例谈分类法在等腰三角形中的应用

摘 要：分类讨论是将要研究的数学对象按照一定的标准划分若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题方法。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类从而化整为零，各个击破，然后对讨论的结果进行归纳、合并、综合得出结论。其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

关键词：分类讨论；等腰三角形；直角三角形

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学方法，同时也是一种重要的解题策略。这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。下面我以特殊三角形为例，浅显地谈谈分类法的应用。

一、等腰三角形的腰或底边不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边长时，要看给出的边长是否确定为腰长或底边，若已确定，则直接利用等腰三角形的性质定理求解；若没有指出所给的边是腰还是底边，要分两种情况讨论，并三角形内角和三边的关系检验其是否能构成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一边长等于4 cm，另一边等于5 cm，求它的周长；（2）若周长为20 cm，一边长为5 cm，求它的三边长。

分析：不能确定已知边是腰还是底边，因此分两种情况讨论：

（1）若底边长为4 cm，则腰长为5 cm，这时它的周长为4+5+5=14 cm；若腰长为4 cm，则底边长为5 cm，这时它的周长为4+4+5=13 cm，所以这个三角形的周长等于14 cm或13 cm.

（2）若底边长为5 cm，则腰长为7.5 cm.

（3）若长为5 cm的边是腰，则底边长为10 cm，因为5+5=10 cm，即两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，因此三角形不存在，所以它的边长为5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：已知条件并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形。

若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长为y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm。

二、等腰三角形的顶角或底角不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质定理1（等边对等角）求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理。

例3.已知等腰三角形的一个内角度数，计算三角形的另外两个角的读数。

（1）已知一个角是30°；（2）已知一个角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一个内角是锐角，可分两种情况，顶角是已知锐角或者底角是已知锐角；如果已知一角是钝角或者直角，那么它一定是等腰三角形的顶角。

（1）若已知角是顶角，则另外两个角是底角，度数为 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，则顶角度数为180°-2×30°=120°，另一个底角为30°。

（2）由于已知等腰三角形的一个角是160°，又由于两个底角相等，因此这个角只能是顶角，因此这个角只能是顶角，因此两个底角度数都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形状不定时需要分类讨论

由于等腰三角形类型的不同，高线所处的位置也不同。如果是锐角三角形则高线在三角形内部；如果是直角三角形，高线就是一条直角边；如果是钝角三角形，高线在三角形外部。所以在等腰三角形中求高线时，要看给出的三角形是否确定，若已确定，则直接利用三角形高线的位置进行求解；若没有指出则要分三种情况讨论。

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。

解析：题目没有确定三角形的类型，所以这个等腰三角形需分三种情况进行讨论。

（1）如图1，若△ABC是锐角三角形时，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的长。

因为腰长为a，∠ABE=30°，故腰上的高为 a，且顶角为60°，从而△ABC是等边三角形，所以底边上的高为 a。

（2）如图2，若是钝角三角形，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的长。

因为∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因为AB=AC，所以∠BAC=30°。因为AD⊥BC，所以AD= AC= a。

（3）若顶角为直角，显然是不成立的。

综上所述，底边上的高为 a或 a。

由以上的几个例子我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献：

方志平.例谈避免分类讨论的解题策略.福建中学数学，2013（01）.

个人简介：周晶晶，女，1984年11月出生，本科，就职于浙江省浦江县第四中学，研究方向：初中数学教学。