授人以鱼，不如授人以渔

摘 要：试卷讲评课是高中数学复习课中一种常见且重要的课型，试卷讲评课的实效性直接影响学生知识掌握的深度与灵活度. 本文以一堂由学生自发的、非预设的探究性讲评课为例，提出将探究活动引入高中数学试卷讲评课的建议及几点思考.

关键词：探究活动；讲评课；建议与思考

试卷讲评课是高中数学复习课中一种常见且重要的课型，进入高中以后，数学学科在知识量、难度和节奏上都有大幅增加，这种速成式的教学模式导致很多学生对于新概念的掌握仅停留在表面上，对于新方法、新技巧的运用仅停留在机械模仿阶段. 因此，一遍下来保留在学生头脑里的仅有一些零碎的概念和方法技巧，甚至有学生完全一团糨糊，根本谈不上灵活运用，更谈不上能力的提升、思想的升华，所以高中阶段试卷讲评课的实效性直接影响了学生知识掌握的深度与灵活度. 纵观很多试卷讲评课，特别是年轻教师的讲评课，不同程度地存在着“面面俱到、形式机械、就题论题、缺乏归类总结”等问题. 下面是笔者在组织一次试卷讲评课时，学生的反馈给笔者的一些启示与思考，现整理如下，若有不当之处，敬请指正.

■课堂实录

1. 试卷讲评

题1：已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

解：由题得f ′（x）在区间（-1，1）上有零点，且零点两侧异号，f ′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）（3x+a+2）=0，

得a≠-■，-1

题2：已知函数f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1在（0，3）上单调，求k的取值范围.

解：f ′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因为f（x）在（0，3）上单调，所以f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在（0，3）上恒成立，

即k≥-■或k≤-■，

所以k≥-■max或k≤-■min，

令h（x）=-■，x∈（0，3），

则h′（x）=■=■.

当x∈（0，1）时，h′（x）>0；当x∈（1，3）时，h′（x）<0，

所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，得h（x）max=h（1）=■=-2.

又因为h（0）=-5，h（3）=■=-■，

所以k≥-2或k≤-5，

经检验，k=-2时符合题意，所以k的取值范围为k≥-2或k≤-5.

这两道题都是导数的运用，而且都转化为二次函数图象问题，题1是该二次函数在区间上有零点，所以直接将零点表示出来，使其在区间中；题2是该二次函数在区间上没有零点，即恒成立问题，故很自然选择了变量分离. 两道题所涉及的方法都是常用的方法，每一步学生都很容易理解，笔者也感觉讲得很轻松，当笔者打算接着往下讲时，有学生提出了疑问.

2. 提出疑问

学生1：老师，这两道题在形式上都是一样的，但为什么方法不一样呀？以后我们遇到这类题，什么时候要用方程的根，什么时候要用变量分离？

问题一出，很多学生都点头赞同，表示也有同样的疑惑. 这个问题当时笔者在备课时没有预想到，但笔者马上联想到函数零点与方程的根是有本质联系的，故这两种方法也应该是相通的. 所以，笔者首先保持了冷静，然后提示性的说：这位同学问题提得很好，这两道题确实是同一类问题，只不过问的方式不一样而已，而且在这里我们介绍的方法形式上也不一样，一个是直接用方程的根对函数图象进行限制，另一个是直接用变量分离对函数的零点进行限制，但请大家想想，对二次函数来说，方程的根和函数的零点之间是不是有本质联系呢？

3. 探究修正

学生听了笔者的分析，陷入了片刻沉思.

学生2：我觉得这两种方法本质上是一样的，只不过角度不一样而已，题2中也可以用根来限制.

教师：很好，那现在请大家从方程根的角度试试看，能否解决这个问题.

经过一段时间的思考、尝试，学生3呈现出如下答案.

解2：要使得f（x）在（0，3）上单调，则f ′（x）在（0，3）上定没有零点或在零点两侧同号，令f ′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）=0，则需

（1）Δ≤0，得-2≤k≤7；？摇

（2）Δ>0，■≤0或■≥3，■≤0或■≥3，

得k<-2或k>7，k≤-5或k≥■， 故k≤-5或k>7，

综上可得，k的取值范围为k≤-5或k≥-2.

教师：很好，这种方法思维上比较直接，较易入手，但这种方法计算量大，容易出错，所以两个角度、两种方法各有千秋.那么大家能否结合题1，将这种解法适当优化一下呢？

学生似乎渐渐领略到了这类题的本质，思维逐渐活跃起来.经过一段时间的思考，学生4呈现如下答案.

解3：考虑f（x）在（0，3）上不单调，则f ′（x）在（0，3）上定有零点且在零点两侧异号，令f ′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）=0，

则需Δ>0，0<■<3或0<■<3，

得k<-2或k>7，-5

所以f（x）在（0，3）上单调时，k的取值范围为k≤-5或k≥2.？摇？摇

答案一出，学生纷纷点头表示赞同.

教师：大家很爱思考，也很会思考.但为什么题1我们直接选择了方程的根，而题2没有首选方程的根呢？

学生5：因为题2中方程的根不像题1中那么容易表示出来.

教师：很好，那么什么时候用方程的根，什么时候用变量分离呢？

学生5：当二次方程在区间上有根，且其根很容易表示出来时，用方程的根来限制；当二次方程在区间上无根，即恒成立问题时，首选变量分离.

教师：很好，通过共同努力，大家的疑问得到解决了！但现在老师又有一个疑问，上述问题其实最终都转化为二次函数图象的位置问题，那么，二次函数图象的位置可以用根或零点来进行限制，那我们能不能直接从抛物线本身进行限制呢？

学生再一次安静下来，结合二次函数相关知识，马上有了如下答案：

解4：当对称轴-■≤0或-■≥3，即k≤-8或k≥1时，只需f ′（0）·f ′（3）≥0，得k≤-5或k≥-■，所以k≤-8或k≥1，

当对称轴0<-■<3，即-8

4. 总结点评

教师：这类题通常都能转化为二次函数零点分布问题，解决方法和前面二次函数部分的方法完全一样. 我们现在回过来看看，其实题1也可以从这4个角度去考虑，只是在思维量和计算量上有繁简的区别. 请大家课后从其他3个角度将题1整理好，体会各种方法的优劣，并请你选择合适的方法解决下面问题：

题3：已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减，且满足f（0）=1，f（1）=0，求a的取值范围.

第二天上课，学生给出了下列解答：

解：f（0）=c=1，f（1）=a+b+c=0，

由题得f ′（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，f ′（x）=（2ax+b+ax2+bx+c）ex=[ax2+（a-1）x-a]ex，令h（x）=ax2+（a-1）x-a，即h（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，

（此处恒成立求参，由于x2+x-1在区间[0，1]上符号不统一，所以不适合用分参来做；另一方面，该函数是假二次函数，且其根也不容易表示出来，故也不适合从根的角度讨论，所以该题比较适合直接对假二次函数的图象进行讨论）

当a>0时，h（x）图象开口向上，只需h′（0）≤0，h′（1）≤0，得00，不符合题意 .

综上可得，a的取值范围为0≤a≤1.

■几点思考

这节非预设的探究课与平时的试卷讲评课相比，它带给学生的是酣畅淋漓的爽快，带给笔者的是无尽的启迪与思考. 学生通过自主探究，合作交流，不断领悟问题的本质，然后展开智慧的翅膀，在知识的海洋中尽情翱翔.师生在不断地提出问题、分析问题、解决问题中不仅体验到了成功的喜悦、合作的乐趣，更品尝到了数学内在的、无限的和谐美. 笔者认为，将探究活动引入试卷讲评课有以下作用：

1. 有利于调动学生的积极性，提高学生的学习兴趣

心理学研究表明，好奇心与求知欲是学生主动学习的内驱力. 常见的试卷讲评课由于时间和进度的关系基本都是教师一讲到底，学生完全处于被动接受的状态. 《普通高中数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应该仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式. 探究性讲评与常规试卷讲评课相比较，更能体现学生的主体性，这种由内至外的渴求与好奇，更容易打开学生思维的闸门，通过不断提出新问题，让学生将数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态，这样必然会调动学生学习的主动性，提高学习的兴趣.

2. 有利于学生知识网络的构建，提高课堂的有效性

《普通高中数学课程标准》指出：教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与. 教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程. 探究性讲评通过对一个问题的探究与拓展，在不断的质疑、分析、转化中逐步追溯到问题的本质，然后运用已有的知识网络，探索新的最佳问题解决途径，当解决问题过程中知识运用不当发生错误时，还要反复甄别、比较，找出错误的原因，在这个过程中，学生逐步构建并完善自己的知识网络，形成一套属于自己的解决问题的思路与方法. 皮亚杰认为，教育最主要目的不在于接受事实，而是培养创造力、想象力、洞察力. “授人以鱼，不如授人以渔”. 与常见的就题论题式讲评课相比，探究性讲评课更关注知识、方法、技能的生成过程，以后学生遇到相同类型的题，不管条件如何变换，形式多么千奇百怪，学生都能找到合适的入手点. 否则学生只能是会了这道题，还有千千万万道不会的.

3. 有利于展示学生的思维，培养学生良好的习惯

“养成教育”主张教育就是培养学生良好习惯的教育. 良好的学习习惯是学习活动顺利进行的保证，是提高学习质量的重要条件之一，是学会学习的一个重要指标. 是否养成良好的学习习惯，会对学生的全面发展发生深刻影响. 在学习早期阶段，如果学习习惯在一定途径下得到顺利发展，并形成个体的一种需要，将会在以后的学习活动中发挥深刻的影响，并成为导致学生在社会结构中位置分化的重要条件. 在探究活动中，学生通过质疑、探究、交流，展示自己成果的同时，若有推理、论证、语言表达不当的地方，总有同伴或教师给予指出，无形中促使参与者让自己的论述与表达更简捷、准确、完善，这正是学习所需要的良好习惯，它是在探究过程中自然形成的一个自觉、自律的过程. 这种潜移默化的影响让学生自然而然养成了细致、认真、严谨的习惯.

当然，提倡将探究活动引入讲评课，不是说每节课都要开展探究活动，也不是否定原来的讲评模式. 《普通高中数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动. 教学中教师通过探究活动启发、引导、点拨，让学生亲口说，亲自做，主动思考，让学生自我发现、展示、评价. 赞扬“闪光点”，完善不成熟之处.作为教师，首先我们自己要有探究的意识，更要有引导学生探究的意识. 遇到问题大家主动思维、探索、交流，体验问题发现与解决的历程，品尝数学的味道. 用数学的眼光、意识、思想、方法观察、分析、解决问题，培养良好的数学素养才是数学教育的最终目的.