困难，于是教师进一步进行了引导.

教师：本题中OA·OB的值最后的表达形式是什么？（强调不是答案的结果）

学生反映出表达形式，然后教师引导学生发现这一形式与变量无关，因此应当是一个定值.在学生理解的基础上，教师又将原题进行了改编：某直线l：y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，试证明OA·OB为一定值.

这一改编学生非常熟悉，基本能看出与原来那一题是一致的，于是教师对学生进行引导.

教师：大家认为这两道题实际上没有改变，但大家想一想，如果我直接呈现改编后的问题，你还能发现其与我们前面做过的习题是一致的吗？

这一提问可谓戳到了学生的痛处，因为这正是学生学习中忽视的地方：学习反思. 而教师也注意到了这一点，于是即时在课堂上呈现出了坐标系上直线与抛物线相交的情况，由于直线的斜率是不固定的，因此画面也就是动态的，这一下子吸引了学生的注意力.随后，教师又引导学生回到最初提出的那个问题上：这个问题与我们后来呈现问题的不同点在哪儿？（“不同点”三个字加强了语气）这一不同会导致什么新问题的出现？在这两个问题的驱动之下，学生终于发现OA·OB的结果为t2-2pt，而其中的t与p均为常数，因此结果为定值.

纵观这一教学过程，评课教师一致认为教师当时及时调整课堂教学的勇气可嘉，因为这样的调整是建立在对学生的学习过程进行了观察和把握的基础上的，是建立在判断出学生的学习出现了困难的基础上的，而调整后的教学又及时兼顾了学生的学习情况，既注意到了学生知识发生的过程，又注意到了学生的认知发展过程. 而授课教师也强调了他的调整依据之一，就是及时把握住了学生的问题所在，知道应当通过“重现旧知识来巩固新知识”的思路来帮学生完成学习. 因此，在笔者看来，这一教学过程是注重学生学习过程的重要体现，因此也成为一节经典课例被笔者记住.

■原则二：要强调数学学习中的猜想与发现

在高中数学学习的过程中，有一个重要特征需要得到我们的高度重视，那就是学生已经具有相当的数学基础，而面对具有一定难度的高中学习内容时，是应当让学生充分发挥猜想和发现的，因为这样可以更好地提高学生的数学学习能力.

事实上，在上面所举的例子中还有一个教学细节值得强调，那就是教师在呈现了第二个例子，让学生比较其与最初的例题的不同点之后，还设计了一个教学环节：让学生自主探究，让学生去设计问题. 表面上看这是一个设计过程，实质上却是学生在原有理解的基础上，对问题进行猜想与发现的过程.这一过程在课堂上持续了不少于五分钟，学生经历了最初的热烈讨论之后，不同小组纷纷提出了有意思的问题，当时笔者记下了其中的两个问题：（1）设直线l与某抛物线y2=2px（p>0）相交于A，B两点，如果直线经过定点M（2，0），试证明：OA·OB为定值；（2）设直线l与某抛物线y2=2px（p>0）相交于A，B两点，如果直线经过定点M（2，0），试判断OA·OB是不是定值.

这两个问题看似与原问题差不多，可只要仔细观察，就会发现学生此时的想法是不一样的：前一个学生给定了横轴上的某个点，这是对原来第二个例子的顺应，同时又是对最初例题的同化；而后一个学生则是给出一个疑问，而疑问与直接证明的结论还是有差异的.那实质一样的两个问题，这个学生为什么会用疑问的形式呢？由于笔者观摩时刚好坐在这个学生身边，课后跟其交流才知道其曾在一个类似的疑问情境中犯过错误，因此印象深刻，才以疑问的形式呈现出了问题.

通过这两个学生自己设计的问题可以发现，学生在由旧知转向新知的过程中，只有让其大胆地猜想与发现，才能激发他们心中原有的认识，从而也才能将新旧知识牢固地联结起来.

后来，笔者在自己的课堂上也用了类似的题材. 当笔者让学生从简单的实例出发，去猜想或发现本题材还可以设计出什么问题时，学生的反应也比较热烈. 学生提出了这样的一些问题：在平面直角坐标系中，如果某直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点，且直线过点M（4，0），则OA·OB=8是真命题；写出这一命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，阐述理由.

事实证明，在高中数学课堂上帮学生铺垫好知识基础和认知基础，然后让学生去大胆猜想与发现，学生可以发现很多有意思的问题. 而这些问题由于来自于学生的发散性思维，因此也客观上培养了学生的思维能力. 同时，这些问题还可以成为高中数学原创题的一部分，价值非凡.

■原则三：学习者要了解学习的方法与途径

波利亚的这一学习原则提醒高中数学教师要将笔者上文提到的“学习反思”纳入数学课堂. 因为只有让学生通过对自身学习的反思，学生才能寻找到了解自身实际需要的学习方法与途径. 高中学生已经具有一定的学习反思能力，因此在高中数学课堂上，学习反思应当成为常态.

在上例的课堂教学中，笔者就进行了尝试. 笔者给学生一个任务：结合本节课学习的三个环节——陌生例题的出现、熟悉例题的复习、自己的猜想与发现以及联系过程，反思一下怎样才能更好地发现数学旧知与新知的关系.

这一任务对学生而言是有些陌生的，但这并不妨碍学生的思考. 后来有学生说：其实我们只要分析一下，就会发现这些问题都是围绕直线与抛物线关系命题的，因此关键在于理解同一平面直角坐标系上直线与抛物线的关系，且当直线经过某确定点时是其中一个特殊情况就行了. 也有学生提出：如果过于笼统地谈直线与抛物线的关系，那范围就太广了，就本题而言，还是把两者的关系通过x轴一个固定点确定下来才好.

这样的反思过程，其实就是一个总结的过程，学生在总结过程中不仅获得了对数学知识的认识，也获得了对如何学习的认识.

综上所述，G·波利亚学习三原则对高中数学教学的指导意义是十分强的.在笔者看来，第一个原则是另外两个原则的基础（因此笔者也着墨最多），在教师的教学设计中只有对学生的学习过程有了足够的预设，才能在实际教学中游刃有余. 而学生的猜想与发现，学生对学习方法及途径的了解才会得到落实. 当然，笔者也深深感觉到这三个描述朴素的原则背后还有相当丰富的思想，这需要在以后的教学中更多地反思才能发现.