逐层深入 化难为易

摘 要：新课程改革的基本理念之一就是要培养学生的数学应用意识. 数学建模实现了实际问题向数学问题的转换. 因此，如何进行数学建模教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课题. 本文以一节三角函数建模课为例，通过对课堂教学的实录和亲身执教感受，有针对性地阐述了建模教学设计及授课过程中的几点思考.

关键词：三角函数；数学建模；教学设计；教学反思

■背景

近日，安徽省宿州市数学教科研基地在萧县中学举办了一次面向全县中学数学教师的教学观摩活动. 笔者有幸在该校高一实验班上了一节三角函数建模课（注：萧县中学是安徽省省级重点中学，高一实验班是该校高一基础最好的一个班级）. 本节内容是三角函数一章的最后一节，属三角函数的具体应用问题，也恰好与高一的教学进度相适应.笔者通过一个实际案例，借助多媒体，与学生一起探讨、深入思考，共同感受了整个建模和应用的过程，并总结了利用三角函数作为函数模型来研究实际问题的方法和步骤.

■研究过程

教师：同学们感觉今天的天气怎么样？冷不冷啊？

学生：冷！

教师：其实最近一段时间的气温基本上控制在-5到10摄氏度的范围内.而每天的气温变化具有一定的规律性，每天都是夜间比较冷，从早上到中午这段时间，气温有所回升，中午比较暖和，而从中午到傍晚这段时间气温是逐渐下降的. 每天基本如此，因此，气温的变化规律具有什么特点呢？

学生（很自然地）：具有周期性变化规律.

教师：你还能举出生活中一些呈周期性变化规律的事物吗？

学生：四季交替、地球公转、水车的转动……

教师：很好！他们都具有周期性变化规律，我们刚刚学习了一类重要的函数——三角函数，大家知道，三角函数也具有一个显著的函数性质，那就是周期性. 那么，我们能否利用三角函数作为函数模型来研究日常生活中的这些呈周期性变化的事物呢？这就是本节课我们要共同探讨的一个问题——三角函数的简单应用（板书）.

教师：下面同学们看这张图片（多媒体演示）.

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图1

教师：他们在干什么？

学生：观潮！

教师：潮水起落，惊涛拍岸，波澜壮阔！古今很多文人墨客关于潮水涨落的描述都留下了很多精美绝伦的诗句，其中南宋诗人王十朋在温州江心屿观潮之后，留下一副知名对联：

云朝朝朝朝朝朝朝朝散

潮长长长长长长长长消

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教师：这副对联说的是云卷云舒常常出现，潮起潮落天天发生，表面上看是对两个现象的描写，但其本身也蕴涵着两件事物发展的周期性.今天我们就以这种潮汐现象为背景，借助三角函数来研究它的变化规律.

例题：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道. 靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

探究1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？

这时教师引导学生观察数据特点：最大值、最小值、有无规律？

教师：如果想直观地刻画数据特征，该怎么处理？

探究2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

这是一个描点的过程，也是建模的重要步骤，教师在此并没有急于轻描淡写地画出各点，而是让学生拿出一张大白纸，给出充足的时间（5分钟左右）引导学生亲自画出平面直角坐标系，亲手描出各个点，体验这个看似简单的过程，并让他们在各自小组内部进行对比，评出最漂亮的一份展示给全班学生.（电脑呈现作图结果）

教师：要想更加直观形象地反映水深随时间的变化规律，应该怎么做？

探究3：用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？

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图2

此时很多学生回答用函数y=Asin（ωx+φ）+h来近似拟合上述曲线，教师没有急于认可，而是提出为什么不用y=Acos（ωx+φ）+h？让学生进行思考和讨论，并展示自己选用y=Asin（ωx+φ）+h的原因.

探究4：用函数y=Asin（ωx+φ）+h来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？

由于前面几节对此类问题已经作了大量的训练，因此，教师让学生快速做出解答，在此并没必要留出太多计算时间.

探究5：经过上述计算可知，此港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sin■x+5来近似描述，你能根据这个函数模型，求出港口在各个整点时刻水深的近似值吗？（精确到0.001）

此处需要进行9次计算，教师并没有让每个学生都计算出来，而是采取了分工合作的教学模式，一组计算三个，最后再列表汇总.

探究6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，若要求至少要有2.25 m的安全间隙（船底与洋底的距离），那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

教师：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？

由学生自由讨论，得出结果：只需解不等式2.5sin■x+5≥6.25，

即y=2.5sin■x+5≥6.25，x∈[0，24]，所以sin■≥■，

■x∈2kπ+■，2kπ+■，k=0，1，

所以x∈[1，5]或t∈[13，17].

（对于解此类不等式，前面已经做了大量的训练，再加上学生的基础较好，因此学生完全有能力给予准确的解答. 教师电脑呈现图象）

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图3

教师：得到了结果后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进出港才能在港口一天内停留时间最长？（学生讨论，交流）

学生甲：货船可以在1时进港5时出港或者13时左右进港17时左右出港，可在港口待大约4个小时.

学生乙：由于题目要求是当天安全离港，因此可以凌晨1时左右进港，下午17时左右离港，才能使得在港内停留时间最长，即16个小时.

教师： 上述两位同学的方案，哪种比较好呢？大家可以自由发表一下自己的见解. （经过学生激烈辩论，一致认为方案甲比较符合现实情况，因为在5时到下午13时这段时间内，有段时间的实际水深比吃水深度还要小，因此船会出现搁浅甚至陷入淤泥的危险情况）

教师：船在港口卸货的过程中，由于整体重量减小，因此吃水深度也会减小，安全水深（吃水深度和安全间隙之和）也跟着减小，而实际水深也是变化的，那么要使货船安全离港，船长应该如何选取时间呢？

探究7：若某船的吃水深度为4 m，若要求安全间隙为1.5 m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

教师：在海水的深度和吃水深度都在变化的过程当中，如何刻画安全水深？

学生：安全水深是船的吃水深度和安全间隙之和，即y=5.5-0.3（x-2）（x≥2）.

教师：什么时候停止卸货比较安全呢？

学生（经过讨论）：可拿实际水深和安全水深作比较，当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货.

教师：很好！只需解不等式2.5sin■x+5≥5.5-0.3（x-2），大家会解吗？

学生：不会.

教师：那如何能够直观形象地进行比较呢？

学生：画图象（此时教师借助多媒体图片展示图象）.

教师：通过图象可以看出，在点P的左侧，实际水深大于安全水深，时间在6时到7时之间，有一个交点，我们如何求这个交点的横坐标呢？

表3

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？摇教师：通过计算，你认为什么时候离港较好？

学生：上午六时.

教师：假如老板想让工人多干些时间，他会乐意看到六点就停止卸货吗？

学生：不乐意！

教师：那几点离港较好呢？我们算算当时间是早上六点半时，实际水深和安全水深的关系是怎么样的.

表4

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教师：通过计算可知，早上六点半离港较好. 但是，如果有人给老板提建议，先用二分法计算出点P的横坐标，假如是a，就在a时刻停止卸货，然后离港，驶向较深水域，对老板来说不是更好吗？实际上，这样能行得通吗？请学生讨论.

学生（经过讨论）：这样不符合实际情况，因为停止卸货以后，还要有一段准备离港的时间段.

教师：这说明我们通过建模得到的结果要符合实际情况，即对答案的合理性进行进一步检验，这是一个“验模”的过程.

最后师生共同进行课时总结：

1. 三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型. 三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用.

2. 三角函数模型构建的步骤

（1）收集、观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.

（2）制作散点图，选择函数模型进行拟合.

（3）利用三角函数模型解决实际问题.

（4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.

■几点思考

1. 关于例题选取

数学建模问题点的选取要与现实社会或生活有一定的联系，对大部分学生来说，要有一定的背景常识，使他们感觉亲切，乐于主动参与教学实践活动，切实感到数学有用，同时也要减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢，但也要有一定的可操作性. 此题是一个经典例题，有一定的难度，但是考虑到实验班学生的基础较好，主动学习的能力较强，再加上前不久刚刚学习过函数的建模知识，因此，选取这样一个经典例题作为研究对象是合理的.

2. 关于描点

新课程标准提出，“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识. 通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值”. 既然是为了发展学生的应用意识，提高实践能力，那就要突出学生的主体地位，重视让学生分析建模的数学思维过程. 很多教师在描散点图的时候都是一带而过，或者直接通过多媒体展示给学生描点结果，他们觉得简单的几个坐标点，没必要让学生亲自动手来画. 而笔者在教学过程中，不仅给学生留出了大量描点的时间，还对描点的准确性、美观性进行比较、评价、展示，目的是让他们亲自感受建模过程，体验数学建模中美的一面，而不只是在表面意识上去让学生了解数学建模的几个简单步骤.

3. 关于分解探究

由于数学建模的思维方式与长期以来传统知识学习有着显著差异，因此，学生普遍感到数学建模难度大. 面对一个较为复杂的数学建模案例，如果我们能够对其进行合理的分解探究，将一个高难度的问题分解成若干个较为简单的小问题，再针对不同部分的不同侧面来设置提问，在具体的局部教学环节上选择合适的讨论点来组织学习活动，这样就会使学生乐于参与其中，也利于学生快速体验成功，树立信心，从而使问题逐层深入，各个击破，迎刃而解. 笔者在授课的过程中，将一个复杂的问题分解成八个探究性小问题，由易到难，环环相扣，步步递进，引导学生讨论、合作、交流、分析，使他们在不知不觉中体验了知识发生、发展和应用的过程.

4. 一些困惑

在探究6中，原来题目中本身给出的数据是1.5 m的安全间隙，这样一来的话，学生就要解不等式2.5sin■x+5≥5.5，即sin■x≥0.2，这样学生就无法亲自动笔解出答案，而笔者将其改为2.25 m，即解不等式sin■x≥0.5，这样就具有很强的可操作性.在探究7中，为了更好地理解问题，需要在同一坐标系中准确地画出y=2.5sin■x+5和y=5.5-0.3（x-2）（x≥2）的大致图象，如果不借助计算机或改变题目数据，学生能否独立完成上述计算和作图呢？如果处处利用多媒体来辅助完成建模过程，是否会使学生对知识产生一种“不踏实”的心理错觉？毋庸置疑，随着计算机技术在课堂教学中的广泛应用，传统的课堂教学发生了翻天覆地的革新. 但是，新的教学理念提倡信息技术要与课程内容进行有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质.但是教师在授课的过程当中，怎样做才能将多媒体辅助教学和整体教学模式进行“有机整合”？如何把握好这个“度”的问题？也就是说，怎样做才不至于导致通过多媒体对知识结果的呈现而束缚了学生亲自动手实践（包括计算、画图、操作等）的能力和思维过程，从而导致“方便了老师，冷落了学生”的不良后果，这是我们应该思考的一个问题.