数学教学应力求自然

摘 要：数学教学应力求自然，返璞归真. 教师要树立“教会学生思考”的教学观，以生为本，以学定教，突出学生的主体性；创设探究的平台，激发学生的学习热情；依据教材，灵活施教，让学生经历和体验知识的形成过程，体会蕴涵其中的思想方法，形成良好的思维习惯，进而学会学习，学会创造.

关键词：自然；教学；设计；主体；体验

波利亚曾言：“数学是一所合情合理的学校”；人教A版教科书主编寄语中说道：“数学是自然的. 整套教科书中出现的数学内容是在人类长期的实践中，经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的. 如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.” 但在实际教学中，数学教学存在诸多的不自然，比如“重结果，轻过程”，“以解题教学代替概念教学”，严重偏离了数学正轨.教师常常急于讲解，留不出足够的时间让学生自己认真地思考问题；不经过充分准备，便“硬生生”地抛出一个概念或形成一个规则，将结论直接告诉学生，强加于人，让学生深感“突兀”，犹如“神兵天降”. 这种“不讲理、无过程、冷冰冰”的教学与数学是一门讲推理、讲道理的学科格格不入，它严重扼杀了学生学习的积极性，直接导致学生思维的惰性与僵化.正因为数学本身是自然、入理的，数学教学理应追求自然，做到清楚、明了、准确、生动，要生动地还原知识的生成过程，准确地提炼蕴涵其中的思想方法，“将凝结在知识中的数学家的思维打开”，引领学生学会思考，学会创造，授人以渔，引人入胜.

基于上述思考，数学教学设计要符合学生的认知规律，突出学生的主体性，着力于能力培养，将知识生成过程隐藏的思想方法显性化，力求自然贴切，“润物无声”. 下面笔者以《二项式定理（一）》的教学实践为例，与同行探讨.

■教材及学情分析

教材分析：二项式定理在多项式运算中经常用到，特别是在后续高等数学中有着广泛的应用，具有非常重要的地位. 二项式定理可以作为计数原理的一个应用，也是学习随机变量及其分布列的基础. 二项式定理与组合数联系密切，综合性较强，具体解决问题时有较强的灵活性，是培养学生思维的绝佳素材.

学情分析：学生已初步掌握计数原理，清楚多项式乘法运算法则，具备探究二项式定理的能力，对所学知识感兴趣，有较强的学习愿望.

教学目标：通过学生参与探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括、类比的能力，体会从特殊到一般的思维方式，体验二项式定理的发现历程，培养学生的探究意识和学习能力.

重点：用计数原理分析（a+b）3的展开式，得到二项式定理.

难点：用计数原理分析二项式定理的展开过程，发现展开各项的规律.

■教学设计过程简录

（一）创设情境，引入课题

引入：今天是星期一，那么10天后是星期几？100天后呢？85天后呢？（学生轻松突破）

那么8100天后是星期几？（难度陡增，欲罢不能）

教师：倾毕生之力，也难将8100具体算出，但在二项式定理面前，却是手到擒来，轻松解决.

设计意图：创设情境，吸引眼球，激荡思维，学生急于寻求解决方案，产生强烈的学习愿望.

（二）引导探究，发现规律

教师：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式，根据以往经验，你觉得可以怎样研究？

设计意图：直接抛出课题，明确本课要解决的问题，启发学生寻找研究的方法.

探究1：（a+b）2的展开式.

问题1：（a+b）2的展开式未合并同类项前是几项？为什么？

问题2：（a+b）2的展开式中单项式的次数为什么都是2？

问题3：？摇（a+b）2的展开式合并同类项后是几项？为什么？

问题4：（a+b）2的展开式中，ab项的系数为什么是2？

设计意图：理解展开式中每一项的特征，运用计数原理来解决项数问题.

探究2：不运算（a+b）3，能否回答下列问题（同桌讨论）：

问题1：合并同类项之前，展开式有多少项？

问题2：展开式中各项的次数是多少？

问题3：合并同类项后，展开式中有哪些不同的项？

问题4：各项的系数是多少？

问题5：从上述三个问题，你能否得出（a+b）3的展开式？

探究3：仿照上述过程，请你推导（a+b）4的展开式.

设计意图：通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对（a+b）3的展开式进行再思考，分析各项的特征，使学生在推导（a+b）n的展开式过程中有“法”可依.

（三）得到定理，剖析证明

探究4：仿照上述过程，请你猜想（a+b）n的展开式，并证明之.

（a+b）n=C■an+C■an-1b+…+C■an-kbk+…+C■b（n∈N*）——二项式定理

证明：（a+b）n的展开式是n个（a+b）相乘的结果，每个（a+b）在相乘时，有选a或选b两种选择，由分步乘法计数原理可知展开式共有2n项（含同类项），其中每一项都是an-kbk（k=0，1，…n）的形式组成，它是由k个（a+b）选了b，n-k个（a+b）选了a得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个b的组合数C■，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理.

设计意图：通过仿照（a+b）3，（a+b）4展开式的探究方法，学生自主类比得出（a+b）n的展开式，并尝试剖析二项式定理的形成过程，引导学生从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的特征.

（四）熟悉定理，简单应用

二项式定理的特征：（学生自主归纳）

1. 项数：共有n+1项.

2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n.

各项的次数都等于n.

3. 二项式系数：称C■（k=0，1，…，n）为第k+1项二项式系数，依次为C■，C■，C■，…，C■，…，C■.

4. 二项展开式的通项：式中的C■an-kbk叫做二项展开式的通项， 用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk+1=C■an-kbk.

变一变：

（1）（a-b）n；（2）（1+x）n.

用一用：

解决引入问题.

例 求2■-■■的展开式.

问题1：展开式的第3项的系数是多少？

问题2：展开式的第3项的二项式系数是多少？

问题3：你能否直接求出展开式的第3项？

设计意图：熟悉二项展开式，辨析项的系数与二项式系数的差异，培养学生的观察能力和运算能力.

（五） 课堂小结，课后作业

小结（学生自主归纳）：

1. 二项式定理：（a+b）n=C■an+C■an-1b+…+C■an-kbk+…+C■bn（n∈N*），

通项公式：Tk+1=C■an-kbk.

2. 思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）观察→归纳→猜想→证明.

3. 二项式定理的形成过程.

作业：

1. 课本36页习题1.3A组1、2、3；

2. 想想明天会学什么.

■教学反思

1. 突出学生的主体性

波利亚指出：“学习任何东西的最好途径是自己去发现”. 学习、成长只能靠学生自己，教师的任何行为都替代不了学生自主的学. 教师可以做“助产婆”，但不能越俎代庖，拔苗助长，否则只能是好心办坏事.

据此，在完成（a+b）2的展开式的探究后，让学生两人一个小组进行讨论，尝试推导（a+b）3的展开式，然后自己推导（a+b）4的展开式，接着仿照上述过程，猜想并证明（a+b）n的展开式，整个过程，笔者将着力点放在搭建有利于学生思考、探究的平台，突出学生的主体性，让学生在自主探究中，获取知识，发展能力.

再如，在得到二项式定理后，让学生自己归纳二项式定理的特征，弄清通项是怎么生成的，使学生快速理解、熟悉定理；小结时，让学生归纳本节课学习的内容和体现的数学思想，目的是启发学生独立思考，提炼蕴涵的思想方法. 正如《学记》上所说：道而弗牵，强而弗抑，开而弗达. 教师应当做到引导学生，而不牵着学生走，激励学生，而不强加逼迫，启发思考而不直接把结论告诉学生. 数学教学应弱化传授，强化探究，使“教”与“学”自然衔接，了无痕迹.

2. 让学生经历和体验知识的生成过程

每一个知识的生成都有其深厚的背景，往往蕴藏着丰富的思想方法. 章建跃老师强调：“要将概念及反映的思想方法放在教学的首位，概念教学必须体现概念的形成”；李昌官老师也多次谈到让学生经历知识“诞生”的“阵痛”过程. 因此，在教学中教师要舍得花时间让学生经历和体验知识的生成过程，体会研究问题的方法，促使学生更加深刻地理解数学的本质.

据此，本节课花了大量的时间，让学生经历（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式的推导过程，引导学生用计数原理对（a+b）3的展开式进行再思考，分析各项是如何生成的. 在层层铺垫后再让学生研究（a+b）n的展开式，得出二项式定理并证明，接着让学生归纳二项展开式特征，目的使学生经历二项式定理的生成过程，体验二项式定理的发现和创造过程，使学生“知其然，知其所以然，也知其所以不然”，弄清二项式定理的来龙去脉，这样学生不仅学到了知识，而且学到了方法，还培养了学生的观察、分析、概括、类比的能力，这与波利亚倡导的“不仅要交给学生知识，而且要交给他们技能、思想方法和有条不紊的工作习惯”是不谋而合的. 反之，若跳过知识的生成过程，直接将结论告诉学生，学生缺少观察、比较、分析、概括的过程，他们就无法真正理解知识，知识构建也只能是空中楼阁，学会学习、学会迁移、学会创造更是无从谈起.

3. 依据教材，但不唯教材

教材既是学生掌握知识和学习方法的主要依据，又是培养学生能力的载体. 教师应认真钻研教材，领会编写意图，深入挖掘教材的潜在价值，提炼蕴涵的思想方法，依据教材，“用教材教”. 例如本节课的设计，笔者认为二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，依据教材“先猜后证”的基本思路，将教学目标定为：通过学生参与探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括、类比的能力，体会从特殊到一般的思维方式，体验二项式定理的发现历程，培养学生探究的意识和学习的能力. 这样就基本把握住了课堂教学的“命脉”.

另外一方面，教师要摆脱对教材的依赖，不唯教材，从学生实际出发，对教材进行适度开发，创造性地使用教材，以生成丰富多彩的教学内容. 例如在引入课题时，笔者设计如下问题：今天是星期一，那么10天后是星期几？100天后呢？85天后呢？那么8100天后是星期几？自然、简单、开放的引入，一下子吸引学生，激起学生的好奇心，使学生产生强烈的学习愿望. 因此，教师不能每天照本宣科，要灵活使用教材，对教材注入自己的思想，创造性地再加工，这样教学才会充满活力，课堂才会富有生命力.

4. 树立“教会学生思考”的教学观

苏霍姆林斯基认为：“教会学生思考”是学校教学的首要任务，那种光靠教师“讲深讲透”地把知识喂给孩子的方法会把学生教蠢. 用“教会学生思考”的教学观指导具体教学，可以使教学站得更高，看得更远，少走很多弯路.

据此，在抛出二项式定理是研究（a+b）n的展开式后，设问：根据以往的经验，你觉得可以怎样研究？目的是启发学生寻找研究的方法：碰到新问题时，往往可以试试特殊情形，再猜想一般性的结论，然后尝试证明. 再如小结时让学生归纳所学知识及体现的思想方法，布置作业“想想明天会学什么”，目的是培养学生良好的思维习惯，教会学生思考，教会学生学习，授人以“渔”.

“教会思考”意味着教师不能局限于知识的传授，更应该去发展学生运用所学知识解决问题的能力，以及良好思维习惯的养成. 在此高观点下，教学目标的制定变得明了，教学内容的取舍变得简单，教学方式的选择变得自然，教学效果得以保障，教学品质得以提升.

总之，“自然”是一种态度，是一种境界. 数学教学要遵循学生的认知规律，树立“以人为本”的教育理念和“教会学生思考”的教学观. 教学设计要依据教材，适当加工，力求自然，合乎情理，教学要突出学生的主体性，通过有限的知识教学，让学生体会获得知识（思想）的方法，从而形成自主探究的学习习惯，提高学习能力与思维能力.